1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА192найдемP = mV + m[Ω, rци ].(46.1b)Если начало отсчета подвижной системы координат xyz поместить в центринерции твердого тела, так что rци = 0, то импульс твердого тела окажется равен импульсу материальной точки с массой m и скоростью, равнойскорости движения центра инерции Vци :P = mVци .§ 46.
Импульс, момент импульса и кинетическая энергия193и спроецировав это равенство на оси подвижной системы координатx1 x2 x3 ,3. 2/ra δik − (ra )i (ra )k Ωk ,[ra , [Ω, ra ]] · ei =k=1представим компоненты момента импульса в видеMi =(46.3)3Iik Ωk ,(46.7)k=1где коэффициенты Iik образуют симметричный тензор второго ранга — такназываемый тензор моментов инерции твердого тела:46.2. Момент импульса твердого телаМомент импульса твердого тела равен сумме моментов импульса материальных точек данного тела, т. е.M=N+N./ma r2a δik − (ra )i (ra )k ,i, k = 1, 2, 3.(46.8)a=1ma [R + ra , V + [Ω, ra ]] = m[R, V] +a=1Iik =ma [ra , [Ω, ra ]] + m [rци , V] + m [R, [Ω, rци ]].(46.4)aЕсли начало отсчета системы координат xyz поместить в центр инерциитвердого тела, то момент импульса твердого тела окажется равен суммемомента импульса материальной точки с массой m, радиус-вектором Rи скоростью, равной скорости движения центра инерции, и момента импульса, соответствующего вращению твердого тела относительно точки O с угловой скоростью Ω:M = m[R, Vци ] +ma [ra , [Ω, ra ]].(46.5)aРассмотрим более подробно случай, когда точка O покоится, так чтоM=ma [ra , [Ω, ra ]].(46.6)aВ этом случае компоненты момента импульса оказываются линейной формой компонент Ωj угловой скорости.
Действительно, переписав[ra , [Ω, ra ]] = Ω r2a − (Ω ra ) raПодчеркнем, что угловая скорость и момент импульса, вообще говоря, зависят от времени, в то время как компоненты Iik суть постоянные характеристики твердого тела. Свойства этого тензора рассмотрены в § 46.4. Изуравнения (7) видно, что в общем случае направления вектора M и вектораΩ не совпадают.46.3. Кинетическая энергия твердого телаКинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий материальных точек данного тела, т. е.T =N1 ma va2 .2 a=1Подставив (45.7) и использовав обозначения (2), найдем1 1ma [Ω, ra ]2 + m Ω[rци , V].T = mV2 +22 aЕсли начало отсчета подвижной системы координат xyz поместить в центринерции твердого тела, то кинетическая энергия твердого тела окажется равной сумме кинетической энергии материальной точки с массой mи скоростью Vци и кинетической энергии вращения твердого тела:11 2T = mVци+ma [Ω, ra ]2 .(46.9)22 aГлава V.
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА194Рассмотрим более подробно случай, когда точка O покоится, так чтовся кинетическая энергия твердого тела является энергией вращения:T =1 ma [Ω, ra ]2 .2 a(46.10)Кинетическая энергия поступательного движения твердого тела можетбыть представлена в виде скалярного произведения импульса тела и егоскорости:11(46.11)T = mV2 = PV.22Аналогично, можно представить формулу (10) для кинетической энергиивращения твердого тела в виде скалярного произведения вектора моментаимпульса тела и вектора его угловой скорости1 :T =1MΩ.2(46.12)Для этого достаточно использовать уравнение (6) и переписать(Ω [ra , [Ω, ra ]]) = [Ω, ra ]2 .Подставим далее в (12) выражение для момента импульса в форме (7),тогда энергия окажется квадратичной формой компонент Ωj угловой скорости:31 T =Iik Ωi Ωk ,(46.13)2i,k=1где коэффициенты квадратичной формы Iik являются компонентами тензора моментов инерции твердого тела (8).46.4.
Тензор моментов инерции твердого телаКак момент импульса вращающегося твердого тела, так и его кинетическая энергия выражаются через тензор моментов инерции. Два тела с совершенно различными распределениями масс, но одинаковыми тензорамимоментов инерции вращаются одинаково. Рассмотрим подробнее свойстватензора моментов инерции твердого тела.1 Таккак T > 0, то из (12) видно, что угол между векторами M и Ω всегда меньше 90o .§ 46. Импульс, момент импульса и кинетическая энергия195Диагональные элементы тензора моментов инерции определяются через квадраты расстояний материальных точек до соответствующей осиI11 =ma (ya2 + za2 ), I22 =ma (x2a + za2 ), I33 =ma (x2a + ya2 ),aaaа недиагональные элементы — через произведения соответствующих координатI12 = I21 = −ma xa ya , I13 = I31 = −ma xa za ,aI23 = I32 = −ama y a z a .aИз этих определений видно, что сумма двух разных диагональных элементов тензора Iik не меньше третьего диагонального элемента, такI11 + I22 =ma (xa + ya2 + 2za2 ) ma (x2a + ya2 ) = I33 .aaИз этого же соотношения видно, что для плоского твердого тела (расположенного в плоскости xy) имеет место равенствоI11 + I22 = I33 .Пусть единичный вектор n задает направление некоторой оси, а величина ρa обозначает расстояние от материальной точки a до этой оси.Определим момент инерции твердого тела относительно оси n следующимобразом:In =ma ρ2a .aЛегко видеть, что диагональные элементы тензора моментов инерции I11 ,I22 и I33 представляют собой моменты инерции относительно осей x, y и zсоответственно.
С другой стороны, момент инерции относительно произвольной оси n может быть выражен через компоненты тензора Iik и вектора n:3Iik ni nk .In =i,k=1Рассмотрим случай, когда начало O подвижной системы координат xyzпомещено в центр инерции твердого тела, так чтоma ra = 0,(46.14)aГлава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА196а точка O (начало другой подвижной системы координат x y z ) смещенана вектор B.
При этом между радиус-векторами ra и ra материальной точки имеет место соотношение (45.8). Подставляя (45.8) в определение (8)и учитывая равенство (14), получаем соотношение (которое иногда называется теоремой Гюйгенса–Штейнера)ци(46.15)= Iik+ m B2 δik − Bi Bk .IikИз этой формулы видно, что диагональные элементы тензора моментовинерции имеют наименьшее значение в системе центра инерции твердого тела.Как всякий симметричный тензор, тензор моментов инерции можетбыть приведен к диагональной форме при подходящем выборе осей подвижной системы координат xyz относительно твердого тела.
Специальный интерес представляет диагональная форма этого тензора в случае, когда начало отсчета системы xyz помещено в центре инерции твердого тела.В этом случае диагональные элементыциI1 ≡ I11,циI2 ≡ I22,циI3 ≡ I33§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры197Другой пример симметрического волчка — четыре точки с одинаковымимассами m1 = m2 = m3 = m4 , расположенные в вершинах квадрата и соединенные невесомыми стержнями длины a (см.
рис. 69 при M = m),в этом случаеI3 = 2 m1 a2 .(46.20)I1 = I2 = m1 a2 ,Если у твердого тела главные момента инерции разные, то такое телоназывают асимметрическим волчком.Задачи46.1. В вершинах квадрата со стороной 2a расположены массы m и M(рис. 69). Найти компоненты тензора моментов инерции относительно:а) осей xyz;б) осей x y , совпадающих с диагоналями квадрата, и z.(46.16)цитензора Iik называются главными моментами инерции твердого тела, а соответствующие оси системы xyz — главными осями инерции.ОпределенияЕсли у твердого тела главные моменты инерции одинаковы I1 = I2 == I3 , то такое тело называют шаровым волчком.
Конечно, шаровым волчкомявляется однородный шар радиуса R, у которогоI1 = I2 = I3 = 2 mR2 .5(46.17)Однако шаровым волчком является также и однородный куб с длиной ребра a, у которогоI1 = I2 = I3 = 1 ma2 .(46.18)6Если у твердого тела два главных момента инерции совпадают, например I1 = I2 = I3 , то такое тело называют симметрическим волчком. В качестве примера можно указать однородный эллипсоид вращения с полуосямиa = b = c, у которогоI1 = I2 = m (a2 + c2 ),5I3 = 2 ma2 .5(46.19)Рис.
69. Четыре массы в вершинахквадратаРис. 70. Массы в вершинах треугольника46.2. Найти главные оси инерции и главные моменты инерции системы, в которой частицы массы m и 2m расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами 2a и 4a (рис. 70).§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры47.1. Уравнения движения твердого тела. Уравнения ЭйлераНачнем с уравнения для импульса твердого тела, стартуя от известного закона Ньютона для движения a-й материальной точки под действиемсилы fa :d(ma va )= fa .dtГлава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА198Суммируя эти уравнения по всем материальным точкам твердого тела, получаемdP= F,(47.1)dtгде P — импульс твердого тела, определенный формулами (45.1)–(45.3), аF=faa— полная действующая на тело сила. Так как внутренние силы, действующие между материальными точками твердого тела, в силу третьего закона Ньютона взаимно скомпенсированы, то фактически сила F есть полнаявнешняя сила, действующая на твердое тело.
Проецируя уравнения (1) наоси подвижной системы координат x1 x2 x3 и используя (45.6), находим3dPi+eijk Ωj Pk = Fi ,dti = 1, 2, 3.(47.2)j,k=1Если начало отсчета подвижной системы координат x1 x2 x3 поместитьв центр инерции твердого тела (см. (46.3)), то Pi = m (Vци )i .Совершенно аналогично может быть получено уравнение для моментаимпульса твердого тела:dM= K,(47.3)dtгде M — момент импульса твердого тела, определенный формулами (46.4)–(46.7), аK=[ra , fa ]§ 47.
Уравнения движения твердого тела. ПримерыЕсли же дополнительно оси системы x1 x2 x3 выбраны вдоль главных осейинерции, то уравнения (4) выглядят особенно просто (их называют уравнениями Эйлера):Ii3dMi+eijk Ωj Mk = Ki ,dti = 1, 2, 3.(47.4)j,k=13dΩi+eijk Ωj Ωk Ik = Ki ,dtk=1(47.6)Рассмотрим далее несколько примеров применения уравнений (3)–(6).47.2. Свободное движение шарового и симметрического волчковПри свободном движении твердого тела F = K = 0, и потому импульси момент импульса твердого тела сохраняются, а центр инерции движетсяс постоянной скоростью. Выберем инерциальную систему, в которой центринерции покоится, и поместим начала отсчета инерциальной системы XY Zи подвижной системы xyz в центр инерции твердого тела.У шарового волчка Iik = I δik , поэтому из (46.7) следуетM = IΩ.(47.7)Отсюда видно, что при свободном движении шарового волчка сохраняетсяне только момент импульса M, но и сонаправленный с ним вектор угловойскорости Ω.Законов сохранения импульса и момента импульса достаточно и дляопределения свободного движения симметрического волчка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
