1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Как составляются уравнения движения для систем с неголономнымисвязями, будет рассказано в разделе B.3.B.2. Силы реакции связейРешив задачу о движении системы, можно в случае необходимостиперейти и к определению сил реакции. Эта задача, вообще говоря, требуетдополнительного анализа. Не вдаваясь в обсуждение множества различныхвозможностей, ограничимся примером. Если использовать в качестве координат q̃ изменения длин стержней, то описанным выше способом можноДОПОЛНЕНИЯ216найти силы, растягивающие стержни при движении системы.
Пусть речьидет о движении в плоскости системы четырех грузиков A, B, C, D, соединенных пятью жесткими стержнями (рис. 78), шарнирно прикрепленныхк грузикам (т. е. так, что углы между стержнями могли бы свободно изменяться, если бы какой-нибудь из них удалить). Система имеет три степенисвободы (скажем, две координаты одной из точек и угол, определяющийнаправление одной из сторон). Условия же связей выражают постоянстводлин стержней. Однако те же самые ограничения подвижности системыможно выразить, приняв условие BD = const вместо AC = const.
Используя это новое условие, мы получим силу реакции, якобы направленнуювдоль BD, силу же реакции существующего стержня AC потеряем. Приэтом и силы реакции остальных стержней получатся не истинными, а такими, как если бы стержень AC действительно удалили, а стержень BDввели в систему.B. Системы со связями217связей:Fα (q1 , . . .
, qs+n , t) = 0,Подчеркнем, что все эти разные возможности описания связей и реального их создания совершенно несущественны для решения задачи о движении системы с помощью уравнений Лагранжа. В то же время при правильном выборе уравнений, выражающих идеальные голономные связи, можнополучать и силы реакции связей, используя для определения условий экстремума действия метод неопределенных множителей Лагранжа.B.3. Неопределенные множители Лагранжа.Идеальные неголономные связиВернемся к системе с идеальными голономными связями.
Будем считать, что мы воспользовались не всеми уравнениями связи и исключилименьше координат, чем могли бы.Пусть функция Лагранжа зависит от s + n координат и стольких жескоростей L = L(q1 , . . . , q̇s+n , t) и пусть имеется n идеальных голономных(B.9)Продифференцировав (9) по времени, можно представить условия связейв видеs+ncαi q̇i + cα = 0,(B.10)i=1гдеcαi =∂Fα,∂qicα =∂Fα.∂t(B.11)В таком случае условие экстремума действия, задающее уравнениядвижения системы тел, можно получить еще одним способом — не исключая n лишних переменных, а с помощью неопределенных множителейЛагранжа.Способ определения экстремума в вариационной задаче с помощьюнеопределенных множителей Лагранжа подобен способу определения экстремума функции нескольких переменных при наличии связей между ними.
Введем вспомогательную функцию, включающую неизвестные функции времени λα (t):L̃(q1 , . . . , q̇s+n , t) == L(q1 , . . . , q̇s+n , t) +Рис. 78. Грузики со связямиα = 1, . . . , n.nα=1запишем для нее «действие» S̃ =λα (t) Fα (q1 , . . . , qs+n , t),(B.12)L̃dt и получим уравнения Лагранжа,рассматривая все s + n координат как независимые. Тем самым мы допускаем к «конкурсу» помимо нужных нам зависимостей qi (t), удовлетворяющих условию (9), еще и другие. К этим s + n уравнениям следует добавитьn уравнений связи (9), исключив тем самым временно добавленные зависимости qi (t).
В итоге получится как раз s+ 2n уравнений для всех координати множителей Лагранжа:ld ∂L− ∂L =λα cαi .∂qidt ∂ q̇iα=1(B.13)Стоящие в правых частях уравнений суммы можно рассматривать как обобщенные силы, действующие «в направлениях» соответствующих обобщенных координат. В качестве добавочных условий можно использовать либоравенства (9), либо (10).ДОПОЛНЕНИЯ218Заметим, что условия (10) (при фиксированном времени) ограничивают возможные вариации координат δqi соотношениямиs+ncαi δqi = 0.(B.14)i=1Эти условия означают, что работа сил реакции связей обращается в нуль,если вариации координат δqi удовлетворяют соотношениям (14), и выражают таким образом идеальность связей.Тот факт, что левая часть равенства (10) представляет собой полнуюпроизводную по времени, эквивалентен соотношениям∂cαj∂cαi=,∂qj∂qi∂c∂cαi= α,∂t∂qi(B.15)для всех α, i, j.Линейные идеальные неголономные связи также могут быть выражены соотношениями вида (10) или (14).
Условия идеальности неголономныхсвязей выражаются через вариации координат так же, как для голономных. Эти соотношения как для голономных связей, так и для неголономных означают, что при «запретном» смещении тел возникли бы такие силы(может быть, очень большие), которые сделали бы такое смещение невозможным; при «разрешенном» же смещении добавочных сил не возникает.А равенства вида (15) в случае неголономных связей для соответствующих коэффициентов не выполняются.
Поэтому условия связи не могут бытьприведены к виду (9).Заметим, однако, что соотношения (15) связаны с малостью второгопорядка по вариациям. Эти равенства означают, что для α-й связи работаδA12 на пути(q1 , q2 ) → (q1 + δq1 , q2 ) → (q1 + δq1 , q2 + δq2 )и работа δA21 на пути(q1 , q2 ) → (q1 , q2 + δq2 ) → (q1 + δq1 , q2 + δq2 )одинаковы с точностью до δq1 δq2 включительно.
Действительно,δA12 = λα [cα1 (q1 , q2 , . . .)δq1 + cα2 (q1 + δq1 , q2 , . . .)δq2 ] == λα [cα1 (q1 , q2 , . . .)δq1 + cα2 (q1 , q2 , . . .)δq2 +∂cα2 (q1 , q2 , . . .)δq1 δq2 ],∂q1C. Параметрический резонанс219δA21 получается заменой 1 2, так что∂cα1∂cα2δA12 − δA21 = λα−δq1 δq2 .∂q1∂q2Для голономной связи согласно (15) с точностью до второго порядка включительно δA12 − δA21 = 0. Именно такое условие отличает голономнуюсвязь от неголономной, обеспечивая возможность представлять силы реакции через потенциальную энергию.Определяя же уравнения движения и силы, мы оперировали толькос линейными по δq выражениями.
Поэтому уравнения (13) с добавочнымиусловиями вида (10) справедливы и для механической системы с неголономными связями.Для системы с n голономными связями можно исключить из функции Лагранжа n обобщенных координат. Для системы с неголономнымисвязями подобное уменьшение числа обобщенных координат по существуневозможно.В качестве примера неголономной связи рассмотрим условие связи дляколеса, которое может катиться по плоскости, не проскальзывая. Ясно, чтотакое колесо можно катать, соблюдая условия связи, и вернуть в исходную точку. Однако спица колеса, которая смотрела в начальном состоянииколеса вниз, в конце окажется направлена как-то иначе.C.
Уравнение Хилла, уравнение Матьёи параметрический резонансОсновные сведения о параметрическом резонансе можно найти в § 31.В этом приложении мы дадим более подробную и последовательную теорию этого интересного явления.C.1. Общие свойства уравнения ХиллаИсходное уравнение при изучении параметрического резонанса имеетвид (31.1)(C.1)ẍ + ω 2 (t) x = 0,где частота ω(t) меняется периодически по времениω(t + T ) = ω(t).(C.2)Уравнение (1) с периодической зависимостью частоты от времени (2) называется уравнением Хилла. При построении приближенных решений полезноДОПОЛНЕНИЯ220знание как можно большего числа свойств точного решения.
Перечислимпростые и полезные в дальнейшем свойства решений уравнения Хилла. Дляэтого введем определитель Вронского. Пусть x1 (t) и x2 (t) — два решенияуравнения (1), для них, по определению, определитель Вронского равен x1 x2 = x1 (t) ẋ2 (t) − x2 (t) ẋ1 (t).W (x1 , x2 ) = ẋ1 ẋ2 1.
Дифференцируя определитель Вронского по времени и избавляясьс помощью уравнения (1) от вторых производных, легко показать, чтоdW = 0,dtт. е. W не зависит от времени.2. Если x(t) решение уравнения (1), то x(t + T ) тоже его решение. Доказывается подстановкой в уравнение и использованием периодичности ω.Отсюда следует, что если x1 (t) и x2 (t) линейно независимы и образуютбазис в пространстве решений, то выполняются равенства:x1 (t + T ) = a11 x1 (t) + a12 x2 (t),x2 (t + T ) = a21 x1 (t) + a22 x2 (t).Матрица постоянных коэффициентов aij определяется уравнением и выбором базисных решений.
Базис в пространстве решений можно выбрать так,что в нем матрица станет диагональной, т. е. существуют такие решенияx1 (t) и x2 (t), которые при сдвиге на период T преобразуются по законуx1 (t + T ) = μ1 x1 (t),x2 (t + T ) = μ2 x2 (t),(C.3)где μ1,2 — собственные значения матрицы aij .3.
Проверкой устанавливаем, что для решений (3) справедливо соотношениеW (x1 (t + T ), x2 (t + T )) = μ1 μ2 W (x1 (t), x2 (t)).Отсюда и из свойства 1 получаемμ1 μ2 = 1.(C.4)4. Определитель матрицы aij в силу свойства 3 равен 1, а ее собственные значения равныd = 1 (a11 + a22 ).(C.5)μ± = d ± d2 − 1,2C. Параметрический резонанс221Если d2 > 1, то μ+ и μ− вещественны.
Тогда одно из них по модулю больше единицы. Будем обозначать его как μ1 , при этом может быть как μ1 > 1(если d > 1, в этом случае μ1 = μ+ ), так и μ1 < −1 (если d < −1, в этомслучае μ1 = μ− ). Таким образом, решение x1 (t) вида (3) возрастает по модулю за период T . Это явление называется параметрическим резонансом.Второе решение x2 (t) убывает по модулю за этот же период.Если же d2 < 1, то собственные значения μ1 и μ2 комплексно сопряжены (μ2 = μ∗1 ) и лежат на окружности радиуса единица (|μ1 | = |μ2 | == 1) в комплексной плоскости. Решения x1,2 (t) оказываются комплексными функциями и могут быть выбраны комплексно сопряженными x2 (t) == x∗1 (t). Вещественными же решениями являются их линейные комбинации x1 (t) + x2 (t) и [x1 (t) − x2 (t)]/i. В этом случае движение осцилляторапредставляет собой биения.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
