Главная » Просмотр файлов » 1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2

1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 33

Файл №829488 1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (Г.Л.Коткин, В.Г.Сербо, А.И.Черных - Лекции по аналитической механике (2010)) 33 страница1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488) страница 332021-02-01СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Рассмотрим преобразование Лоренца для свободной частицы, отвечающее переходу к системе отсчета, которая движется со скоростью V в направлении оси x:E. Дифференциальные формы и канонические преобразованияE. Дифференциальные формы и каноническиепреобразованияИспользуя математический аппарат дифференциальных форм, можнонекоторые вопросы, связанные с каноническими преобразованиями, рассмотреть более компактно, чем в основном тексте. Однако освоение самогоаппарата дифференциальных форм требует определенных усилий. Приводимое ниже изложение этого вопроса является весьма кратким и фрагментарным. Более подробное и последовательное изложение теории внешнихдифференциальных форм применительно к задачам механики можно найти,например, в книге [4].E.1.

Дифференциальные формыЗамена переменной x = x(ξ) в интегралеf (x) dxx = γ(x + βct ), t = γ(t + βx /c),сводится, как известно, к подстановкамβ = V /c, γ = 1/ 1 − V 2 /c2 .гдеПодобным же образом преобразуются, как известно, импульс частицы и ееэнергия:px = γ(px + βE /c), E = γ(E + βpx c).f = f (x(ξ)),dx =x = x(ξ, η),Q0 = ct ,q1 = x,Q1 = x ,p0 = −E/c,P0 = −E /c,p1 = px ,P1 =q0 = γ(Q0 + βQ1 ),q1 = γ(Q1 + βQ0 );p0 = γ(P0 − βP1 ),p1 = γ(P1 − βP0 ).Теперь легко проверить, что{q0 , q1 }P,Q = 0,в двойном интегралеpx ,получаемy = y(ξ, η)I=f (x, y) dxdy;в этом случае «элемент площади»dx dyзаменяется наD dξ dη,{q0 , p0 }P,Q = 1и т.

д. Следует также (и очень просто) проверить равенства {q0 , y}P,Q == 0, {q0 , py }P,Q = 0 и т. п. Таким образом, рассмотренное преобразованиеоказывается каноническим (обобщенным указанным выше способом).dxdξ.dξИначе обстоит дело при замене двух переменныхОбозначивq0 = ct,229гдеD=∂(x, y)∂(ξ, η)(E.1)ДОПОЛНЕНИЯ230— якобиан преобразования xy → ξη, а не на произведение дифференциаловdx =∂x∂xdξ +dη,∂ξ∂ηdy =∂y∂ydξ +dη.∂ξ∂η(E.3)Можно перемножать и одинаковые дифференциалы. При этом в соответствии с (3) будет получаться нуль:dx ∧ dx = 0.Подстановка (2) в (1) ∂x∂y∂y∂xdξ +dη ∧dξ +dη =dx ∧ dy =∂ξ∂η∂ξ∂η=∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂ydξ ∧ dξ +dη ∧ dξ +dξ ∧ dη +dη ∧ dη =∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ∂ξ ∂η∂η ∂η∂x ∂y ∂x ∂y=−dξ ∧ dη = D dξ ∧ dη,∂ξ ∂η∂η ∂ξдействительно, приводит к замене dxdy на Ddξdη.Легко произвести обобщение на случай любого числа переменных.Внешнее произведение n дифференциаловdx1 ∧ dx2 ∧ .

. . ∧ dxnопределяется условием: можно переставлять любые соседние дифференциалы, изменяя при этом знак произведения.При заменеxi = xi (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ),i = 1, 2, . . . , n,dxi = ∂xijкоторым можно манипулировать, как обычным произведением, но при перестановке сомножителей нужно изменять знак:231которой соответствует замена дифференциалов(E.2)Можно, однако, ввести такое правило умножения дифференциалов,при применении которого преобразование «элемента площади» dxdy будетвсе-таки сводиться к подстановке (2) в (1).Введем так называемое внешнее произведение дифференциалов, обозначаемоеdx ∧ dy,dy ∧ dx = −dx ∧ dy.E.

Дифференциальные формы и канонические преобразования∂ξjdξj ,(E.4)получаемdx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn =∂(x1 , x2 , . . . , xn )dξ1 ∧ dξ2 ∧ . . . ∧ dξn .∂(ξ1 , ξ2 , . . . , ξn )(E.5)В самом деле, после подстановки (4) в левую часть (5) и умножениямы получим сумму произведений n множителей вида ∂xi /∂ξj с n различными значениями индекса i, при каждом из которых стоит произведениеn дифференциалов со всеми возможными значениями индексов j:dξj1 ∧ dξj2 ∧ . .

. ∧ dξjn .Однако произведение дифференциалов отлично от нуля только в том случае, если все индексы j в нем различны, причем все эти произведениядифференциалов равны друг другу или различаются только знаком в зависимости от того, возможен переход от последовательности индексовj1, j2, . . . , jn к последовательности 1, 2, . . . , n путем четного числа перестановок соседних индексов или нечетного.

Мы получаем фактически описание определителя, составленного из производных ∂xi /∂ξj , — якобиана,стоящего в правой части равенства (5).Выражение видаFi,j,...,k (x1 , x2 , . . . , xn ), dxi ∧ dxj ∧ . . . dxk ,i,j,...,kв котором каждое слагаемое содержат произведение l дифференциалов, называется внешней дифференциальной l-формой и обозначается ω l . Например, подынтегральное выражение интеграла по поверхностиA dSможно рассматривать как 2-форму:ω 2 = Ax dy ∧ dz + Ay dz ∧ dx + Az dx ∧ dy.ДОПОЛНЕНИЯ232Вводится также внешний дифференциал l-формы.

По определению, это(l + 1)-формаdω l = ω l+1 =dFi,j,...,k ∧ dxi ∧ dxj ∧ . . . dxk ,E. Дифференциальные формы и канонические преобразованияв более симметричной форме, взяв от обеих частей этого равенства внешний дифференциал и учтя, что внешний дифференциал от (dF ) равен нулю:si,j,...,kdFi,j,...,kn∂Fi,j,...,k=dxm .∂xmm=1(E.6)При повторном дифференцировании внешней формы результат равеннулю, в чем легко убедиться, учитывая, что∂2F∂2F=.∂xi ∂xj∂xj ∂xiСправедливо и обратное утверждение: если dω l = 0, то ω l является внешним дифференциалом какой-то дифференциальной формы: ω l = dω l−1 .Выражение ω 1 = f (x) dx рассматривалось нами как подынтегральноевыражение. Можно рассматривать его также как линейную функцию дифференциала dx.

Можно приписывать ω 1 и численное значение, подставивчисленные значения x и dx.Дифференциальные формы, к которым мы пришли как к элементамзаписи многомерного интеграла, также можно рассматривать как функции точки и полилинейные функции координат вектора дифференциалов(dx1 , dx2 , . . . , dxs ). Можно приписывать дифференциальной форме численное значение, подставляя численные значения координат и компонент дифференциалов.

При этом необходимо предварительно переставить дифференциалы в порядке убывания индексов, после чего при умножении назначки ∧ не обращать внимания.Аппарат дифференциальных форм представляет собой существенныйэлемент в определенных геометрических исследованиях, — в теории симплектических пространств. Однако так глубоко входить в математическиевопросы мы здесь не будем.Используя внешние дифференциальные формы, можно представитьопределение канонического преобразования (36.2)i=1pi dqi −si=1Pi dQi = dFsdPi ∧ dQi .(E.8)i=1Разумеется, исключив из определения функцию F (q1 , . . .

, Qs ), мы потеряли конструктивный характер определения. Впрочем, мы сохраняем возможность сделать шаг назад и вернуться от симметричного определения (8)к конструктивному (7).E.3. Сохранение фазового объема при канонических преобразованияхВозведем обе части равенства (8) в s-ю степень и примем во внимание, что отличны от нуля только произведения различных дифференциалови что переставлять их приходится парами, так что изменения знаков непроисходит. В итоге имеемss22dpi ∧ dqi = s!dPi ∧ dQi .s!i=1i=1Далее, учитывая равенство (5), получаем∂(Q1 , P1 , .

. . , Qs , Ps )= 1.(E.9)∂(q1 , p1 , . . . , qs , ps )Отсюда немедленно следует, что фазовый объем сохраняется при канонических преобразованиях.E.4. Инвариантность скобок Пуассонаотносительно канонических преобразованийПусть f и g — функции обобщенных координат и импульсов:f = f (q, p),g = g(q, p).Рассмотрим внешнюю дифференциальную формуdf ∧ dg ∧ (ω)s−1 ,(E.10)2E.2. Новое определение канонических преобразованийsdpi ∧ dqi =i=1где dFi,j,...,k — обычный дифференциал функции:233(E.7)где ω — форма , входящая в равенство (8). Нетрудно убедиться, что этовыражение сводится к(s − 1)! {f, g}s2i=12 Здесь(ω)s−1 — это ω в степени s − 1.dpi ∧ dqi ,(E.11)234ДОПОЛНЕНИЯгде {f, g} — скобка Пуассона, определяемая путем дифференцирования попеременным p, q.То же самое выражение (10) можно записать через канонические переменные P, Q.

При этом оно будет отличаться от (11) только заменой всехпеременных p, q на P, Q, в том числе скобки Пуассона будут вычисленыпутем дифференцирования по новым переменным: {f, g}P,Q . С учетом (8)и (9) отсюда немедленно следует инвариантность скобок Пуассона относительно канонических преобразований.Библиографический список[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика.

— М.: Наука,1988. — Т. I: Механика.[2] Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975.[3] Коткин Г. Л., Сербо В. Г. Сборник задач по классической механике. —М.–Ижевск: РХД, 2001 (готовится 4-е изд-е, испр. и дополн., РХД,2010).[4] Арнольд В. И. Математические методы классической механики.

— М.:Наука, 1974.[5] Мотт Н., Meccи Г. Теория атомных столкновений. — М.: Мир, 1969.[6] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — М.: Наука,1976. — Т. V: Статистическая физика. — Ч. 1.[7] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1976.[8] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М.: Гостехиздат, 1951.[9] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — М.: Наука,1982. — Т. VIII: Электродинамика сплошных сред.[10] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,17 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее