1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Рассмотрим преобразование Лоренца для свободной частицы, отвечающее переходу к системе отсчета, которая движется со скоростью V в направлении оси x:E. Дифференциальные формы и канонические преобразованияE. Дифференциальные формы и каноническиепреобразованияИспользуя математический аппарат дифференциальных форм, можнонекоторые вопросы, связанные с каноническими преобразованиями, рассмотреть более компактно, чем в основном тексте. Однако освоение самогоаппарата дифференциальных форм требует определенных усилий. Приводимое ниже изложение этого вопроса является весьма кратким и фрагментарным. Более подробное и последовательное изложение теории внешнихдифференциальных форм применительно к задачам механики можно найти,например, в книге [4].E.1.
Дифференциальные формыЗамена переменной x = x(ξ) в интегралеf (x) dxx = γ(x + βct ), t = γ(t + βx /c),сводится, как известно, к подстановкамβ = V /c, γ = 1/ 1 − V 2 /c2 .гдеПодобным же образом преобразуются, как известно, импульс частицы и ееэнергия:px = γ(px + βE /c), E = γ(E + βpx c).f = f (x(ξ)),dx =x = x(ξ, η),Q0 = ct ,q1 = x,Q1 = x ,p0 = −E/c,P0 = −E /c,p1 = px ,P1 =q0 = γ(Q0 + βQ1 ),q1 = γ(Q1 + βQ0 );p0 = γ(P0 − βP1 ),p1 = γ(P1 − βP0 ).Теперь легко проверить, что{q0 , q1 }P,Q = 0,в двойном интегралеpx ,получаемy = y(ξ, η)I=f (x, y) dxdy;в этом случае «элемент площади»dx dyзаменяется наD dξ dη,{q0 , p0 }P,Q = 1и т.
д. Следует также (и очень просто) проверить равенства {q0 , y}P,Q == 0, {q0 , py }P,Q = 0 и т. п. Таким образом, рассмотренное преобразованиеоказывается каноническим (обобщенным указанным выше способом).dxdξ.dξИначе обстоит дело при замене двух переменныхОбозначивq0 = ct,229гдеD=∂(x, y)∂(ξ, η)(E.1)ДОПОЛНЕНИЯ230— якобиан преобразования xy → ξη, а не на произведение дифференциаловdx =∂x∂xdξ +dη,∂ξ∂ηdy =∂y∂ydξ +dη.∂ξ∂η(E.3)Можно перемножать и одинаковые дифференциалы. При этом в соответствии с (3) будет получаться нуль:dx ∧ dx = 0.Подстановка (2) в (1) ∂x∂y∂y∂xdξ +dη ∧dξ +dη =dx ∧ dy =∂ξ∂η∂ξ∂η=∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂ydξ ∧ dξ +dη ∧ dξ +dξ ∧ dη +dη ∧ dη =∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ∂ξ ∂η∂η ∂η∂x ∂y ∂x ∂y=−dξ ∧ dη = D dξ ∧ dη,∂ξ ∂η∂η ∂ξдействительно, приводит к замене dxdy на Ddξdη.Легко произвести обобщение на случай любого числа переменных.Внешнее произведение n дифференциаловdx1 ∧ dx2 ∧ .
. . ∧ dxnопределяется условием: можно переставлять любые соседние дифференциалы, изменяя при этом знак произведения.При заменеxi = xi (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ),i = 1, 2, . . . , n,dxi = ∂xijкоторым можно манипулировать, как обычным произведением, но при перестановке сомножителей нужно изменять знак:231которой соответствует замена дифференциалов(E.2)Можно, однако, ввести такое правило умножения дифференциалов,при применении которого преобразование «элемента площади» dxdy будетвсе-таки сводиться к подстановке (2) в (1).Введем так называемое внешнее произведение дифференциалов, обозначаемоеdx ∧ dy,dy ∧ dx = −dx ∧ dy.E.
Дифференциальные формы и канонические преобразования∂ξjdξj ,(E.4)получаемdx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn =∂(x1 , x2 , . . . , xn )dξ1 ∧ dξ2 ∧ . . . ∧ dξn .∂(ξ1 , ξ2 , . . . , ξn )(E.5)В самом деле, после подстановки (4) в левую часть (5) и умножениямы получим сумму произведений n множителей вида ∂xi /∂ξj с n различными значениями индекса i, при каждом из которых стоит произведениеn дифференциалов со всеми возможными значениями индексов j:dξj1 ∧ dξj2 ∧ . .
. ∧ dξjn .Однако произведение дифференциалов отлично от нуля только в том случае, если все индексы j в нем различны, причем все эти произведениядифференциалов равны друг другу или различаются только знаком в зависимости от того, возможен переход от последовательности индексовj1, j2, . . . , jn к последовательности 1, 2, . . . , n путем четного числа перестановок соседних индексов или нечетного.
Мы получаем фактически описание определителя, составленного из производных ∂xi /∂ξj , — якобиана,стоящего в правой части равенства (5).Выражение видаFi,j,...,k (x1 , x2 , . . . , xn ), dxi ∧ dxj ∧ . . . dxk ,i,j,...,kв котором каждое слагаемое содержат произведение l дифференциалов, называется внешней дифференциальной l-формой и обозначается ω l . Например, подынтегральное выражение интеграла по поверхностиA dSможно рассматривать как 2-форму:ω 2 = Ax dy ∧ dz + Ay dz ∧ dx + Az dx ∧ dy.ДОПОЛНЕНИЯ232Вводится также внешний дифференциал l-формы.
По определению, это(l + 1)-формаdω l = ω l+1 =dFi,j,...,k ∧ dxi ∧ dxj ∧ . . . dxk ,E. Дифференциальные формы и канонические преобразованияв более симметричной форме, взяв от обеих частей этого равенства внешний дифференциал и учтя, что внешний дифференциал от (dF ) равен нулю:si,j,...,kdFi,j,...,kn∂Fi,j,...,k=dxm .∂xmm=1(E.6)При повторном дифференцировании внешней формы результат равеннулю, в чем легко убедиться, учитывая, что∂2F∂2F=.∂xi ∂xj∂xj ∂xiСправедливо и обратное утверждение: если dω l = 0, то ω l является внешним дифференциалом какой-то дифференциальной формы: ω l = dω l−1 .Выражение ω 1 = f (x) dx рассматривалось нами как подынтегральноевыражение. Можно рассматривать его также как линейную функцию дифференциала dx.
Можно приписывать ω 1 и численное значение, подставивчисленные значения x и dx.Дифференциальные формы, к которым мы пришли как к элементамзаписи многомерного интеграла, также можно рассматривать как функции точки и полилинейные функции координат вектора дифференциалов(dx1 , dx2 , . . . , dxs ). Можно приписывать дифференциальной форме численное значение, подставляя численные значения координат и компонент дифференциалов.
При этом необходимо предварительно переставить дифференциалы в порядке убывания индексов, после чего при умножении назначки ∧ не обращать внимания.Аппарат дифференциальных форм представляет собой существенныйэлемент в определенных геометрических исследованиях, — в теории симплектических пространств. Однако так глубоко входить в математическиевопросы мы здесь не будем.Используя внешние дифференциальные формы, можно представитьопределение канонического преобразования (36.2)i=1pi dqi −si=1Pi dQi = dFsdPi ∧ dQi .(E.8)i=1Разумеется, исключив из определения функцию F (q1 , . . .
, Qs ), мы потеряли конструктивный характер определения. Впрочем, мы сохраняем возможность сделать шаг назад и вернуться от симметричного определения (8)к конструктивному (7).E.3. Сохранение фазового объема при канонических преобразованияхВозведем обе части равенства (8) в s-ю степень и примем во внимание, что отличны от нуля только произведения различных дифференциалови что переставлять их приходится парами, так что изменения знаков непроисходит. В итоге имеемss22dpi ∧ dqi = s!dPi ∧ dQi .s!i=1i=1Далее, учитывая равенство (5), получаем∂(Q1 , P1 , .
. . , Qs , Ps )= 1.(E.9)∂(q1 , p1 , . . . , qs , ps )Отсюда немедленно следует, что фазовый объем сохраняется при канонических преобразованиях.E.4. Инвариантность скобок Пуассонаотносительно канонических преобразованийПусть f и g — функции обобщенных координат и импульсов:f = f (q, p),g = g(q, p).Рассмотрим внешнюю дифференциальную формуdf ∧ dg ∧ (ω)s−1 ,(E.10)2E.2. Новое определение канонических преобразованийsdpi ∧ dqi =i=1где dFi,j,...,k — обычный дифференциал функции:233(E.7)где ω — форма , входящая в равенство (8). Нетрудно убедиться, что этовыражение сводится к(s − 1)! {f, g}s2i=12 Здесь(ω)s−1 — это ω в степени s − 1.dpi ∧ dqi ,(E.11)234ДОПОЛНЕНИЯгде {f, g} — скобка Пуассона, определяемая путем дифференцирования попеременным p, q.То же самое выражение (10) можно записать через канонические переменные P, Q.
При этом оно будет отличаться от (11) только заменой всехпеременных p, q на P, Q, в том числе скобки Пуассона будут вычисленыпутем дифференцирования по новым переменным: {f, g}P,Q . С учетом (8)и (9) отсюда немедленно следует инвариантность скобок Пуассона относительно канонических преобразований.Библиографический список[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика.
— М.: Наука,1988. — Т. I: Механика.[2] Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975.[3] Коткин Г. Л., Сербо В. Г. Сборник задач по классической механике. —М.–Ижевск: РХД, 2001 (готовится 4-е изд-е, испр. и дополн., РХД,2010).[4] Арнольд В. И. Математические методы классической механики.
— М.:Наука, 1974.[5] Мотт Н., Meccи Г. Теория атомных столкновений. — М.: Мир, 1969.[6] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — М.: Наука,1976. — Т. V: Статистическая физика. — Ч. 1.[7] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1976.[8] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М.: Гостехиздат, 1951.[9] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — М.: Наука,1982. — Т. VIII: Электродинамика сплошных сред.[10] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
