1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Как и в задаче Кеплера, их пять. В качестве независимых можно взятьвектор момента импульса M и две энергии Ex и Ey независимых колебанийпо осям x и y. Заданных значений Ex , Ey , M достаточно для определенияA, B, δ, поскольку Ex = kA2 /2, Ey = kB 2 /2, M = mABω sin δ. Ясно, чтолюбая функция интегралов движения есть интеграл движения. Некоторыеимеют очевидный смысл, например, полная энергия E = Ex + Ey , другиеменее очевидны, например,N = mẋẏ + kxy.(4.7)Рис. 8. Траектория движения в поле (4.1) с малой добавкой δU = k1 x2 /2В качестве другого примера можно привести центрально симметричное возмущение δU = δU (x2 + y 2 ).
Здесь траектория также перестает бытьзамкнутой и представляет собой прецессирующий эллипс, заполняющийвсюду плотно кольцо (рис. 9).Заметим, что в каждом из этих случаев возмущение уменьшает число интегралов движения. В первом случае перестает сохраняться моментимпульса из-за исчезновения центральной симметрии поля, а во втором —не сохраняются отдельно энергии Ex и Ey , а сохраняется только полнаяэнергия.§ 5. Задача двух телРассмотрим замкнутую систему тел, состоящую из двух частиц, потенциальная энергия взаимодействия которых U = U (|r1 − r2 |).
Их уравнениядвиженияm1 r̈1 = F(r1 − r2 ) = − ∂U ,∂r1m2 r̈2 = −F(r1 − r2 )(5.1)Глава I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА26§ 6. Сечение рассеяния. Формула Резерфорда27на большом расстоянии R от мишени. Изучение зависимости числа рассеянных частиц от углов рассеяния и энергии налетающих частиц можетдать ценные сведения о природе сил взаимодействия, структуре мишении т. д.
Если мишень достаточно тонкая (так что повторными соударениями можно пренебречь) и рассеяние на отдельных рассеивающих центрахмишени происходит независимо, то задача по существу сводится к задачео рассеянии частиц с приведенной массой на потенциальном поле U (r),соответствующем взаимодействию частицы из падающего потока с однимрассеивающим центром мишени. Таким образом, мы приходим к следующей постановке задачи рассеяния.Рис. 9. Траектория движения в поле (4.1) с малой добавкой δU = β/r 4можно существенно упростить, если ввести вместо переменных r1 и r2новые переменные — координаты центра инерцииR=Рис. 10. Задача рассеянияm1 r1 + m2 r2m1 + m2и вектор относительного расстояния r = r1 − r2 .
В этих переменных уравнения (1) разделяются:R̈ = 0,mr̈ = −∂U (r),∂rm=m1 m2.m1 + m2(5.2)Таким образом, задача двух тел сводится к равномерному и прямолинейному движению центра инерции системы R = R0 + Vt и движению однойчастицы с приведенной массой m под действием силыF(r) = −∂U (r).∂r§ 6. Сечение рассеяния. Формула Резерфорда6.1. Постановка задачи рассеянияЭксперимент по рассеянию частиц обычно проводится так. Пучок частиц, движущихся вдоль определенной оси (скажем, оси z), падает на мишень, а рассеянные частицы регистрируются детектором, расположеннымПусть концентрация частиц в падающем потоке равна n, а их скоростьравна v∞ = (0, 0, v∞ ), тогда плотность их потока j = nv∞ .
После рассеяния некоторое число частиц попадет в детектор на площадку dS = R2 dΩс угловым размером dΩ = sin θdθdϕ, расположенную на большом расстоянии R от начала координат (рис. 10). Число частиц dṄ , попавших в единицувремени на эту площадку, прямо пропорционально величине j, а отношение dṄ /j уже не зависит от плотности потока и определяется свойствамипотенциала взаимодействия U (r) и начальными условиями. Если проследить за траекториями частиц, попавших на площадку dS, то можно указать начальную площадку dσ (расположенную перпендикулярно к оси z),через которую эти частицы прошли на начальном этапе движения, имеяскорость v∞ и прицельный параметр ρ = (ρx , ρy , 0).
В реальном эксперименте прицельные параметры обычно являются микроскопически малымии непосредственно не наблюдаются.Число частиц, прошедших в единицу времени через площадку dσ ≡≡ d2 ρ = dρx dρy , равно jdσ и совпадает с числом частиц dṄ , прошедшихв единицу времени через площадку dS. Таким образом, именно величинаdσ(θ, ϕ, E) =dṄ (θ, ϕ, E)j(E)(6.1)28Глава I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКАявляется удобной характеристикой процесса рассеяния. Она может бытьопределена из эксперимента при измерении числа попавших в детекторчастиц. Полученная после интегрирования по углам рассеяния величина σназывается полным эффективным сечением рассеяния (или просто сечением рассеяния), а величинаdσ(θ, ϕ, E) d2 ρ(θ, ϕ, E) (6.2)=dΩdΩназывается дифференциальным эффективным сечением рассеяния3.Из этих определений видно, что как σ, так и dσ/dΩ являются положительными величинами и что сечение σ равно полному числу частиц,рассеянных в единицу времени силовым центром при единичной плотности потока падающих на этот центр частиц.
Если силовой центр таков, чтосила F = −∇U (r) исчезает лишь на бесконечности, то все частицы падающего потока непременно отклоняются, так что полное число рассеянныхтаким центром частиц Ṅ бесконечно, и, следовательно, полное сечение также обращается в бесконечность.
В частности, если на больших расстоянияхU (r) ∼ α/rn , n > 0, то σ = ∞.Рассмотрим пример упругого соударения, когда частицы налетающего потока представляют собой шарики радиуса R1 , а частицы мишени —шарики радиуса R2 . В этом случае рассеянными окажутся только частицыс прицельными параметрами ρ R1 + R2 , т.
е. полное сечение σ = π(R1 ++ R2 )2 .Если потенциальное поле U является центральным, то дифференциальное сечение рассеяния не зависит от азимутального угла ϕ иdσ(θ, E) d(πρ2 ) ρ(θ, E) dρ(θ, E) =(6.3)=. 2π sin θdθ dΩsin θ dθВ этом случае для вычисления дифференциального сечения рассеяния достаточно знать ρ(θ, E) — прицельный параметр падающей частицы какфункцию ее угла рассеяния и энергии.До сих пор мы рассматривали упругое рассеяние частиц. Очевидно, чтопонятие сечения можно распространить на случай, когда частицы падаютна силовой центр, или на случай, когда при соударении частиц происходят реакции с образованием новых частиц.
При описании таких процессов3 Из формулы (2) видно, что дифференциальное и полное сечения рассеяния имеют размерность площади.§ 6. Сечение рассеяния. Формула Резерфорда29естественным образом возникает сечение падения или сечение неупругогорассеяния. При рассеянии на частицах, масса которых сравнима с массойналетающих частиц, можно рассматривать сечение, дифференциальное повеличине энергии, переданной при столкновении частицам мишени.6.2. Рассеяние под малыми угламиВычислим ρ(θ, ϕ, E) для важного случая рассеяния быстрых частицпод малыми углами, θ 1. Пусть p = (0, 0, mv∞ ) и p — начальныйи конечный импульсы частицы, для упругого рассеяния величины этих импульсов совпадают |p | = |p|. При рассеянии под малыми угламиpθ ≈ sin θ = p⊥ ,tg ϕ =pypx,(6.4)где p⊥ = (px , py , 0) — поперечная к оси z составляющая вектора p . Такимобразом, для нахождения углов рассеяния достаточно вычислить поперечные компоненты вектора p .При таком вычислении учтем, что p⊥ = Δp⊥ , где Δp = p − p —полное изменение импульса частицы за все время рассеяния.
Так как dp == Fdt в силу уравнения Ньютона, то∞∞F(t)dt = −Δp =−∞−∞∂U (r(t))dt.∂rПри рассеянии на малые углы в правую часть этого уравнения можно подставить приближенный закон движения, соответствующий прямолинейнойтраектории с прицельным параметром ρ и постоянной скоростью v∞ ,r(t) = ρ + v∞ t.В итоге получимp⊥∞=−−∞∂ U (ρ + v t) dt.∞∂ρ(6.5)Еслиполе U является центральным, U (r) = потенциальноеρ2 + (v∞ t)2 , то дифференциальное сечение рассеяния не зависит=Uот азимутального угла ϕ. Сделав далее замену z = v∞ t, получим простоеГлава I.
НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА30выражение для угла рассеяния ∞1∂22θ=ρ + z dz .U2E ∂ρ§ 6. Сечение рассеяния. Формула Резерфорда31(6.6)−∞Отсюда находится ρ(θ, E) и далее dσ/dΩ.ПримерРассмотрим рассеяние в полеU (r) = αr 2 + a2при условии E αa . Указанное условие означает, что энергия налетающихчастиц E много больше характерной потенциальной энергии α/a. Рассеяние при этом происходит только на малые углы, которые легко вычислить,используя формулу (6):αρθ=2E∞−∞ρdz= α 2.222 3/2Eρ + a2(ρ + z + a )График этой функции показан на рис.
11. Максимальный угол рассеяния θm достигается при ρ = a и, естественно, оказывается мал:При вычислении сечения необходимо учесть, что на одну и ту же площадку детектора попадут частицы, падающие с двух разных площадокдля двух возможных прицельных параметровρ1,2 = 1 ∓ 1 − (θ/θm )2поэтомуdρ21,2dθdθα ,2Eθdσ = π |dρ21 | + |dρ22 | = πd ρ21 − ρ22 == πd [(ρ1 − ρ2 )(ρ1 + ρ2 )] .Отсюда окончательно получаем⎧22⎨ α2 1 − θ /(2θm )dσ =2 41 − (θ/θm )2dΩ ⎩ E θ0при θ < θm ,(6.7)при θ > θm .Зависимость dσ/dΩ от θ изображена на рис. 12. При θ → 0 дифференциальное сечение dσ/dΩ неограниченно возрастает:dσ ≈ α2 → ∞dΩE 2 θ4θm = α 1.2Eadσ1,2 = π|dρ21,2 | = ±dρ21,2 = ±π√Рис. 11. Зависимость θ(ρ) при рассеянии в поле U (r) = α/ r 2 + a2при θ → 0.(6.8)Сечение рассеяния, проинтегрированное в интервале углов, прилегающихк θ = 0, бесконечно, так как рассеяние на малые углы отвечает большимприцельным параметрам.Дифференциальное сечение dσ/dΩ неограниченно возрастает такжеи при θ → θm :dσ ≈α2→∞√ 2 4 dΩ2 2E θm 1 − (θ/θm )при θ → θm .(6.9)Однако сечение рассеяния в интервал углов, прилегающих к θm , оказывается конечным, так как отвечает конечным прицельным параметрам вблизиρ = a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
