1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 65
Текст из файла (страница 65)
1 углах рассеяния оно должно персходи2ь в кл сания. Как указывалось в (43.12), угол рассея~ превышать величину л)(РЬ) — И„т. е. должно по себе клазиклассическое приближение сара сти углов и, соответствующим образом усовер ание дифракционных зффектов. вазиклассическая радиальная волновая функцн ральном поле имеет согласно (8.48) фазу Ф~()=- — ) Р,й-+- = я „4 2 я — точка поворота; р,(й) = О.
Сравнивая (47.2 го движсния я ) 'г 1 ь2() + 2 е> СОЕЯКИ~;;.',',':;;„.':: " слишжя)!ц~$2, '(47~~-': фазой дяй':.9)()яс '.: Йтх :::;е „-„)я2И З ~ - .ятем следует подставить в амплитуду рассеяния Я0) = —,~(21 + 1) Р2 (соз О) (ези~ — 1), (47 4) 2й будут интересовать отличные ';:!: О условие классичности (47.1) нар в (47 4), не содержащая ези(, об .'('„-.,Г(0) =- — .),(2) + 1)Р~(соз О) ези~, 0 ~ О. (47 5) 2й 4~"'., ''"!Квазиклассичсской области (47.1) полииомы Лежандра Р) можно -:-~тавить выражением (32В, (49.7)) г))(соз О) = 1- —" — ейл 10 (1 + У2) + 2т/4) .
(47.6) Чя) ив д ,.-',~~!"й амплитуда (47.5) принимает внд (1 >> 1) Д0) = — ~ —,~~ '2 ези з)п10(1+ 1!2) + Ы4) . (47.7) „-,'"~!:;;::.существенный вклад в (47.7) дают многие парциальные волны с гйнми 1, причем они входят с быстро меняющимися фазами и силь, Фасят друг друга. Нескомпенсированным останется лишь вклад тех '~МВО для ксчорых фаза стационарна, т. е. Слабо меняется межлу сосед- -,„1)$9й О Вспомним„что именно так всегда н происходит переход к клас- "~МсхОЙ механикс: услоВИС стационарнОсп1 фазы Выделяет классичсс--;,,:,: урасьгорию (лекция 7).
С.'оседние волны будуг складываться в фазе )4$)Й условии — ~2д~ + 0(1+ 1'2)1 = 2 — ~ +- 0 = О. (47.8) й Ж е юггегрнрование в (47.2') дает фазу свободного движения при ' р;",:. 1а) гб+ ))2) 2 ь )/2 )2Ь. Ь а2',"(г) = Ь вЂ” -"--, (47.9) 2 конечно„совпадает с точным результатом (В.16). Это совпаде",.: "ястся следствием правильной замены 1(1+ 1) - (1+ У2) под М " (47.2) и (47.2') (см. (8.48)).
С учетом (47.9) пвкции п<э квантовой мах)<ники (й +- й+=) 2 О) уннчтожакд„»'-'~~.'"' (2) + () ((+...)2 + — = . (47,"'$ф' яз «2 ьное расстояние Ь'ю';гф)~$'":;-' частицы па бескон~,"-': + л -~ В = О. (47«1~:-: ига фазы (47?)ои(<а~.':*'- и «. настелив~::~~Ф4 рестности то.л()1';(м<)ь~! '::,;ж;";~ я2()+ (12) 2 !и(г)~«2 Е— (47,3) можно заменит«* про ( 2)2 ::(о), д) = Йп — ),2«л(Š— ц(«)) «-~ с. (ясно, что расходящиеся при г - оо члены в (474 условия стационарности (47.8) Если теперь ввести классическое прицел 6л = «<(1+ 1<'2)<(«ли), где и = ~ — — скорость то (47.11) примет вид Ы вЂ” 2Ь ~а. «(Ы 2 (Ф) Ь Е Это классическое уравнение 132а, В 18), определя В(Ь) как функцию прицельного параметра.
Простое квазиклассическое выражение но получить, если потенциал Щ) убыли ро, что в области интегрирования (47.2), к ннмального сближения «( (1 ~ 1), для сдв ет с росто роме ок Тогда разность интегралов д, =- ~'Й <о> 3« (<' «) <о> (( + ( < 2) о2 ,зихялссичяскоая«ссвяиивия«ссаянивп ивысаехзо<в гиях звь „льку схсднмость рядов (47.4) и (44.22) определяется членами ;,-;-';,т)оскс :<я исследования удобно воспользоваться формулой (47.13), о:ф 1, д кпорой при больших 1 фазы именя. <юрядок величины (о) (с) м ('(Ч )7 д = — — — — — — — У ц =- — — У(Ь), (47.14) и( И,.Ь а2 о 2я2 Ц «я2 '"',«<(Ь)т)Ь<, где т — Ыс — „время столкновения*'.
Ьдожно показать ' з Я)23<, что фазы (47.13) конечны, если потенциал (У(«) Убывает ",=-„. оо быстрее кулоновского; полное сечение (44.22) конечно для алов, убываккцнх быстрее 1Ь2, амплитуда рассеяния вперед лля потенциалов, убывающих быстрее 1Л ' (о) „,,;:;. расстояние «) минимального сближения при свободном движении .'21')ььяает с прицельным параметром Ь, поэтому (47.13) можно перепив анде д(Ь) = — — "' „) <) (47.13') ЬЛ Ь ~~( — Ь2 ( «2 вводя переменную 2 = )«2 — Ь2, .„,, ладно, 2 имеет смысл координаты вдоль классической прямолиней"~~а:траектории (рис.
47.1; прямолинейность связана с приближением „,,:123)), Переходя к интегрированию по времени ( движения, отсчитыф5й9му от точки сближения, найдем (я = и = (М/«л) . <) «о оо Ва<=--'(«и«,я« 'Р<=- — ' ( ео <,(о'+РР< <«е.л< 2Л ...(;„„<,', Яе<сгвни с оценкой (47,14). Таким образом, в этом приближении ('(+ ) (2') :;;,;- нй ~два~ фазы 2д< = 2д ~ ----~ есть просто деленный на Й тп<тег- А. оа < ™ргни взаимодействия вдоль невозмущеиного прямолинейного Ф'-Ф- а « '-:-"Рибл«же«ие (47.13) обосновано лишь ~~ого действия потенциала, т. е.
малых Ь~ рассеяния В «1 (причем 1 настолько . что по „„„, (В > 1), о веч „",. ~н«сйности траектории (47.15) Рис 47.) ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ га ,ЗИЮИССИЧЕСКОЕВДССЕННИЕИЛЛССЕПНИЕППИВЬЮОКИХЭНЕПГИЯХ ЗВТ ы квх Задача 47ИЕ доказать, что (47.)З) может быть получало из б женим (46.15) в случае больших 7 и высоких энергий. рашанна. Введем в интеграле (47.16) цилиндричаскую снсгаму хоо а й + Ь', коюрый оргогонаасн 4 = й Ь'. Вектор г нмааг в поперечной плос«осгн х, И Угол Зэ вектора Ь в гзоско ь от вектора а, целиком лежащею в агой плоскости.
Тогда Чйсози = 2ЬЬм)п(672) совр, г вдоль вектор вдоль оси и Ь огсчитыват ЬР = вЬ = Интаграл по и дает функцию Бассалм 2гхГО 2ЬЬ Ип — ~, тогда . в) 2 Ио длм малых В 152в, 4 491 Я(7+ )/2)01 = 7)(сом В), стью 2 гйп — = о, а момент О+ й2) = ЬЬ. Персидам к 1 в 2 с той жа точно по1и г= Эта формул в качестве (47Д5), а ср совпалаат с точным 1>азложсинам (44. ) 5) в могола парзоьо Ьг (когорыа здесь считаютсм малыми, ыпд,* = ЬО азл ровзниа по ) инчанано интегрированием (22+ 0 а / вклад даа. большов число парциалвных волн. ия задачи подсказывают такой путь усоверш ого приближения, чтобы стал возможным у'е ов при рассеянии на малые углы (и, слеловаг выполнение оптической теоремта).
Будем счт существенным является вклад многих парниш стиц велика по сравнениго с потенциалом 1Г ~ «Е = — — )гтго — — К (йго~- Ь~Ь~ А2 2м 2м70 ислен трепи ффект ось что Выч рассмо онных э печивал раньше„ и энерги 2х сг 0 — ~ лр ~ Ь ЛЬ ~ Ж(г'(~~г~+ Ь ) схр ~~2ЬЬмш-- "'0 0 2 м д(В) = — — ~ дг 3 ЬНЬГГ( + Ь2) ГО ~2ЬЬмп — 1 А2 ф(в) = — — 1 ) гЫ ) Нг ==== — = — == ))(соз 2м гц(г) 2) О ;(47,1;гу;~эт 1л~гр ф01йй($)~~~' что при любых вещественных д(Ь) амплитуда (47.23) тической теореме (43.18), причем полное сечение = 4гт ~ Ь с(Ь (1 — соз2д(Ь)) = — 1ш /"(О). (47.24) О отар '- уфазуд(Ь) в( - '23) слугжат ис ;хеятшя (лекция фазы д(Ь) „';73)итеригура: (47.22), онного нтральдлнвы, 1. 47.23) можно вычислять по (47.15). Формулы ходным пунктом при рассмотрении дифракци 49).
Нетрудно обобщить их и на случай неце аличии поглощения зти формулы также справе становятся комплексными, а ~ 5~ ~ = ~ езгь(ь) , '< 118; 32в, й 131; 40, гл. 5, 13). " ' ЬТОЫ ) условия (46.22) применимости борновского приближения моне выполняться „ду (47,20) углы рассеяния малы. 1)ользуясь (47.18), запишем л') р(со, О) -(о ((1 + 82) О) = .ТО Ргд~ зш "), )гЬ~ = 1 + )(2. '. „,азложенне по парцнальным волнам (44,15) дает ЯО) =- —,2,(2(+ 1)(ети' — 1).ТО 2ЬЬ~ зш —, (47.21) 2й 2г' ,-"~,'переходя от суммирования по 1 к интегрированию по прицельным ДО) = — 1)г ~ Ь с(Ь (е2'Ь(Ь) — 1).70 12)гЬ з(п -1 .
(47.22) О 2г ,".~!"'~лгашя ети(Ы =1+ 2гд(Ь) и беря в качестве фазы д(Ь) выражение "'81715), мы вновь придем к борновскому приблнжениго (см. (47.17)). ;"':":,:,-Метог) прпг)ельного параметра (или приближение эйконала) соЬ~г()))т, в использовании (47 22) без разложения ези(ь). Записывая функ'зв))О-Бесселя в (47.22) как интеграл по (О (см. (47.16')), найдем 2л у"(О) = — — ' ~ г(гр ~ Ь г(Ь(е2И(ь) — 1)е"Уь, 0 0 Ь = (Ьсоз р, Ьз(паз). Лещие 49 РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СО СПИ НОМ З99 Лекция 48.
РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ В предыдущем рассмотрении считалось, что внутреннее с' й((~"~'-"'Ъ! рассеиваемых частиц не меняется в процессе рассеяния — - в йр))Е~~,,« ном случае частица выбывает из первоначального пучка. Сейч',"'к(;"=~ обобщим полученные результаты на случай упруго«-о рассеяния:ц~!; со олином, ко«да в процессе рассеяния может измениться не толЫГК,'йф правление движения частицы, но и ее спиновое состояние (без из«й«8~~ ния кинетической энергии относительного движения).
Пусть пй«)~~ шая волна описывается волновой функцией Фазл е Хя(л ) где «(н(зе) — спиновая часть волновой функции, отвечающая нию с проекцией спина д на ось движения к Детектор зарегистрирует рассеянную волну в направлении Ф,=; „; чем этой волне будет отвечать сливовое состояние г„,(г,), Бооб)«)къру воря,,и' ее,и, т. е. при рассеянии возможен перееороя спина, Для«ззх«г«))е)- конечно, необходимо, чтобы гамильтониан взаимодействия с зависел от спина частицы, в противном случае д является ««ига«)«9«кть« движения. Характерным примером такого взаимодействия можФ~;:,;:~~г,' т".Май) жить спин-орбитальное (лекции 21 и 38).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
