1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 62
Текст из файла (страница 62)
хвата каждой частицы равна ь«, то д сразу получаем (44.10'). неупругое рассеяние может отсутств и оно отлично от нуля, то обязсгельно („теневое'*). Это является ти«пгчным во искажает падающую волну тш;щ В ее днфрагированные . рассеяш«ые-- н (44.10) полное сечение Если вероятность за сечения поглощения Отметим, что (511== 1), однако есл и упругое рассеяние фектом: поглощение ложенин появляются щие Согласно (44.7) ««»1ЛЯ 2 Х ( 1 =- —,,'«(2» + 1)(1 — Ве Ь'1). О1тг «равпивая (44.13) с (445), вновь убеждаемся в Вьп«олнепю ,'соремы (43.18), Рассыотрг«м под мс«гты 5-матрицы ра дящейся и расхода робнее случай упругого рассея«пгя Пр вны во модушо единице (равеПС1 Вс пот щейся волнах), т.
е. можно положить (с — 2И« Выражение для неупругого сечения (44.10) ЗУЛЬТВТ КЛ»ВВ»е«« п)ие В'Щй(1«~.'«,"„' 1 «лгтийеЬ)М!: Ле«»чея 44 МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН 1ы, Мы видим, что волны по сравнескольку потенциал вской области, то ной Волне От лавинная фаза 2«11 В Лг новая функция для не '1олько В асимп ат, а В асимптОтике шихся волн. Будем единичн)'ю ампли" „ешестве и енные числа, называемые фазами расселлия. Запи- 1 как 2е"" гйп Ь1, находим амплитуду рассеяния (44.5) У'(д) = „"„(2» + 1)»)(соа д) еи«а1п Ь1.
(44. 15) я через фазы асимптотику волновой функции (44.8): Выра'«им ч «»»«(У) — — - ~~~~ 11(2» + 1«г)(соа д)(е2'»««( — 1) ер — 11е 'р) = 'ь'.' 2»р = -'- ), 11(2» + 1)»)(соя д) си х 21Р» х ехР 1»О — — + «)1 — ехР— 1' 19 — — + = -' У 1р «««Е«, в«, «юа (» — — '" + Р !~«давим (44. 16) с асимптс«пзкой (ВЗ Г) плоской вол1 :~«1«),представляет собой сдвиг фазы»-й парциальной «!фй«)В с свободным движением (см.
задачу 5-2). По ,,,да)язтколейству«ощий и отсутствует в асимптотич «~~к»атвениым „следом", оставшимся в»-й парциаль ."~~ействня, является фазовое смещение»)1. Удвое «!!.".'-"Йа6иж*т" на пути Волны к центру н от центра. ~''ф... * «1~'::!::««««Ны«огично случаю свободного движения„вол ,"'«ф»а«сеяния В центральном поле может бь1ть (точнО„В '«««1))т)»ческ«ой Области) предстаВлена как ),(2» + 1)р1(саад)с» . —— ««»(р) (44.17 Р ;;-~~~1йальные функции Н1 Удовлетворя«от уравнению (8З7) '» е» ( ~тИГ)»(» + 1) ( 0» 2 2е«л ,»2ж1 (»»»д + 1)( (44.18 е» 2 Е р2 22 - ', 1 Должны бьгть регулярными В на'1але координ 'Г«.
Тавяя1ОТ СунсрПОЗ1щщО СХОДЯЩИХСЯ И Расходя :,, нровать и», а,1гн«пю функциям»» (В.16) на -;; ' «Огла (44.16) и (44.17) дают лекции пО квантовой мехянике Лекция 44, МЕТОД ПАРЦИАЛ ЬНЫХ ВОЛН Коэ4 равны 44.18), имеющие со (В.25)), ) = ( 'Г ется их суперпозыц; — Ь)ш) '(р)). ем Ь( находится из р = 0 (как и в (В.11 имптотикой). ьное (44.6) и полно ет отсутствие расее м рассеяния (резона ансе определяется то я 33) 'пругое сечение (44 ади кольца »44.12').
.19) волновой фуню (с. Продолжим ш я )с. Там д)(й) пер торой точке Й =. — ь )( — вч) = ~со, т» е. ,) — .2в)~(-ы) — () что подтверждает значение д( как фаз разложения (44.17) согласно (44.16) с( = ()е"'. Возвращаясь к Ь'-атрице,, находим ш)(р) — — „— -'- е-" Й 1е-~' — (-1)'Ь, е~т) Обозначая и)( ) частные решения ( асимптотики е — (Р (аналоги Й( и 6) из что решением задачи рассеяния явля ш((р) = А((и) (р) ,(-) где А) и Ь) зависят от энергии„прич гу)(ярности иу(р) в начале координат решение однозначно определяется Вс Из (44.15) находим дифференциал ния упругого рассеяния, Ясна, что равенство д( = лл означа 1тарциальной волны Ц =- 0). (»4аксиму значению д) — — зт/2, сечение в резон волны (ср.
с рассеянием света, лекци Заметим, что максимальнос квантовос у превышает классическое, равное плащ Рассмотрим теперь асимптотику (44 в зависимости от волнового вектора Б)()с) = екп ~(ь) на комплексные значени вещественной величиной. Пусть в неко отрицательной мнимой полуоси) фаза д 'Фиынеи~:"-',-':.'»й (44:;:$~1~~~' (44с2)~,д.
лькО длпй()~',~» (М~й~:;;. (44 Всимщотике (44.19) данной парцнальной во~~~ ос~~~~ся лишь емое -~(-ис)г — -ьт па;(аст с асимптотикой волновой функции связанного состоя.":.'Совп * аз — (- ) азР - .з -: '- кме,сп»его эиерпло Е = — = — — — < 6 им образом, связанным состояниям с моментом 1 отвечают ну, ветствующего элемента Ььматрицы Ь(()с) на отрицательной мни,злуоси. Обратное, вообще говоря, неверно, так как не всем таким "*'й))4 5) отвечают реальные связанные состояния.
,ф:,;,;.;„Поскольку уравнение Шредингера содержи~ не А; а йз, то формаль'" ' т(вменение (г на -)с должно привести (с точностью до независящеп) ° '.~',множителя) к тому же решению тс((г). Однако при такой замене (с кт — (- 1)'Ь)()с) е'и') - (ееи — (-1)'Ь)( — Й) е 'ь") = = — (- 1)(Ь)(-к)(е ' — (- 1)'Ь' )(-(с) е' ()с) рассеяния з иалитическое овинами. -волны ие прямоугольной вме радиусом прояолжеиие и проверить связь нулей рипа вместе с бе всю иифар и на волновую пользуется ли . свободно дв НОЙ ВппаратУР лес обещающ предположением о ее аналимацию о квантовых свойствах функцию или гамильтониан. шь для характеристики асимпижущихся частиц, которые рвай.
По-видимому„именна таим для построения теории эле- ',"~йеюда следу~' что Ь) )(-й) = Ь((й), (44.25) му кули на нижней полуоси ((1 = — )зс) соответствуют полюсам ""-';,::","4) при й = .ь (ж .; -",,' йалвча 44-и Найти фазу йо -!Й!Й):тлусииой ()о, совершить в ь))й(й(рины со связанными сост Вты видим, чта Ььмат ай(рщасти суммирует в се мы без явной ссыпя ~~йййцческих состояний, т. е ~ируютс измеритель "'., лайхсд является наибо -;,„:,: „Риь(х частиц. --" -"ИтератуРВ: (4, гл. 3; 5„гл. 3, 5; 11; 15; 17; 18; 21; 32в, 6 23, 25; И2(2() = И'(0) — ~ йр — ж((р2)~1(62) 11(р) о Лекции 45.
НИЗКОЗНЕРГЕТИЧЕС((ОЕ РАССЕЯНИЕ цип 44 было получено формальное решение 1адачи расс~~'„'-'„'-':,',.о. ссегя(йя (ч ьном поле конечного радиуса действия. Бее паблк12(ас~~~ц;~".~э~- ыражак2тся через бесконечный набоР ф11зовь.х сдвиговд(ф~-,".„",; епцнал Цг) известен, то решение радиальною урави»с)())а~,',„ ра с асимптотшгой (43.5) дает возможность пайги д(,:ф).„':).-,"," жно сделан* численно). Однако за12а11ее яш1о, г1 о весь м(22(((: а ых волн практически удобен, лишь если ряды по ( поста~,.'" ,' о сходятся, т: е, фазы д1 Убывакп с ростом 6 '1табы пов))(ь",:,'.,1;",~! происходит, получим точное сооп1ошение лля фьг1. ем уравнения (Б.2') н (44.13') для регугжрных решен()ф'-;;~~~».; шюм движении и ИО при наличии потенциала (у(г):,,:.;,'::;:;",~Ё„: 212(1 1 ((1 ь 1)1 —, + ~1- — 1.~! -О, :(Ф!$)(22;.' 2 -'ф 4 ь) ~ 12(р) 1(1+ 1)1 — — + 1 — — — — — — И1=.0.
(4$Ф;,. лр ~ Е р~ умножая (45.1) на и( и (45.2) на 6 и вычитая, полу шм )рав11ение~~;~:, Щ 2(11 вропскиана йк = — 1С1 — 2"( 2(Р (4~:.:,-', з Д2 Е или, интегрируя, . (45 Предположим, по вблизи начала координат потеш.п" . П1по1 П(ф~)'' нг 1обе имеет особенности или имеет, по более слабу10. чем пс"г(' член 1(1+ 1) р . Тогда при р — О можно пренебречь в (45-',.:;.;:Ф 21 поте Лощия45. НИЗКОЗНЕРГЕТИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ 377 „с,;парные решения обоих уравнений (45.1) и (45.2) буду1 .„1паьовое поведение. Это означает, что при р -+ О из и бя прои „л1ы, т.
е. И'(0) = О. Устремляя в (45.4) И вЂ” 2, находим и'О") = — ) Ф вЂ” — 1ч(р)Ур) (45.5) с,шпал убь1вает достаточно бь1стро, то интеграл (45.5) сходит- :"'Б о жс время из асимптогнк (Б.16), (44.19) следует, что 11'(оо) =- 11ш ( соз 1 р — — 1 ейп 1 р — — + д1~— р " 2 2 ,~5г — айп р — — соз р — — + д( — — сйп д( 4)ааааа с л 1О пол) часм Ы ~'М) з1п д, = — ) 2(р — —.
И)(р)) ( ~) (45.6) о Е 2;)и() о(Л2едс21яст фазу с точностью ло Кратного 2л, ,'-:,.'", Для исследования сходимости (зазложсния по парциальным волнам ((1(5оеьятгрны фазы с большимн 6 Интеграл в (45.6) содержит пеизвест,~16точнос решение гя(. Предположим. что потенциал удовлетворяет '-'; "Овнам „хорошего поведения" при 1 — 0(гз(,2(г) — 0) и быстрого ;~~иванна гри 1 — о2. Тогда легко видеть, что для достаточно больших 1 ..;~фкинго 2С1 под интегралом в (45.6) можно заменить па решение (1 ':~3$бодно1 о уравнения Шредингера. Ф;:,.!',~ Денс'гв1гтсльно, при классическом ., ', сании большим 1 отвечашт орби- -'~~$' яасгОл1 ко удалснпьгс От центра, 1 ьгй+и "',ТД 11к1-ни1 ПО ним лици слабо воз" ~ 2 г Тся коротюдейству1ошим по1ом.
Таюй же результат полу- 12 (г) д,.;:.,'ся и ь квантовом случае. Рассмот,;-:~ффскгивный потенциал а(р+ О !~'~,-уа = Г(2)+, ( ис. 45.1). "',':,На ма; 1х расстояниях потенциал 'О "7' а 1(1 2 1) т. с. Лслик, а затем — 1/(О асгся, становясь равным знерв точке поворота гь При данной Рис 45. ( Зта ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ энергии Е выбором 1 можно сделать гз сколь угодно б „, малых г доминирует центробежный барьер, В силу чего полно 1+ 1 лновая ция зпзмала (порядка г + ).
При г > гз волновая функция , <з ш, сн)1)-„->«. дальна, т. е. Воде'Г себя как ГГ«если точка ЛОВОРОта лежи уже вн«."--' ласти потенциала. Итак, при гз > 10 Влияние ИОтен1шгша ь, следовательно, малы фазы рассеяния Волн с такими 1 Условие 1; > го означает, что Л2)() + 1) Л2)(Г («(1„) « 2ло) 2лаг, и, значит, оно выполняется при 1(1 + 1) > — г2 — — Мтгт, 1 > ззсг, ('фью(.;:. (классический результат). При выполнении условия (45. 7) фазы рйа,' '-",:;=" ния малы, дз «1, зш дз = дз, и из (45.6) наход~~ дз = — 3 Ф .—.7'1'(р) 0 Е Условие (45.7) выполняется для всех 1' ~ 0 при низких эиц~~р~~!' ()ао < 1).
Поэтому в рассеянии медленных частиц заметен толькол)й~ч,„, ВЫй СДВИГ Х-ВОЛНЫ: ВЫШПИС МОМЕНТЫ Стаиаавтел ВажНЫМН ПО МЕ)24)))(~;;;,з та энергии. В пределе низких энергий во всей области, Где потенциал (1(а)~1;„':.;:,. щественен (г < го), в силУ (45,7) можно заменить ~огласно (ВЗ1„фФ4~~, Сзрз + ', причем СГ не зависит от энерггзи (В.15). Тогда ьп (45,о) )зв)йу.'-'; дим низкоэнергетическое поведение фаз рассеяния () > О) д ) с)р ' т 2р21 ь 2 б2 = ~,)г П(1*)гз ",:,(4~-'~~~ с0) 21+ з, н з 2 4ж"'"~« 0 Е Е з"Огласно (45.9), д ь21 ь 1 Е! + 1,'2 (45в« т. е. д убывает с ростом 1. Поэтому метод парцнальньзх Волн работает для медленных частиц, когда В рядах (44.15), (44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
