1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Это оз~а~~~т, ганнон ы (36.24) осУществлают пРедставление ал~ебРы «36.5), эквиое исаи»! схо»»ному, так что существует унитарное преобразование С„ '""' 'юшее об»а набора'- С( — р')С '=-,б, Сас '=а. (36.25) ~'„.'!'!~щена ЗЬ-З. Иаяги матрицу С в егаи»»артиои иредогаадении. „'~~7:, + . — ! ~~~!~~»аев С = гдг»2, гДе ииожигедг» выбрав как, ого С .=- С = С ':;:!(адалаеа! в общем уравнении Дирака (36.6') комплексное сопря-»»! '-'- — = (р*'тс2 — а (ср + еаа') + еслЯ Ч»' (36.26) Ь,Ч» — по-прежнему столбец, но с комплексно-сопряженными агами), Подействуем на обе части (36.26) матрицей С* »й — '- = (С ( — ф") С 'тс2 + (36.26') д» + С а' С ' (ср + еЫ) — еа4») С Ч»".
, '„Ясь свойствами (36.25), окончательно получаем д(С г»г ) "1~';:-;;:-', й "---- = (ртс2 + а (ср + егао») — егяа')(С Ч»'). (36.27) ':":.~: видим, »то если Ч' есть решение уравнения Дирака во внеш- ~:е.:, е то (6 гр ) также есть решение уравнения Дирак --:Вгонако ш»исывающее частицу с зарядом противополо "-.:2 2) отли »ается от (36.6') заменой е — — е. Поэтому о "»ор»»бовым сопряз»сением. - ~»в»угон стороны, если Ч» есть собственный вектор гамп юц»ий определенной энергии Е (все компоненты Ч» »;,::.- "енсы вектора (СЧ»") имеют временную зависимо Зяа ЛЕКЦИИ по КВАНТОВОИ МЕХАИИКг т.
е описывают состояние с знергией — Е. 11 ИЖ1*. Мы»,а.1 ния уравнения дирака всегда появляются а, ' ', «я~а парами ( ь Е; ~» „ с полной знергией Е < О не наблюдаются и не ся и не от'ве га1.. зическим состояниям. Сделав над формаль а ЬПЫМ реп1сн~ Дирака с Е < О операцию зарядового сопряже яжсния, 1,П, и„ ние с Е > О, но с противоположным зарядом. '»" реальному физическому состоянию — античам то гичаьпп 1. 1'аким рядовое сопряжение позволяет вместо регпе . КЕНИЯ, С11НСЫаак1 .22;:,.;» рон с Е < О, с < О, рассматривать позитрон с Е > О, с > О Сан. '-:,'.'-'.
ияя зарядового сопряжения имеет смысл„кон *, б, него поля, когда Ч' и (СФ") опнсывакггся просзо тож уравнениями. УГСЯ П»ЗОС'1О ГождесГ " ч ЛнтеРЯТУРа1 12, 1» 7; 6, ~ 21, 22; 7, гл. 17-„3, Ь' 1 , гл ., ~66,67.4~:;'. массОИ БОкОЯ л2 Ф О. частицы, подчиняк1- частицы: ОБодНОЕ дВИжЬНИЕ ДИРА((ОВС((ОЙ ЧАСТИФ1 - 2, ыы огранпчимсЯ частицами с нснулсвОЙ ~"""'' ам стапионарныс состоЯИИЯ свОЙОДНОЙ ',."уравнсниВ1 ди1зака, когда задана знсргиЯ Е 111(г г) — 1Р(г) е-ж1Я (37.1) Й1Я2исяп1И11 От времсни биспинор 22(г) удовлетворяет уравнению Йф = (рл1с2 + сар)1р = Еф, (37.2) р импульса р очевидным образом коммутирует с Н„позтому вс )1 можно выбрать состояние с определенным импульсом р ртау1О1ц1«е репзснис ссть плоская вОлна Я')= — — ',—,, сй" 1и(р), (37.3) (2А в»з' ,„'Ф.'::, собстасннОс значение импульса, а ь(р) — биспннор, удов11ст..621н1 алгебраическому уравнению фл1с2 + сар) 12(р) = е 14р), (3 7.4) ,.,'-Й»есле умножения на ус (ср.
с (36.17))„ (р — вс)н = О. (37.4') 2М1;,.","'Нческв (37.4) представляет собой набор четырех линейнь1х ь"х ураьпений для компонент биспинора л (р). Поэтому должырс линейно и~залп~им~~ стационарных ~о~~олина, прн- 7, 1 л»нх данному собственному значенн1о р. Подействован на обе а,:;,-;.,:~2- '1) онерагором (р1лс2 + сар), найдем допусзимые знергии '!':-: 62 — 2 1 1 с2,2 (37.5) .'4Ф.ВОЗ ОЗЫ явныя значения Е = Е- =- 1т~с»1 + сзр2 (37.5') лекции по кнритонои мех»»ии Надо еще показать, что оба эти значения » Я Леиствнтслъно появльчотся парами, т, е, для каждого собст СО СТВЕ~»»»»»»т» лежащего одному из значений Е (37.5'), с . , СУЩЕСТВУЕ, *д ныи вектор, принадлежащий значению — Е Это »ощью зарядового сопряжения (см.
лекцию 3С, Заменим в (37.4) р — — р: О, 3 ())тс — сар) и( — р) =- Еи( — р) сделаем комплексное сопряжение и измени б м О щ»»и шак ( р*тс' + са*р) и'( — р) = — Еи ( — р) посхю чего соВершим за1»яловое соп)ряженке (С( — 13') С 'тсз + С а'С 'ср) Си'(-р) = — ЕС '( и ( РХ"::$ По определению (36.25) получаем фтс' + сар)(Си'( — р)) = — Е(С)»'(-р)) т е. каждому биспинору и(р) с энергией Е соо"ее~с»кует б»» ""' Си*( — р), отвечающий энергии — Е. Из четь»рех лш»ейпо иеэавИ решений с данным р два отвечают энергии Е =- Е,. > 0 и ""' Е.<ЮК ак уже говорилось в лекции 36, наша иитерп р ключается в том, что решения с Е > 0 о»ись»ва»от»асти»0- тогда как вместо решений с Е < О следует брать пм заряд женные, описывающие античастицу-позитрон: и.„„(р, Е > 0) = и (р, Е); и„,»(р, Е > О) = Си'( — р, — Е).
Согласно Дираку, возможна и несколько и» шя юп ерпретац»1В пий с отрицательной энергией. Спектр разре»ле»»»»»лх зиерп»й '., имеет вид ко»пинуума с щелью от — тсз до+тст (рис. 37 1)-Ясдйе, »ака картина физически неудовлетворительна, так как эле Е > 0 могли бы в присутствии третьего тела излучать эиерг"щ 2тс» и переходить в состояния с Е < О. Дирак допусгил, »т0 н все состояиия с Е < 0 заполнены однородным фоном:»лектро»»ов', " ре Дирака"), который в силу своей од~»оро сказываетса на Реальных экс»»СР»»ь»с»»тах.'':гзс пРинципУ ПаУли (см. лекцию 53)»»СРеход.Ф",вь нов нз состояний с Е > О в за»юлие»шые фона невозможен. С другой с»ороиы, поле с: ., той ш > 2тс ря может перевес»и фо»ювь»и В ВЕРХШОЮ ЧаетЬ КОНтннуума, ао будст»»аа»г:=И ся как появление частицы с Е > О и дь»ркн.в',- ниях фона.
Во внешнем палс злекэронь» д:.;";,,;!~ зт своьодиов движкииндирдковской члстицы ." .ЯвкОвл яие комионенть» и: »0 ит (р) и= (37.9) »»4) "'!Вата»шар»» юь» представлении (36.8) уравнение (37.4') примет вид -'(") — э в(~1 — (')=» (»~. и „.)(Ф»ву»ась» систему связанных уравнений для спиноров у» н т — р — д р;( = »пс»р, †-Х+д рр=- Х, (37.11) еж'ю выразить каждый из спиноров через другой. сд р сд.р де , .е зиачра'Ре~»~иыости одпородпой системы (37.11) дает слова собст- ,»О,до "ачсиия эиер».ии (37.5'). Само же решение определено с точдвухкомпопептиого спшюра (задавая, например, »р произ- (37.12) 4 '»О Ие»а» » ',, внсимо от знака энергии. Тогда дырка в фоне передвига„„„положную сторону, что отвечает движению позитрона. »им, зарядовое сопряжение позволяет избежать введения , Мь» ВЛЛ» .-;- С„»»„-~ моРЯ электронов. ПеРескок электРона из состоЯнил 'дасмот ,я»,ие Е > 0 с Остал»»е»шем дь»рк»» В фоне есть просто роз»с- 'СОСТОЯ '*фары 1~,~екэ ров — -- позитрон Ве»е»»»н»»м полем; Обратным процесаилигиллцил пары — заполнение электроном дырки в фо„иость»аких процессов кладет предел рассмотрению дви'е гош»а ВО Внешнем пОле как Од»»очастичной задачи — при эвч»ю б»»льп»их частотах поля число частиц перестает быть фик,ыь» и необходимо Решать задачу многих тел (электрон и О шжитронцые пары).
Это приволит к ряду наблюдаемых эфго, конечно, связано с обсуждавшимися в лекции 35 реляти"""' ' ми соотношениями неопределенностей. ."»Вт",Рейдсь» теперь к Решсни»о уравнения Дирака (37.4) для свободь-$виж иия 1астицы Уд»»б»»О Вместо четь»рехкОМ»»онентного биспи-''""::и ввест»» лва двухкомпоиентных спинора»р, т, объединив верхние 326 лекции по квлнтОвОИ мг хА22ике вольно, из (37.12) с Е = ь Е- находим Т).
Ясно, .по 2 * что лвукрас '', денис состоянии с Определенным знаком эьюргпн саяз . связано с 22 в выборе даухкомпонентного спинора, т. е. с возм<2ж, Р можноа22 к2 висимых внутренних состояний частицы И '11) 2Р = ~ ~ ИЛИ 2Р = ~ 0 гевидпо отшода, что дираковская частица имсс2 сглтп 122 водит к наличию двух внутренних состояний. Пусть мь2 имеем состояние с положитсльцо21 — .2 знерг)(6фь = + Е. ~ а2с .
ХО2да из (37.12) следует, что в перелятнаис Е '"" деле (Š— 2лс2 «а2С2) верхние компонензм бцсплцо)22 ( ) „,' в" сравнению с нижними (т): сд-р а-р Наоборот, для решений с Е = — Ер малы верхц22с кон~д"х 2р — Оу!с. В системе покоя частицы (р = О) сднп из спнноров ется в нуль, а оставшийся даЕт обычное нерслятивистское О2" ' частицы со спинам 1/2. Именно этим удобно стапдар2ное и ние матриц Дирака. Для 22ахояц)ения мат12ичных элсмснт022 фнзичсскцх аел261$2 мируем биспинор условием и+и = 1. Рассматривая состояния с Е > О, имеем из (37.9)„(37.12) ':,.;..','Ф р 222 сд.р Е+ акя 2 122 "'2~ „.~-22 — ~ Ас )2 „2е,р-2 —......— — ~ са р 1 — — '.!::::::!:~4 — Й =,'62 12 1+ -,;-1цр "р) с2(д .
р)' 1, (Е + ак2)2 ~ 15,';, Считая спипор 2р нормированным (72~ р = 1) и 2юс ~-"Уясь (1 ',:,':;;,;;, лучим с2Р2, 2 27 22+а — 1)22 ~2 1+ 1Р2 12 (р+ .?)2 ' 6 2 тс2 22 32 свОБОДнОе ДВижение ДиРАкОвскОЙ чАстиЦы 329 а ~ОМ, 2Ю 2юрмированное со2ласно и л = 1 12ешение уравнения имеет вид гр "'~йестас ~6 ° цпиме)23 вычислим среднее 322ачение Око)2ости частицы ,н (37 3). Оператор скорости соп2аспо (37.2) равеи Ос =:- — - =- — 1Г, Й1 = -'- 1Г, (Ссра)1 = Са. (37.16) ф,;, ться, ~ю собс.гвенные значения всех матриц а, равны ь 1, -субедить , ",,:)бствс2222ь2е тиачения компонент скорости частицы равны +- с сошояннс с Определенным значением компоненты скорости не """ ея стационарным, его можно построить лишь как суперпозицню : ""2)й с положительными и отрицательными энергиями, для такого '" ния величина 1Ч2 12 будет содержать быстро осциллирующие 2р2 (с частотой (+Е Ж) — ( — Еда) =- --- > ---' ), так называемое р ра ) '''1222е2 Вз (37.16) видно, по различные компоненты скорости меж(нее коммутируют а22а22огнчно тому, как это было для нереляти- "' Й частицы а магнитном поле (18.9).
В данном случае эффектив- '-~)2)ОЛС' Соэдаезеа СПИНОМ ЧаетнцЫ, а ВзаимодейСтвие Еп2 С дниже- . 62асттшы сс22 спин-орбита22ьная связь ~„".:,')дсесгоя222~22 с Опрелсленной энергией (например„Е > О) с12еднсс ,,Л~2не скоросз и Озлично от с. усред22яя оператор (37.16) по состоя- .,„Р7,15), найдем (др) д + а(ар) сзр 42'-.,":,!'-'-':, 2, 2 2р 2Е Е *',д Е мс -б 1326, 9 с)~ с2-:::.~'.ИЧ22С СПИН-ОрбитаЛЬНОй СняЗИ ПрИВОдвт К тОМу, Чта ОрбнтаЛЬ- "'ю22ый моменты частицы в отдельности не сохра2гяк2тся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
