1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 53
Текст из файла (страница 53)
""'" наму или Ви)атуальному (на ко)аатких ВРСМСБах) НОЯВленню ааовьяа:,".ж ' тип, так что представление аб одночастичном движении ег неприменимым. Имея В виду эти ограничения, попробуем аюсараиаь Реа« скос квантовое уравнение. Искомое уравнение должно для свабн ' " движения частицы с импульсом р давать формулу энерман Е = ~«на2СЯ * сзр2 для пла~но меняюацихся полей («а, с-..сг" переходить в класси аесквя, жение ''5" Е = аааазс' + с2 ~р — — »ка«»( + сар, а в квантовом нерелятнвистском пределе обрапааться В у(авва«ваш%'.я дипгера.
11ростенший суть такого построения -- замена аа Выра „, (35.3)-(35лр) энергии и импульса релятивисаскап 'шстпцьа с вующими квантовыми операторами (1.35) Е- Е=4, р- р= — а«ааа а — =, а действующими на коорлинатнук> волновую фуааюпаю ° " 'гх о и анФй, в силу некоммутативностп операторов р и г".'у(Е) а Рудно ПР значный смысл входящему в (35ьр) квадратному корню' Предпочтнгелыаее поэтому сначала Возвести (35.3) " , ю -ааьаеи"-.'-. лишь затем „каантавать" это соотношеааие с памошьа'а ,, чаем ураененне Кааейна — Гордона (1926) для релятивист- Ч-,'~~д ПОЛУ , Во внешнем электромагнитном поле '!';,ости аа ы 4.- (««« — еар)2ча = ( 2С4 + (ср — ео т)2) Ч«, (35 5) ажсрвнцнаЛЬНОМ ВИДЕ ячйи еж — ау — " »2аа«+ .-- Ч'(г', «) = О )' ' (' '1 (35 5') (35.6) ='.""~еа - таис паля (35.5') свод«пса к уравнению Гельмгольца с/ « ' ' 2а в' '5" """"''«Ч»астиц с пулевой массой покоя т =- 0 — - к обычному волновому '"" 'аййиаа -:",::()авенида«а„что уравнение (35.6) обладает рецаениями, описываю- плоскую монохроматическуаа волну.
Действительно, ар(г, «) = сопя( е«(ре (35.7) ' Ря решением (35.6), если Е2 .2 — - + «гс — — О, язст я2 »,3Ю " с Релятивист м соот . -' (35 3) е у энергиеи лсом свободной частицьа. Можаао, как и в уравнении Шредин- , ':,ВЕкваь стационарные решения уравнения (35.5'), описывающие »»а-...' не частицы во внешнем поле, не зависвщем от вРемени.
В частпрн ар = — Уе«г, гав« =- О мы получаем релятивисгскнй „атом во° Решешае этого уравнения дает спек"гр связанных состояний, ,:., аа прв е -~ со переходит в обычный нерелятивистский спектр .;"«'Г~дааака релятивистские поправки, полученные из решения урав- ,:.: (35 5 ) В куаиановском поле, не согласуются с экспериментальнытагами исследований тонкой структуры водородного спектра ,,';Фекцааао 21) "~::;;., м образом, уравнение Клейка — Гордона не описывает кван'::" . Велсааие релятивистских электронов. Это связано с тем, что Функши Ч«, уловлетворянащая этому уравнению, является од.:::"., «'евтной величиной, т.
е. отвечает частицам со спинам Я вЂ” О. ...:,. Овен . авве К„*- ,„.Ких б,,. е Клейна .. (ардона можаао прааменять для описания реля'ги бессниновых частиц, например, л-мезонов („ пионов" ). Как ;,амина вна юсь в лекции 3, „пионы" (наряду с друпами мезонами) Выполняют роль переносчиков ядерных сил, а нх компто ОМПЗОНОВС„.„. У волны 2 = /«/(лг с) играет роль радиуса действия пих Уравнение Клейна — ! орлова имеет решения, по,тв„ кое истолкование. Пусть, з«апример, источником !юля „ я ялерных - ' ляется точечный нуклон, расположенный в начале ко«! оорлннат.
чески симметричное статическое решение уравнения (352 б) ностыо в точке г = О имеет вид «/«(г) = — ""'" е-зм = ' ""' е.е!3. т. е. Описывает пионную „ц1убу Бук!юна, прости)«а«ощукзез! ! «уюея: 'вву стояния — Л . Именно пион, как легчайший из мезонов «!"- радиус действия межнуклонных сил. Силы, действую«дне на ме' "' ' расстояниях„оп)зеделяются уже более тяжелыми (т. е. с ыеь«ьщей' "»' тоновской длиной Волны й/(влс) мезонами. При и! - 0 е«о!вел!/лов«"г, вы (35.8) переходит в обычный кулоновский потепциал точечщ~~~-"и«" да („переносчиком" здесь Является безмассовый фотон).
Примен: уравнений Клейна — Гордона для описания пионного поля по дается удовлетворительным согласием вычисленной по атому, "" нию тонкой структуры спектра связанных состояний в куле "'" поле с наблюдаемым спектром л-мезоатомов. Следует, однако, отметить, что уравнение Клейна — Гордона видоизменения интерпретации по сравнению с уравнением Щй ра. Поскольку теперь мы имеем уравнение второго порядка по ным производным, задание волновой функции Ч«(/О) уже не опрее всего дальнейшего развития системы — для этого необходимо, например, еще производную Че(!О).
Величина ) «Р )» уже не моея„".„,«~,, ляться плотносгью вероятности в обычном смысле, так как и 3' е/г ! Ч» (з по всему объему, в отличие от (4,12'), теперь пе сох Как легко убедиться, для уравнения (35.5') роль плотпости Вер могла бы играть величина ",(е ( — '+ — ' ) — (' — '-" )'г'].:::::(,:. так как интеграл от нее по обьему не зависит От времени Ио'":;:.Н» нне (35.9) пс является положительно определе«пп !."!. Фя™ ° ктичей„ дает временную компоненту р 4-вектора тока (Р, /зс) У/«О зр шего уравнению непрерывности -- + «Ь» „! д! е««ятнви ! Т« Все зги трудностз! тесно связаны с упоыянутызп! Ре'я ,,ой степег».., СООтношениЯмп неопреДсленностей Они в зека«ит зп'! ЖДЕНИЕ НО- лее! я зь ннпитивиотакин кн/«нтовынл'/«внииии в квае«товой тсории ПОЛЯ, гдс Допу'СКЗстея ро шсло которых является переменным.
":-;чй;ти!« " с«иц со олином з = 1/2 можно построить уравне яо!.н «ИОе у'равнению Шредингера В смысле ВерО „цни, - — уравнение Дирака ()928). Однако при з «пп«яваетсЯ что нарЯду с злектронами ( частицами' ) вас'!' такзке их анти«заст'ицы — - !зознтрозп,! «+ и попытке локализации злектрона более тесной, чем тоновской длины, знергия, затраченная на локализац ношения неопределенности превысит порог 2тсз роек ::""'" чн,он — позитрон, так что вновь мы получаем задачу м !е-",)з,",'т ратура: (2, З (3; у, гл, )б).
'6,'„, « Будем искать релятивистское уравнение, содер изводную по времени, а следовательно (для реляти ности), и ««О координатаьь Если мы ~стим ««ридж мильтонову форму (4.24) «ъ ему обььч«~Ь ей компонент оператора импульса р, = сан в виде Здесь а = (а н,) и »3 — неизвестные выбраны так, гюбы обеспечить правилы Б силу однородности пространства и могут зависеть от координат частицы (г, операторами энергии н импульса; они о ними энергиями частиц данного сорта. Д которьпд дол«Явь«подчиняться эти опера свободных частиц Однако из (36.2) имеем (соблюдая по гелей) Й2 = «нзс«р2 + стр р а;а. + тгзр,(„Ва, + и «6».
Записывая второй член в правой части (36.4) в с««мь-'стр ' '"..э ««щщмь а — сзр,р (а,а, + а а,) 2 то гамильтониан Й свободной частицы должен быть ли««ейнойфу д — «й --.,т. е. может бьтц«', 3 Й = сахр, + саяр, + са,р, +»3«нс' — = гтйр + Анс'. Операторвй а коэфФв« «ую Ржмьр««о ь Л';. о;::.Ф времеви операторы а тьмй «) И ПОЭГОМу «ЕОМЬ«ут,..:'иь«.-:, ««редет я«Огся лнпь в ля того чтобы найти у,'„'х торн«, заметим, что дф,".
Й2 = н2 4 1,2о2 рядок Оцервто»злых в * иван (364) с (36З), получаем: р2=1; ра,+ар=0; аз =. 1(«= х,у, г); а,а, + а.а; =О, «~»'. (36,5) ::-"' Об атом, мы Олучили условиЯ, Определяющие а « 'ебру Оперн,о Рдэаз ~' вантовое уравнение (36.1) для ьзстиц, описываемых вол° ка 'у „ей Ч, и е ' вид «й — = (р«нс2 + сар) Чт. (36.6) '";Я„'тк„обобщается на случай наличия внешнего поля («р, «эпэ). «й — — = (,б«нс + а(ср — ееэо ) + е«р) Ч'.
(36.6') д« мы прелполагаем, что взаимодействие с электромагнитным по""" „':вкяючается" таким же „минимальным" способом, как это было в нвнстской теОрии р«1в«евндно, что операторы а и р действуют на внутренние степени з йастиыь«„т. е. могут быть представлены матрицами, имеющи' ~~а)мерность (как и число компонент волновой функции Ч'), совпас числом различнь«х значений, которые могут принимать эти ,, и,свободы (аналогично обычным двухкомпоиентным спинорам, ,'146ймю 15). Б силу (36.3) каждая компонента волновой функции оряет уравнению Клейна — Гордона (35,5) — 62 — — = Йтч' = (т-с4 + с2( — 1й'1з)2) ч'.
д2'Р дв "';Флавия Зб-«. Г!охвзвть, что необходимые условия (36.51 не могут быть выполнены Н Рвзмеоноетъ«о меныней 4 ":~йд«а««ение (36.6) волновой функции Ч«, имеющей 4 компоненты ,;- „ОР), озщсывает, ьак мы увидим ниже, частицы со олином 1«2 и ::,::,.: тел»равнением дирака. На классе матриц 4 з« 4 можно найти "Ое множество наборов частиц а н р', удовлетворяю«цих уело-=( б 5). чз«тически все оии эквивалентны, и выбор того или иного 2»)й»)бь«х з«редставления Определяется соображениями удобства 'х двух представлений можно найти унитарное преобразова":::: ешт«тяющсе переход между ними (конечно, линейно преобра.'ф:," "Оь«««оненты волновой функции).
::,: ння "еск««е результаты не будут зависеть от представления; для их достаточно свойств (36.5). Если же нам понадобится явный при транспонировании У! У! У2 = У2* Уз Уз Уо У! = У! ! о у! инора (стол Ч' ! Ч»2 »р = Ч»а г «г а«ж»г г» ч' = ч' Р»е»е» . Очевидно, что Ч'+ удовлетворяет уравнению »и .. Ч»+ д 2 а а ! г раЧ»га д» Вводя плотность вероятности найдем, что справедливо уравнение непрерывно»:ти 4 » = сЧ»+аЧ» = с ~~»Рд(а)»о,Ча где ленгор плот»»ос»пи нотока верон»нности жг =! В отличие от нерелятивистского случая (18.) !) век»ор з Фо содержит диамагнитного слагаемого„хотя компоненты волив"'.,-.:.;-'а ции Ч'„, конечно, зависят от поля.
Величины р и» ве»песта чем р а О, что позволяет в противоположность (35.9) "сп обычную шредингеровскую интерпретаци»о. Определив -иа Свао, произведение биспиноров как () 0.16*') а в том же жного знаперация С Лекцияэа 'гРАВНЕЙИЕДИРАКА З23 5»к (Ч»», Ч'2) = ~ »»Р Ч',+ Ч'2, (36.23) и, весь аппарат гильбертова пространства. Задание :~го„:.,»с »роя г! вость»о »,ю определяет эволюции» системы. ся свободой, сушествукллей в выборе матриц Дирака, 'ваосяьзуемс ня важного свойства уравнения Дирака. Заметим, что .: 'Иевлева „ма»риц а и ф вве~ти »5* = — )3", а' =- а*„ (36. 24) 'э»ге ош»ые г:оотношения (36.5) не изменятся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
