1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(18.57б) При й-1, 8(1 функции 7, д обращаются в бесконечность; однако интеграл (18.54) остается конечным. Легко видеть, что рекуррентные соотношения (18.55) определяют функцию, которая при больших р ведет себя как ега, поэтому, чтобы выполнялось условие (18.54), ряды должны обрываться. Предположим, что это имеет место при и=а', т. е. а„э, =Ь„+1=0. Тогда из (18.55) следует а~а, = — аЬн, «'=О, 1, .... (18.58) Умножая первое из уравнений (18.55) на а, а второе на аг и вычитая одно из другого, получаем Ье ]а(8+ и+ й) — а,у] = а„[а, (8+ о — А)+ ау].
(18.59) Полагая здесь о=а' и используя условие (18.58), находим 2а(8+ а) =у(а, — а,) =— 2Еу йе ' Часть !д Релитисисгскис теории Замечая, что ~А1=/+'/и получаем ут -ут Е = гпс' ~1 + У, ~, (18.60в) (и'+ 1т (/+ Чь)' — у') н'=О, 1...; /+ — =1, 2 Из формулы (18.606) видно, что отрицательные значения й= — 1, — 2, — 3, ...
также приемлемы. Однако при и'=0 равенства (!856) и (18.58) дают Ьь у а, (18.61) аь «+а и ' Поскольку з((А(, знак первого выражения для Ьь/ас совпадает со знаком л, второе же выражение всегда отрицательно. Поэтому при и' 0 л может быть только отрицательным, т. е. /=1+'/с. Выражение (18.60в) можно разложить в ряд по степеням уз Е=тс~~1 — 2 ь ( 4 )1' (18.62) Здесь п=п'+ (й(. Видно, что теория Дирака приводит к случайному вырождению по 1; состояния с одним н тем же значением / и разными 1 отвечают одинаковой энергии. Это вырождение устраняется лэмбовским сдвигом, обусловленным взаимодействием электрона со своим собственным полем.
Для /='/> этот эффект на порядок меньше расщепления тонкой структуры, для /~>/> — на два порядка меныпе. Например, согласно теории Дирака, значению л=2 соответствуют два состояния одинаковой энергии: з, и рь, сверхтонкое расщепление между ними и состоянием р„, составляет около 0,36 ем-т. Благодаря лэмбовскому сдвигу состояние з, оказывается примерно на 0,035 см-' выше, чем р, . Энергия связи составляет 27000 см ', так что мы и в самом деле имеем дело с «тонкой> структурой. Регненин е отрицательной энергией Мы видели, что как в теории Клейна — Гордона, так и в теории Дирака дозволены состояния с положительной энергией )~те' и состояния с отрицательной энер- Гя.
ев. Решения уравнения Дарана гней ( — тсе. В классической теории также существуют решения с отрицательной энергией. Однако йх можно исключить с помощью соображений физической непрерывности: классическая частица не может перейти из состояния с положительной энергией в состояние с отрицательной энергией, не проходя через состояния с промежуточной энергией. Поэтому отбрасывание состояний с отрицательной энергией эквивалентно начальному условию, согласно которому «вначале» все частицы имели положительную энергию.
Совершенно свободная отдельная квантовая частица также не совершает квантовых переходов. Однако совершенно свободных частиц не бывает, и переходы всегда происходят вследствие взаимодействия с полем излучения или иным образом. Можно, например, вычислить, что для электрона, связанного в атоме водорода, излучательный переход в состояние с отрицательной энергией произойдет примерно за '10-м сек.
Коль скоро переход произошел, электрон будет быстро «падать» в направлении бесконечной отрицательной энергии. Такой вывод, очевидно, противоречит опыту. Дирак предложил считать состояния с отрицательной энергией занятыми. Тогда переходы в них запрещены принципом Паули. Предполагалось, что электроны, занимающие состояния с отрицательной энергией, не создают гравитационных нли электромагнитных эффектов. Иными словами, согласно Дираку, в состоянии вакуума все состояния с отрицательной энергией заполнены. Иногда одно или несколько состояний с отрицательной энергией могут оказаться пустыми.
Отсутствие отрицательно заряженного электрона должно проявиться как присутствие положительно заряженного электрона, т. е. позитрона. Когда Паули в 1932 г. в своей статье 1441 рассматривал такую интерпретацию состояний с отрицательной энергией, он отверг ее на том основании, что в то время отсутствовали экспериментальные свидетельства в пользу существования позитронов. Однако к тому времени, когда статья появилась в печати (1933 г.), позитрон уже был открыт Ан дерсоном 1551 11932 г.), и теория Дирака была реабили. тнрована. Часть П. Рскктивистскис теории Представление о «море электронов с отрицательной энергией» позволяет вычислить вероятность образования пары в электрическом поле ядра — надо лишь вычислить вероятность перехода электрона из состояния с отрицательной в состояние с положительной энергией.
Кажущуюся асимметрию в рассмотрении электронов и позитронов можно устранить. Это было сделано Гейзенбергом 1451 и Крамерсом (46). Следует заметить, что в применении к уравнению Клейна — Гордона подобный прием не проходит, так как частицы со спином нуль не подчиняются принципу Паули. Паули и Вейсскопф [38] показали, что энергия квантованного поля всегда положительна, Параметр Е в волновом уравнении положителен для положительно заряженных частиц и отрицателен для отрицательно заряженных. То же относится и к плотности заряда. Теория возмущений Из общей структуры теории Дирака ясно, что как стационарная, так и нестационарная теории возмущений формально строятся так же, как н в нерелятивистской теории Шредингера.
Разница состоит лишь в том, что матричные элементы вычисляются теперь между спинорами, а не между однокомпонентными (скалярными) волновыми функциями. Рассмотрим рассеяние свободных частиц постоянным потенциалом р'. Вероятность рассеяния в единицу времени дается известной формулой ьт= — )Уп(зр(Е), йл (18.63) где Жрь ЕР ~ЯРь Р( ) = ~р~у~ь ЕЕ = (зла)ь и ' Начальная волновая функция свободных частиц есть ф,=псе "г', (18.65) где 4-компонентный спинор и; не зависит от г. Волновая функция конечного состояния имеет вид ф~ — — и ес"/'", (18.66) 273 Гл. 18. Решения уравнения Еираки где иг не зависит от г.
Таким образом, Уи — — ) Уе'Я' е(т (а'а,), и = К, — К . (18.67) С точностью до множителя авга, это — то жевыражеиие, что и в нерелятивистском борновском приближении. Вычислим величину ~ (итти,) ~т. Обычно не интере- суются конечными состояниями с какой-нибудь опреде- ленной проекцией спина, поэтому следует просуммиро- вать по всем конечным спнновым состояниям. Далее, может оказаться необходимым взять половину суммы по начальным спиновым состояниям.
Это усреднение по начальным значениям спина следует произвести, если начальное состояние неполяризоваио. Проще всего вычислять такие суммы с помощью проекционнык операторое Казимира. Следует заметить, что, рассматривая упругое рассеяние, мы не можем преобразовывать суммы с помощью условия полноты, ибо суммирование производится не по всем возможным квантовым состояниям. В частности, как начальная, так и конечная энергии должны быть положительны. Введем оператор 1 ))Е)+и р+Рш) (18.68) 21 1Е~ а=о=1.
Заметны, что выражение 2 ~а + 1е~ 1 2!и ~ и! (18.69) равно и нли 0 в зависимости от того, принадлежит ли и состояниям с положительной или с отрицательной энер- ' гией. Представим Р в следующем виде: Р= 2 (1+и и+ рП), 1 (1 8.70) Отсюда 2 ~ ~(а',и )(агц) = —,Я~„(а,'Р и ')(агР,и'). (18.71) в.б ° се и 18 Г, вате 274 Часть П. Релятивистские теории Эти две суммы равны друг другу, поскольку проекционные операторы при действии на функции состояний с отрицательной энергией дают нуль. Заметим далее, что 1 7 — — 2 (1+ те~+6 ), (18.72) ~с= 2(1+ .
Че+йФ Величины 1ь в этих двух операторах одинаковы, так как рассеяние упругое. Теперь, суммируя по конечным состояниям, мы уже можем воспользоваться условием полноты. Это дает ~ ит(1+и ° у +рр)(1+в тте+рц) ц . (18.73) Поскольку суммирование производится здесь по полной системе биспиноров иь мы можем взять любую полную систему. Выбирая ее в виде 1 О О О О 1 О О 1 О О 1 О ' О О О получаем В Бр(1+и ' «7+рц)(1+в тт,+рц) (18.74) Расписывая скалярное произведение и пользуясь тем обстоятельством, что Бр а = Яр р = Бр ар = О, находим окончательно 2 (1+ ч, ттр+ ре) = 2 (2 — о'+ о'соз О), (18.75) где «е ° «7 — =созО.
о' Итак, сечение рассеяния в теории Дирака отличается от результатов нерелятивистской теории множителем. 1 — 'з1п (1 О). (18.76) КВйытОВАНИВ ПОЛЯ Мы неоднократно отмечали в предыдущих главах, что для правильного квантовомеханического описания взаимодействия электромагнитного поля с частицами требуется квантование электромагнитного поля, т. е. кваятовая теория поля. Дело в том, что при квантовании механических параметров (координат и импульсов) нужно также квантовать и связанные с ними поля.
В противном случае, как показали Бор и Розенфельд [47~, можно предложить такой мысленный эксперимент, который состоит в одновременном измерении координаты и импульса частицы по наблюдению создаваемого ею поля и который тем самым нарушает принцип неопределенности Гейзенберга. Допустив необходимость квантования классических полей, таких, как электромагнитное, мы можем рассматривать и одночастичные уравнения Шредингера, Клейна — Гордона или Дирака как классические уравнения поля для плотности числа частиц или заряда. Далее можно их проквантовать таким же образом, как и электромагнитное поле.
Эту процедуру обычно называют вторичным квантованием поля частиц. Основная цель, которую преследует квантование поля частиц, — это учет возможности измеяения их числа. Выше при рассмотрении дираковской теории позитрона мы видели, что частицы могут рождаться парами, так что их общее число в самом деле способно изменяться. В обычной теории Шредингера для описания частиц используется Зп-мерное пространство. Когда при рождении илн уничтожении частиц число п изменяется, гораздо удобнее использовать формализм, непосредственно допускающий изменение числа частиц, чем изменять число измерений пространства. Обычная теории Шредингера содержится в этом формализме. Действительно, Йордан и Часть 111.
Введеиие в теорию иояя Вигнер [48]') показали, что теории поля с фиксированным числом частиц эквивалентна обычной задаче многих тел. Поскольку при квантовании электромагнитного поля возникает несколько специфических проблем, мы начнем с квантования полей частиц (вторичного квантования), отложив рассмотрение квантовой электродинамики до гл. 2!. Аналитическая механика волей; лагранжео (йормализм где дф и дхи' (19.2) ') См. также [491,— Прил, ред. Программа квантования полей в точности следует обшей процедуре квантования уравнений движения любой классической системы. Задается классический лагранжиан системы, определяются импульсы, канонически сопряженные координатам, и находится функция Гамильтона. Квантовые уравнения движения получаются путем замены скобок Пуассона соответствующими коммутаторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
