1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 34
Текст из файла (страница 34)
дв дх" (17.19) Введем «сопряженную по Днраку»волновуюфункциюф, 1=фу (17.20а) и умножим уравнение (17.4) на Иувув. Придем к уравнению И вЂ” ахун+ тсф = О. (17.206) дх" 4-вектор тока определяется равенством ~~н = труитр= (р ~ ) ° (17.21) Подействовав теперь на уравнение (17.19) оператором Иуи(д7дхи), мы получим да д О = — Ь»унуе ф — )Ьтсу" — тЬ = дхе дх" дх" = — — !у у +у"у! Ье де ф — нт'с'ф = 2 дхт дх" д' = — Ьтр~ — ф — т'сзф = дхт дх" = РнРнф — т'с"-ф = ! ( — е —,РР) — тест~ т). (17.22) Мы ввели здесь 4-импульс д (е ) При симметрнзации произведения уну' был использован тот факт, что операторы дифференцирования коммутируют. Уравнение (!7.22) показывает, что релятивистская связь между энергией н импульсом сохраняется.
240 Часть //. Релятивистские теории /у', /уз 'Ч', уоуг тоут уоуз /узуз /узуг /уьут /уоузуз /уоузуь /уо,гуз уьузуз (у'у'у'у'= /уз. (17.23) Обозначим элементы этого множества через Гг, 1=1, 2,, 16. Можно проверить, что имеют место следующие свойства (по повторяющимся латинским индексам суммирования нет): Г,Г =а, Г„, а, =+1 или +г, (17.24) Г,Г„=/ тогда, и только тогда, когда /=т, (17.25) Г,Г.=+ Г.Г, (17.26) Если Гг Ф /, то всегда существует матрица Гл такая, что Г„Г,Г„= — Г, (17.27) Матрицы Дираиа. П Докажем теперь несколько теорем относительно матриц Дирака. Для исследования этих матриц не обязательно предполагать их эрмитовыми, и мы не будем делать этого. Соотношениями, определяющими их, служат, конечно, правила перестановки (17.18).
Любое множество величин, удовлетворяющих условиям уиу'+ +утри=2дит, называется алгеброй Клиффорда. Можно из четырех матриц у образовать новые, составляя произведения каких-либо двух или более из них. Так как квадрат каждой из матриц у равен ь/, имеет смысл рассматривать только произведения, в которых все множители различны. Порядок следования сомножителей несуществен, так как матрицы или коммутируют, или антикоммутируют.
Это означает, что существует 2' — 1 различных произведений четырех матриц у. (Число различных комбинаций, которые можно составить из п элементов, равно 2" — 1.) Добавляя еще единичную матрицу /, получаем перечисленные ниже 16 различных матриц: l, Гл. Гх Уравнение Дирака. арормальная теория лег Теорема 1 Вр(Г,)=О (Г,~Л). (17.28) Доказательство Выберем номер й матрицы таким, чтобы для рассматриваемой матрицы Г~ можно было воспользоваться свойством (1727). Используя еше равенство (1725), получаем Вр(Г«Г,Г ) =Яр(Г,ëë) = Бр(Г,) = — Бр(Г,). Теорема 2 Сумма тв ~Я'.~ х«Г«=О, только если х« — — О; й= 1, 2, ..., 16.
(17.29) Доказательство Умножая равенство (17.29) на Г, находим х 7+ ~~.", х,Г,Г„=х„!+ ~~ х„а«„Г„=О, «фм ««™ «тьт причем Г„ч«7, так как йФт. Возьмем шнур х Яру= — ~ч'„', х„а, Вр(Г„)=О, «Фт согласно теореме 1, Отсюда х =О. ьа Первый важный результат, который дает нам теорема 2, таков: матрицы Г«невозможно представить с помошью матриц, размерность которых меньше четырех, так как из последних нельзя составить 16 линейно независимых матриц, которые мы могли бы использовать в качестве матриц Г. Будем считать отныне, что размерность матриц у равна именно четырем.
Подчеркнем следуюшее — тот факт, что уравнению Дирака можно удовлетворить четырехмерными матрицами, не является следствием четырехмерности пространства— времени. 16 Г. Бате 242 Часть сс. Релетиеистсиие теории Из теоремы 2 следует, в частности, что любую четырехмерную матрицу Х можно однозначно записать в виде линейной комбинации матриц Г» 16 Х= ~', х„Г», »=с Умножая это равенство на Г и находя шпур, получаем Яр(ХГ )=х„бр(Г Г )+,'»', х»3р(ûà )=х Яр(7), (17.31) х = — 8р(ХГ ). В качестве дальнейшего следствия из теоремы 2 мы можем усилить утверждение, выраженное равенством (17.24).
Именно, теперь мы можем сказать, что ГсГ =ас Г, где все матрицы Г, различны прн разных индексах лч и фиксированных 1. Действительно, предположим обратное: ГГ„=а, Г„, Г,Г, =а,,Г„, Г ФГ,. Тогда Г =а, ГГ„, (17.326) (17.32в) аст что противоречит свойству линейной независимости матриц Гм Теорема 3 Любая матрица Х, коммутирующая со всеми матрицами Ти, кратна единичной. Доказательство Предположим, что матрица Х не кратна единичной.
Всли матрица Х коммутирует со всеми у, то она ко»с- Гл. !7, Уравнение Дарана. Формальная теория 243 мутирует со всеми матрицами Г;: Х=Г!ХГь Используя разложение (17.30), мы можем написать Х=х Г + ~~~ хьГь, Г +7. (17.33а) ь ~ го Поскольку такое разложение является единственным, мы получаем х = — х,„=О.
Так как матрица Г была произвольной, с тем исключением, что Г чь7, мы доказали, что условие (Х, у"! =О аяя всех н (17.33 в) дает Х=а7. Теорема 4 Доказанные выше свойства позволяют нам получить другой важный результат, известный как фундаментальная теорема Паули. Эта теорема гласит: если заданы два набора четырехрядных матриц уи и уаа и для каждого из них удовлетворяются правила перестановки (17.18), то существует такая несингулярная матрица 3, что у"'=Юу"3 ' (17.34) Доказательство Положим св Я= Х Гааги т=! (17.35) где Р— произвольная четырехрядная матрица; каждая из матриц Г! представляет собой одно из 16 произведений, образованных из уи, матрицы Г! аналогичным Согласно соотношению (17.27), существует такая матрица Гь что Г;Г Ге= — Г, и, по предположению, Хкоммутирует с этой Гь Следовательно, Х=х Г„+,~~ хяГя =Г,ХГ, = веь а =х Г,Г Г,+ ~п~ х„ГеГ„Г,= — х Г„,+,~ х,(+1)Г„.
(17.33б) Часть !д Релятивистские теории образом построены из у'и. Согласно свойству (17.24), Г»Г;=а„Г», тогда Г;Г,Г;Гу=а»ОГ»», следовательно, з Г~Гс =(Г;Г,) = аОГ;Гт — аЫГ», Р Г~Г~ =а;,Г,', так как матрицы Г;, отмеченные штрихом, построены по тому же образцу, что и нештрихованные матрицы.
Тогда для произвольного индекса ! мы имеем Гс5Гт = ~~ Г~Г;РТ,Г» =,~~ а~ыГ»РГ». (17.36) 1 7 Поскольку а4 =1 и суммирование по 1' проводится по всем !6 элементам, его можно заменить суммированием по А=А(1), что дает, согласно определению (17.36), Г;5Г;=5. (1 7.37) Чтобы показать, что матрица 5 несингулярна, рассмотрим величину 5' 5 =Хг,бг,', (17.38) Здесь 6 — произвольная матрица. По соображениям симметрии Г5Г =5 (17.39 а) для любого с. Учитывая равенство (17.37), можем написать 5 5 = Г;5'Г,'Г;5Гс = Г»5 5Гс. (! 7.39б) Отсюда по теореме 3 следует, что 5'5 а). Далее, а чьО, так как матрицы г и 6, входящие в определения (17.33) и (17.38), можно выбрать произвольно.
(Легко показать, использовав в качестве матриц Е и 6 матрицы с единственным отличным от нуля элементом, что равенство а=О для всех таких Е и 6 противоречило бы линейной независимости матриц Г„.) Следовательно, матрица 5 несннгулярна и у и — 5уи5-». (17.34) Гя /7. Уравнение Дирана. Формальная теория 2еа Более того, матрица 5 определяется однозначно с точностью до постоянного численного множителя.
Действительно, предположим, что 5ьу»5ь =5ау" 5,, Тогда 5й' 5гу»=у»5з '5ы а это означает, что 5е '5ь =ау, пли 5ь — — а5е. Далее, если по заданным четырем матрицам у», удовлетворяющим правилам перестановки (17.18), определить матрицы у "= 5у"5 то очевидно, что новые матрицы также будут удовлетворять соотнош ен ия м (17. 18) .
В заключение отметим, что матрица уь в (17.23) антикоммутирует с у» при любом р и (уь)'= — й Нижний индекс б поднимать нельзя. Явный вид матрвт4 Дмратеа Дадим здесь одно из возможных матричных представлений матриц Дирака. Ясно, что соотношения (17.7) н (17.!2), или при другом выборе (17.16) и (17.18), не определяют матриц однозначно. Поэтому при решении задач обычно лучше не вводить явных выражений для них. Мы видели, ро матрицы Днрака должны состоять по крайней мере из четырех строк и столбцов.
Ограничимся именно такими, четырехрядными матрицами. Ранее мы установили, что шпуры матриц 8 н аь должны равняться нулю. В большинстве задач, включая атомные, рассматриваются частицы, движущиеся с умеренными скоростями. При этом член с лтсз в гамильтоннане наиболее велик, и удобно представить 8 в виде диагональной матрицы.
Вместе с условиями Вр 8=0 н (1'=7 это приводит к выбору (17.40а) где ! — двухрядная единичная матрица. Три матрицы а, для того чтобы ангикоммутировать с (1 и быть эрмитовыми, должны иметь следующий вид: (17,406) 2еб Часть П. Релятивистские теории где двухрядные матрицы А" не обязательно эрмитовы. Они также должны антикоммутнровать друг с другом, и их квадраты должны быть единичными матрицами. Вспомним, что как раз такими свойствами обладают матрицы Паули а. Очевидно, все соотношения (!7.12) будут выполняться, если положить (17.40в) и принять определение (17АОа). Тогда, согласно (17.15) и (17,23), получим Т ° у е . (1?.40г) Мы увидим, что выбор матриц Дирака в виде (17.40а) и (17.40в) удобен при обсуждении вопросов, связанных со спином.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
