1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Упругое расее/гнив Рассмотрим сначала процессы упругого рассеяния, при которых гр„=ори, по во. Первый член в интеграле (15.11) сразу дает Е Второй член, Е ~и ] ) р ) е /(/т, ... /(т 1 можно записать следующим образом: Е 1(о('по ]и '~ее ((о(2 ( /=1 о он/ Последнее выражение получается в результате двойного интегрирования по частям и отбрасывания поверхностных членов. Имеем И цтолнноненин столов с вигетнинньоти нистииали 2то Очевидно, в фигурных скобках стоит плотность вероят- ности дня 1-го электрона.
Введем величину р(г;)=е, ~ (фо~г Ц о'тт. (15.12б) Тогда интеграл (15.12а) можно переписать в виде (г)етч" .',. (15.12в) Замечая, что векторы г; здесь являются просто пере- менными интегрирования, и вводя величину р(г) — пол- ную электронную плотность в точке г, — преобразуем интеграл (15.!2в) к виду гт(у)= ) р(г) етч'сИ. (15.12г) Величину Р(д) называют форм-фактором. Согласно при- ведетиому выще определению р, мы имеем ~ р(г) отт=е.. (15.12д) Если Π— угол рассеяния (угол между векторами кои к), то тн)=2р з(п(О/2) для упругого рассеяния. Формула для дифференциального поперечного сечения при упругом рассеянии в направлении О, тр такова: Г еет1тт1г 1 о(О, тто) = ( 2 с ) в,и~ (Втг) ~Е ~(ттт)~ гее' г 1 (2ро) в~и'(О(2) >~ ~®> ' Разложим величину 7 — г (т)) в ряд по степеням т1.Член нулевого порядка исчезает согласно равенству (15.12д).
Член первого порядка пропорционален величине р (г) г Нт, представляющей собой среднее значение дипольного момента атома, и потому тождественно обращается в нуль. Первый неисчезающий член пропорцио- Часть Л Теория строения атома пален а'( р(г)ттстт. Как видно, при рассеянии на малые углы дифференциальное поперечное сечение не зависит от угла, а зависит просто от среднеквадратичного расстояния электронов от ядра. Видно также, что особенность при а=О, свойственная формуле Резерфорда, здесь исчезает.
Когда да«1, где а — характерный радиус атома, Е(д) «Е. Скорость входит в сечение рассеяния только в виде произведения рп. В нерелятивистском предельном случае эта величина равна удвоенной кинетической энергии. В обратном предельном случае п - с, рп= 1т'. Зависимость от рп оказывается точной при любых скоростях.
Форм-фактор для тяжелых атомов можно оценить с помощью теории Томаса — Ферми, а для произвольных атомов, и с большей точностью,— по методу Хартри— Фока. Неуиругое рассеяние В случае неупругого рассеяния, когда пчьО, общая формула (1б.!! ) для дифференциального поперечного сечения сводится к следующей: п(О, Ч)=( —...т,) — „) ~~ф,ррсе"'!ей1 ... ~йг . (15.14) з=1 Тот член из интеграла (15.1!), который был пропорционален 7, здесь обращается в нуль благодаря ортогональности волновых функций ьро и ф„. Напомним, что функции ф, ф, описывают электроны в атоме. В частности, если аппроксимировать их детерминантами Слэтера и заметить, что величина 1~~ е'ч'т! представляет со- / 1 бой одноэлектронный оператор, можно придти к заключению, что неупругое рассеяние имеет место, только если начальное и конечное состояния отличаются лишь одной орбиталью.
Гл. !5. Столкновения атомов с варяеиенными частицами и!7 Оценим порядок величины т/а: т/е = Ао'+ йе 2йой соз О; т, н Ре Р е/иии= о '"= Л (15.15) лр ли~ о'!ет — — таи иаи — =- чп! й гнт Ев — Е, 'тини !то '7 Положим ń— Ее=!!у=ее/а; величина е'/о=ив есть скорость электрона на первой боровской орбите. Следовательно, е/„„и = — ', е/„„,а — — „' << 1, (15.16) так как предполагается, что борновское приближение применимо. Далее, е) ... =й+ йо = 2/ео е/„,„,а)) 1. (15.17) Поэтому при изменении е! в пределах от й — йо до й+Йо параметр е)а пробегает значения от значительно мень- ших единицы до намного превышающих единицу. В случае с/а«1 разложим экспоненту. Член нулевого порядка исчезает вследствие ортогональности волновых функций.
Первый неисчезающий член приводит к инте- гра'лу !г! ~ т!*„тр ~~ г с/т, (15.18) l представляющему собой дипольный момент для перехо- да О ~п. Поскольку поперечное сечение содержит мно- житель е1-4, наиболее вероятны акты рассеяния с ма- лыми е1, а при таких процессах, как мы видим, столк- новения вызывают главным образом переходы, кото- рые разрешены также оптически. Результат (!5.18) во- все не зависит от приближения Хартри — Фока. В слу. чае е)а=! возможны любые переходы, а не только ди- польные. При е/а))! интеграл, входящий в формулу (15.14), становится очень малым из-за быстрых осцилляций экс- поненты, за исключением того случая„ когда подобным 2!о Часть /.
Теория строения атома же образом ведет себя и волновая функция ар„. Если воспользоваться детермннаигным приближением, тоин- теграл приводится к виду ~ Есч тис (г) н„(г) ь(т, (15.19) (15.20а) (15.20б) (15.20в) В последнем случае (когда атом сталкивается с электроном) обычно в качестве выбитого из атома рассматривают более медленный пз двух участвующих в процессе электронов. В связи с этим формула (15.20в) видоизменяется следующим образом: наес аммиака 1' 2 (15.20г) Более того, в этом случае возникает обменный член между падающим и атомным электронами, который приводит к уменьшению попегечпого сечения, когда и — величина порядка ц.ак Эта величина может быть болыпой только прн условии, что рм изменяется как е'ч ", т.
е. если возбужденный атомный электрон в конечном состоянии обладает импульсом, примерно равным д. Отсюда мы заключаем, что существует приближенный закон сохранения импульса для системы из падающей частицы н возбужденного электрона; ииыии словами в случае па » 1 приобретаемый ядром импульс невелик. Этот результат важен при определении величины аУааааас так как ЛДааакс теперь имеет смысл максимального импульса, который может быть передан э,пектрону падающей частицей массы М в результате столкновения. прн котором сохранщотся полные импульс и энергия этих двух частиц. В нерелятивистском случае из элементарной классической механики следует 2М тик "Чмакс —,Н аааа1макс 2Иос, если Л( "> т, йЧааакс шоо.
если М т, !'я 15. Столкновения атомов с заряженными частицами 219 Энергетические потери пидиющей частицы Когда заряженная частица проходит сквозь вещество, она испытывает множество соударений, поперечное сечение для каждого нз которых определяется формулой (!5.11). Неупругие столкновения происходят даже на больших расстояниях между частицей и атомом, ограниченных сверху величиной 1/с)„„„которая составляет примерно 100 атомных радиусов при о- с. (В релятивистской области это расстояние растет далее про.
порционально р.) При таких столкновениях частица теряет свою кинетическую энергию и в конце концов останавливается. Убыль энергии на единицу длины пути есть — "„~=~Д ~ „(О, ~) а(ń— Е;, (15.21) —.И =2п - з!п ОДО. ою ою (15.22) Согласно формуле (15.15), д До = йй, з(п О ДО. (15.23) В нерелятивистском случае имеем вюо й= —, Л юою йю —— —, Ь (15.24) "Да.
2П" „'ПОДО 2 дйУ ою "о где И вЂ” концентрация атомов. Величина ~ о„(О, юр) Дюс представляет собой полное поперечное сечение неупругого столкновения, в результате которого атом приходит в конечное состояние с энергией Е„,; разность Е„ — Е,= = (Ою — )к' равна потере энергии частицей при этом столкновении. Суммирование по п проводится по всем атомным состояниям, что дает полную потерю энергии частицей — Д(й7Дх. Чтобы вычислить эту величину, рассмотрим сначала выражение Гл.
Го. Столкновения атомов с ваояженныии костиками 2лт' Эту величину мы вычислим в нерелятивистском случае — +2н 2т (15.29) Потенциал 1т, конечно, коммутирует с А. Отсюда (тт', А) =,~~~ — 2а [т',, е"'"1 = — — ( — д е'~'т+2тт( ° е"'Ж~)бы = = — ~~ е"'У (д' — 2(п 7~), (15.30) (А'(Н, А1 )ат = — ~~ ~ тйте '~'те'ю')(д~ — 21е) 7~)фи с(т. ьу (15.31) Будем считать, что функция тра вещественна (что мы всегда вправе сделать); тогда перепишем правую часть равенства (15.31) в следующем виде: ~- '~', ('е" Ь- т)(д~„~д й~.Чрф~ут+ с+у + —,)~~ ') (д' ф '— тт1 1тЯ) тй. (15.32а) Е Это есть замечательное обобщение правила )-сумок Второй член в первом интеграле проинтегрируем по частям, опустив поверхностный член.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
