1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогда результат точно сократится с первым членом первого интеграла. Вто. рой член второго интеграла равен нулю, что можно установить с помощью интегрирования по частям. Следовательно, вместо выражения (!5.32а) получим — ~ дтт)т тлт = — с.д'. (15.3261 222 Часть ! Теория строении атома Вернемся к уравнению (15.27). Имеем — — — — !и'х.1п ="'" . стнт 4лхиес '7мьис (15.33) а'х тамо Чиин Величина )ЧЕ, очевидно, есть полное число электронов в единице объема.
В качестве дм,„, можно использовать выражение (15.20б), не зависящее от энергии, а в качестве ам„„мы возьмем среднее значение величины (15.! 5) = — уср = (Еи — Еа)ср (15 34) амин сер Это выражение обычно используется в формуле для эффективного торможения. Можно, однако, продвинуться несколько дальше и найти зависимость величины !,р от Е с помощью модели Томаса — Ферми. Это было сделано Блохом, который показал, что У, =Сх., где С вЂ” некоторая константа. Опыт подтвердил этот закон, и для С было найдено эмпирическое значение около !О эа. Окончательная формула для эффективного торможения в случае тяжелых нерелятнвистских частиц выглядит тогда следующим образом: а' !Ге 4лхтеи 2аеот — — р !ЧЕ! п —. о атоо Са Эта величина зависит только от скорости частицы, но не от ее массы.
Дальнейшие расчеты можно найти, например, в книге (371 ч а с т ь П РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЕ КЛЕННА — ГОРДОНА Нерелятивисткое уравнение Шредингера для свободной частицы можно получить, если заменить Е па тЛ(дтд!) и р на (д/с) т в нерелятивистской формуле ре — = Е. 2ат (16.1) то получится уравнение Клейна — Гордона: — Ь~ — т) — — а с 7 т)+ т~сеф. (16.3) Это уравнение было также получено Шредингером.
Зададимся целью найти такие величины р и ), которые удовлетворяли бы следующим критериям: величина р должна быть вещественной, интеграл от нее рт(т должен сохраняться во времени и преобразовываться как скаляр при преобразованиях Лоренца; кроме того, требуется, чтобы удовлетворялось уравнение непрерывности вида У.) + — =О. др да (1 6.4) Чтобы выполнить поставленную задачу, определим р и ) следующим образом: р=2 ° (,р дт Ф дт )= *(щф Ж (16.6') 2лтее ! дт дг' ) Бтет ) = — „". (ф"'рр — фур").
(16.5б) 15 г. Бете Если произвести ту же замену в релятивистской формуле ст)те+ тасе Е2 (16.2) Часть . Рсяятиеистские теории Ясно, что величина р вешественна; можно проверитьтак. же, что соотношение (16.4) удовлетворяется. Рассмотрим 4-вектор (ср, 1) и потребуем, чтобы волновая функция ф достаточно быстро убывала на больших расстояниях т. Тогда, используя уравнение (16.4), находим, что интеграл я( рат является лоренц-инвариантной величиной и не зависит от времени.
Уравнение (16.3) имеет решение ф — Ес !и т-ы! (16.6) (16.1) где ятсьт = (ьтстйт+ ттся) Чтобы зто уравнение переходило в (!6.2), потребуем Е=йе, р=йк, (16.8) Тогда Е=+с у'р'+и'ст. (16.9) физическая интерпретация урааненая Клейна — Гордона Уравнение Клейна — Гордона можно записать в явно инвариантном виде сится П'Ф= —,т Ф (16.10) ()с=в 7т —— Так как волновая функция ф имеет только одну компоненту, она должна преобразовываться как скаляр при преобразованиях Лоренца. Это означает также, что частица (или, как будет видно в дальнейшем, квантовое поле), описываемая функцией ф, не должна обладать никакнмн другими степенями свббоды, помимо трансляций в пространстве — времени. В частности, уравнение Клейна — Гордона (без добавления дополнительных уравнений) может описывать только частицы ну.
левого спина, такие, как и- или К-мезоны, 227 Ге. 1д. Ураенение Клейна — Гордона Заменяя !д(дф/д!) на Е в выражении (!6.5а), мы по. лучаем р= — „ИР (16.11) В нерелятнвнстском приближении Е=тс', и р и ! сводятся к нерелятивистским выражениям для плотности и тока вероятности. Однако в общем случае ни р нельзя интерпретировать как плотность вероятности, ни функцию ф нельзя рассматривать как амплитуду вероятности найти частицу в данной точке пространства. Это видно из того, что выражение (16.6а) может принимать как положительные, так и отрицательные значения, тогда как плотность вероятности должна быть величиной неот. рнцательной. Неопределенность знака выражения (16.5а! проистекает нз того обстоятельства, что как ф(г, !), так и дф/д! могут (и должны) быть заданы произвольно в начальный момент времени !=О, иначе нельзя определить решение ф(г, !), так как уравнение Клейна— Гордона — второго порядка по времени, а не первого, как нерелятивистское уравнение Шредингера. Поэтому если выражение (!6.5а) положительно при некотором значении дф/д!, то вследствие произвольности выбора производной по времени значение — дф/д! также будет приемлемым, и при таком выборе величина р станет отрицательной.
Так как в уравнение (16.3) входит вторая производная по времени, то для того, чтобы удовлетворить уравнению непрерывности (16.4), величина р должна содержать первую производную. Из формулы (16.11) видно, что р может принять отрицательное значение нз-за существования решений с отрицательной энергией. Дальнейшим следствием описанных свойств уравнения Клейна — Гордона является то, что теряет силу квантовомеханический постулат, согласно которому волновая функция ф определяется своим начальным значением в некоторый момент времени.
Из-за этих затруднений от уравнения Клейна — Гордона сначала отказались. Правильну1о интерпретацию уравнения Клейна — Гордона дали Паули и Вейсскопф (38]. Они предложили рассматривать это уравнение как классическое уравнение поля (подобно уравнениям 15" ггв Часть Ес Релятивистские теории электромагнитного поля) и затем проквантовать его; мы рассмотрим эту программу в гл. 19.
Тогда становится разумной интерпретация величин р и 1 как плотностей заряда и тока частиц — квантов этого поля. Для свободной частицы нет нужды рассматривать решения с отрицательной энергией, ибо если энергия свободной частицы превышает тот, то частица никогда не сможет перейти в состояние с энергией, меньшей — тст. В этом случае величина р остается положительно определенной, и возникает вопрос, возможна ли тогда вероятностная интерпретация.
Эта проблема была исследована Ньютоном и Вигнером [60], которые дали положительный ответ, но установили, что при этом собственные функции оператора координаты будут уже не дельтообразны. Вместо б(х — х') появятся довольно сложные функции, описывающие частицу, не локализованную в точке, а размазанную по области с размерами порядка Л(тс.
В присутствии внешних полей возможны переходы в состояния с отрицательной энергией Е. Такие состояния, согласно теории Паули и Вейсскопфа, следует понимать как состояния частиц с положительной энергией, но с отрицательным зарядом (если положительные значения Е соответствуют положительномузаряду), Переходы из состояния с Е)0 в состояние с Е<0 интерпретируются как рождение (или уничтожение) пары частиц с зарядами противоположных знаков. Мы обсудим этот вопрос более подробно в гл. 18 в связи с уравнением Дирака, Взаимодействие с внешним электромагнитным полем Чтобы учесть влияние электромагнитного поля, задаваемого потенциалами А, ~р, проделаем обычную замену р — ьр — — А, с (16.12) ЕьŠ— ец. Получим ~И вЂ” „.
— еср) тР = ( —,. т — еА) тг+ итсвф. (16.13) Гл. СЦ Уравнение Клейна †Гордо В результате подстановки ф(г, с)=ф'(г, Г)е-и"'"ою (16.! 4) уравнение (!6.!3) сводится к следующему: дгХг' дф' — аг — + 2И !тсг — еф] —— дге дг — еф ~2тс — еф+ И вЂ” 1 ф = г д!пот дс 1 = ~ — огсгЧг + 2сеосА Ч + сенс (Ч А)+ егАг) ф', Считая, что ~ и+ ~ = О (ефгр'), и пренебрегая энергией еф по сравнению с тсг, получаем (16.16) Кулоковское воле Полагая А = О, еср (г) = — †' , ф (г, с) = лс(г) ); (О, ф) е-'~'", 4(тгс' — Ег) 2Ет р=аг аг= Ьгсг ' аса у Е тс ( + хг) Ьс (16.16) Это есть не что иное, как нерелятивистское уравнение Шредингера с электромагнитным полем. Можно показать, что при градиентном преобразовании функция ф приобретает лишь фазовый множитель ехр (сег!/Ьс), где 1! — произвольная функция. Если в уравнение надо включить еще потенциалы других типов, то прежде всего нужно определить их свойства относительно преобразования Лоренца.
Если они ведут себя как 4-векторы, то их следует добавить к (сф, А). Если же они преобразуются как релятивистские скаляры, то их можно включить в член тсг. Часть г!. Релятивистские теории гзо з, = — — '+ ~/ (7+ -')' — ут. (16.16) В нерелятивистском пределе зь 1, з = — ! — 1, откуда следует вывод, что надо рассматривать толькозначение зь.
Правильность этого вывода неочевидна, так как пРи !=Он УФО мы имеем з+ — — — '/з+ 'Г 'гл — Ус < О. так что Р расходится. Следовательно, надо дополнительно обсудить условие конечности волновых функций. Как видно из сказанного, нельзя потребовать, чтобы волновая функция ф была всюду конечной. Разумно потребовать, чтобы она была нормируемой, т. е. чтобы интеграл ~ фтс(т был конечным. Это накладывает ограни. чение з> — '7т. Ясно, что оно удовлетворяется для з+. К сожалению, это условие удовлетворяется также и для з при 1=0 (а также и при больших числах ! для достаточно больших значений у, но эти большие у являются нефизическими, как мы увидим ниже).
Достаточно сильное ограничение можно получить, потребовав, чтобы были конечными матричные элементы кинетической энергии. Как следует из уравнения (16.! 7), соответствуюшее условие имеет внд ~(-",Я'гз г С (16.19) мы получаем из уравнения (16.!3) ' !Рт "!!')+!' ' '(г+!! — т'~д 0 (1617) рс ар ! сгр, !р 4 Р Последнее уравнение описывает поведение бесспиновой частицы в кулоновском поле. Оно не относится к атому водорода, так как электрон обладает спииом '/и Уравнение (16.!7) похоже на уравнение Шредингера для атома водорода, отличаясь от него тем, что из !(!+1) вычитается релятивистский поправочный член уз.
Заметим, что Иш у'=О. Однако величина )с не с .+а мала, так как у входит в нее вместе с большим множителем Е~с. Для малых радиусов р мы имеем )с-рс, где 23! Гл. !б. Уравнение Клейна †Гордо Отсюда следует неравенство а> — '/ь Оно удовлетворяется только для а+. Условие (16.19) сохраняет силу также и в нерелятивистской теории. Таким путем мы оставляем одно, и только одно, решение радиального уравнения (16.!7) для каждого значения 1. Это есть необходимое и достаточное условие того, чтобы решения /7 образовывали полную, но не «сверхполную» систему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
