1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 36
Текст из файла (страница 36)
физаческая антериретацая матриц Дирака Матрица а фигурирует в выражении для потока вероятности тр сатр, Поэтому нужно ожидать, что са слет дует интерпретировать как оператор скорости г. То, что это действительно так, следует нз гейзенберговского выражения для производной от оператора по времени, е1= —,.„!А, Н'1, которое, в силу (17.9), имеет место и в теории Дирака. Тогда х= —.[ес, Н)=сп„ 1 И (18.11) г =си. Выражение (!8.!1) означает, естественно, что матричные элементы операторов в обеих частях равенства Гл. 18. Решения уравнения Дарана равны, т. е. — ~ ер"хне(к =с ~ ереа фей. ПосколькУ пал=1, собственные значениЯ ая Равны .+!. Таким образом, собственные значения скорости равны +с.
Это весьма примечательный результат, так как из классической теории относительности известно, что частица конечной массы никогда не может иметь скорость, равную скорости света. Больше того, компоненты вектора а не коммутируют друг с другом. Поэтому, когда измеряется скорость в каком-нибудь одном направлении, скорость в двух других направлениях остается совершенно неопределенной, Возникает впечатление,что это свидетельствует о невозможности измерения скорости. В связи с этими трудностями было высказано предположение, что следует переопределить оператор координаты. Можно перейти к такому представлению матриц Дирака, в котором сосгояния с положительной и отрицательной энергией не связываются друг с другом.
Это так называемое представление Фолди — Вусайзена [41]. Оператор координаты х в этом представлении отличается от оператора координаты в обычном дираковском представлении, которое можно получить из первого представления посредством унитарного преобразования. Детали расчета можно найти в книге Швебера (42]. Оказывается, оператор х в обычном представлении Дирака совпадает с оператором координаты для частиц со спином '1„полученным из общих соображений Ньютоном и Внгнером (60]. Из формул (18.1!) следует, что релятивистская частица со спином '/, совершает сложное движение.
Оно складывается из усредненного трансляционного движения, на которое накладывается колебательное. Шредингер ]43] называл его 2111егЬемейнпд (дрожательное движение). Действительно, рассмотрим оператор а„= —.„[а, Н] =1» (а Н вЂ” ср„)= — —. (На — ср ). (18.12) 1 2 2 л И1 .е гз .е е» Здесь принято во внимание, что а„антикоммутирует со всеми матрицами, входящими в Й, за исключением 2Я Часть П. Релятивистские теории самой а„. Поскольку Н и р„— константы, 2 ° 2 а = —.а Н= — —,. На. 1й л 1й (18.13) Интегрируя, получаем асс — яснов — е21нс1вев (18.14) где а'„— значение а, при 1=0. На основании (18.12) а Н= — асс-мнчь+ср, 1Ь к 2 к' 1йс 'О -мни»Н — 1, т Н-1 (18.15) Замечая, что Н' '=Н~Е', имеем х — '" асс-винил + "', (18 16) 2 л Е' о е сй ег (а„а„а,)= — 2тс'ра а а .
(18.17) Смысл этих результатов остается неясным. Отсюда видно, что «дрожательное движение» представляет собой колебание с частотой 2Н/й, которая равна по меньшей мере 2птст/й, т. е. очень велика. Конечна, его нельзя набл1одать нн в каком реальном эксперименте. Если рассматривать оператор координаты, о котором шла речь выше в связи с представлением Фолди— Вусайзена; то никакого «дрожательного движения» не получилось бы. Поэтому этот оператор обычно называют оператором средней координата. Матрице 8 не дается никакой физической интерпретации.
Однако можно убедиться в справедливости следующих соотношений: Гл. !В. Решения уравнения Дирака Рассмотрим оператор момента количества движения Е и вычислим коммутатор (Л„, Н) — 1„)А, Н) = —,. [(ур,— яр„), (си р+ рис')) = 1 1 =с(а„р, — а,р„), (18.18а) или — =с1а М Р). ~Л. Таким образом, момент количества движения не является более интегралом движения. С другой стороны, существование двух линейно независимых решений, соответствующих заданному значению энергии, указывает, что оператор, коммутирующий с гамильтонианом, должен существовать. Мы покажем, что этот операторесть 1. + — л~', (18.19) где оператор и' в представлении (17.40а) и (17.40в) имеет вид (1 8.20) Вспоминая правила перестановки матриц Паули и, на- ходим соотношения [и', а„~ = 21а,, [и', а,~ = — 2(пе, (18.21а) а также соотношения, получающиеся отсюда путем циклической перестановки индексов.
Тогда — „— [о„', Н1 — — с(о,р„— а„р,), (18.216) 1 а и, следовательно, (18.22) Таким образом, оператор (18.19) и в самом деле есть интеграл движения, 17 г. ве Часть М. Релетиаистсиие теории Из (18.20) явствует, что собственные значения и„' равны ь!. Стало быть, (18.22) означает, что имеется сохраняющийся момент количества движения, который представляет собой векторную сумму орбитального момента Е и второго члена с собственными значениями + а/2.
Таким образом, мы показали, что уравнение Дирака описывает частицы со спином '/т. Все наши предыдущие результаты относительно сложения орбитального и спннового моментов количества движения можно применить к этому случаю. Оператор полного момента количества движения есть 1.+ (а/2)п'. Этот пример иллюстрирует тот факт, что элементарные правила построения операторов с помощью классических динамических переменных (например, замена г оператором г и р оператором — !а т в г-представлении) являются недостаточно общими. Вместо этого следует допустить возможность добавления дополнительных членов, которые должны исчезнутьпри предельном переходе а- О.
Так, чтобы получить правильное выражение для оператора момента количества движения из (гХр), нам пришлось добавить слагаемое а и'/2, которое обращается в нуль при а-е-0. Если нежелательно пользоваться каким-нибудь определенным представлением для матриц Дирака, можно положить ю =суем. т (18.23) Используя последнее выражение (17.23) для уе и замечая, что у, коммутирует со всеми ссь получаем — [о,', Н~ = — — „(а„р — а,р„). (18.216) На основании определения (!8.23) находим и' = сусут, ь (18.23а) где й, 1, пт имеют циклический порядок. Подставляя значения уе и а, соответствующие специальному представлению и даваемые формулами (!7.40в) и (!7.40г), мы получаем (18.20).
259 Гя. /В. Решения уравнения Дарана уравнение Дирака во енеиенем поле е р -»р — — А, и я с и' (18»24) т. е. ŠŠ— еср, р р — — А. е В результате получается уравнение 1(Š— еч>) — и (ср — еА) — Репс'14=0, (18.25а) ~у (р„— — А„) — ]~р=О. (18.28б) Прочие поля можно учесть, добавляя соответствующие потенциалы к псся, если потенциалы — релятивистские скаляры, или к А„, если это четырехмерные векторы. Замена (!8.24) не самая общая; возможный добавочный член дается формулой (18.32). Чтобы получить уравнение второго порядка, похожее по форме на уравнение Клейна — Гордона, умножим (18.25б) на у'(р,— (е(с)А,), в результате чего получим У У' (р„— —, А„) (р„— — А,) р = и'с'Ф.
(18.26) Определим тензор (! 8.27) Замечая на основании (17.18), что Электромагнитное поле вводится в уравнение Дирака, так же как и уравнение Клейна — Гордона, с помощью градиентно-инвариантной и лоренц-ковариантной замены операторов Часть И, Релятивистские теории приводим левую часть (!8.26) к виду (йи' — М") (р„— е А„) (р, — е Ат1 = 2( т(Ри с и)(Р» с т) (ри с и~ (р с ) — 2-~"" [~р„— е Аи), (р, — е А,)1.
(18.28) Коммутатор в последней строке легко вычисляется, если вспомнить, что дАя я и оказывается равным Сед Г дАя дА,„1 1еа — ~ — ' — —,'" ~ = — Р„„(18.29) с ~ дх" дх'~ с где г"и, — соответствующая компонента тензора электромагнитного поля. В конце концов получается уравнение [(ря с Аи~(р с А")+-2,-о"'Р'и„|ф=(тс) Ф (1830) С помощью матрицы о', определяемой формулой (18.23), его можно записать в виде '1(Š— ер)с — (ср — еА)'+еде(е' М вЂ” 1сс В)) ф т'есф.
(18.31) Первые два члена в левой части имеются и в уравнении Клейна — Гордона. Два других члена появляются только в теории Дирака и исчезают при Л-ь О, Последний член в левой части (18.30) сам по себе релятивистски инвариантен. В принципе его можно умножить на произвольный фактор 1+К, т. е. ярибавить к (18.30) член (18.32) Гл. И Решения уравнения лаврика 2бг Его называют спиновым членом Паули, и он, конечно, приводит к соответствующей модификации первоначального уравнения Дирака. Такая модификация в принципе допустима (поскольку он стремится к нулю при а- 0), однако она, разумеется, должна усложнить теорию.
Нерел«тивистск«й «ределаньей случай Имеются два существенна различных метода рассмотрения нерелятивистского предельного случая. В первом методе перемешивание больших н малых компонент ф вообще игнорируется. Он пригоден в пренебрежении членами порядка о'(с'. Во втором методе члены порядка о9са удерживаются, и производится перестройка больших компонент ф. Чтобы получить первое приближение, положим (Š— еф)' — т'с' — 2тс' (Е' — е р), где Е'+те'=Е, еераатс', Е'((тс'. Тогда (18.31) примет вид Е'лр ~й — (р — —' ,А) +еф — -2' —.,-а' К+ — ' и 81 ф.
(18.33) Оценим теперь член, содержащий 6. Как видно из (18.! 1), математическое ожидание а есть э/с. Для электрона, который движется в системе размера а, еф порядка еоа н б/а=рч ти. Поэтому ед а $ ! ее 2еас еф ' 2 се' и членом с электрическим полем следует пренебречь. Этот член необходим для лоренц-ковариантности, но в нерелятивистском приближении он не играет роли. Таким образом, Е'Ф = ~ — (р — —, А) + еф — — а' йй) ер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
