1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Рассмотрим поле, которое описывается одной переменяой (амплнтудой) ф — функцией х, д, г и й Хотя сначала мы рассмотрим нерелятивистсиое уравнение Шредингера, удобно уже теперь пользоваться единым обозначением для пространственных и временных переменных, Это вполне естественно, поскольку формализм аналитической механики поля в значительной мере рассматривает пространственные и временные переменные симметрично. Пусть, таким образом, ф есть функция пространственно-временных переменных ки. Лагранжиан поля .(. есть пространственный интеграл от плотности функции Лагранжа .2и.
Уравнения движения поля получаются с помощью принципа Гамильтона, который требует, чтобы действие 5 (ннтеграл по времени от функции Лагранжа) было экстремальным. Иными словами, мы определяем плотность функции Лагранжа Гв. !9, Квангованае ноля и действие ~= ~-У(Фг )„)Фех. (19.3) Согласно принципу Гамильтона, М=О, (19.4) при дополнительном условии б49 (г, г,) = бт'(г, г,) = О, (19.5) где (» и 44 — пРеделы интегРала по вРемени в фоРмУле (19.3). Отметим, что это условие менее ограничительно, нежели требование исчезновения вариации на «поверхности» Х, ограничивающей «объем» И. Вычисляя вариацию (19.3), имеем 65= ~ 444х ~йф — +Ь~,„— ~ =О. (19,6) д9' д У' з дт а дф,„~ (Здесь подразумевается суммирование по повторяющимся греческим индексам.) Принимая во внимание, что б(ф„) = (бф)„. приводим равенство (19.6) к виду (19.7) Второй член в (19.8) можно преобразовать в «поверх- ностный» интеграл с помощью четырехмерной теоремы Гаусса ~4 д ~д9'бф~ ~ ~~ д~'бф Здесь Х вЂ” трехмерная «поверхность», ограничивающая четыРехмеРный объем»4, а 444'.в — пРоекциЯ элемента этой «поверхности» на плоскость, нормальную к напра- ее- /е ~ — ев — '„(ев)] же+- + ~ 44х д ( д-в Ьф) .
(19.6) гдд Чисть !!!. Введение в теорию наел влению х„. Одно из четырех интегрирований в правой части (19.9) производится по всему пространству в моменты времени 1, и 1е и дает нуль в силу (!9.5). Три прочих интегрирования производятся по двухмерным пространственным поверхностям и дают нуль, поскольку всегда предполагается, что рассматриваемые поля стремятся к нулю на больших расстояниях. Отсюда на основании (19.4) и (19.8) получаем Поскольку вариация бер в объеме (е произвольна, подынтегральное выражение должно обращаться в нуль тождественно, н мы получаем уравнения движения Эйлера — Лагранжа (19.11) Данная плотность функции Лагранжа называется лагранжианом поля, если уравнение Эйлера — Лагранжа (19.! 1) приводит к правилытым уравнениям поля.
Лагранжиан, очевидно, определяется неоднозначным образом. В частности, добавление к нему слагаемого вида (д/дхи)(Си(ьр)1, где Си(ф) — произвольная функция ьр, не изменяет уравнений движения, поскольку вариация такого члена равна нулю. Если функция поля — не скаляр, т. е. если поле имеет больше одной компоненты, плотность функции Лагранжа должна зависеть от всех этих компонент три и от их первых производных тр„'. Варьируя каждую компоненту независимо, получаем для нее уравнения Эйлера — Лагранжа. В выражении (19.!) предполагалось, что .2' зависит только от функ. цни тр и от ее первых производных. В принципе можно было бы допустить и зависимость от производных высшего порядка. Это привело бы к уравнениям движения порядка выше второго.
Такие уравнения, видимо, не встречаются в задачах, представляющих физический интерес. Отметим, наконец, что если бы мы потребовали, явс Гв. тУ. Квантование ноля чтобы действие 5 вело себя при преобразованиях Лоренца как скаляр или псевдоскаляр, то лагранжиан.5.' должен был бы быть, соответственно, псевдоскаляром или скаляром, поскольку ачх есть псевдоскаляр. Гамилыионов ввормализм Как мы видели, можно определить действие и плотность функции Лагранжа ковариантным образом. Это привело к уравнениям движения Эйлера — Лагранжа, которые также ковариаятны.
Чтобы ввести гамильтониан, необходимо выделить время. Прн этом возникает осложнение, связанное с тем, что число степеней свободы рассматриваемой системы бесконечно и несчетно — соответственно несчетному множеству значений ф(хи). Иными словами, мы должны говорить о плотностях, которые представляют собой не скаляры, а компоненты тензора второго ранга. Чтобы преодолеть указанную трудность, разделим в какой-нибудь заданный момент времени 1 трехмерное пространство на малые ячейки бх'. Каждая ячейка считается столь малой, что никакая существенная физическая величина не меняется заметным образом в ее пределах.
Среднее значение функции ф в ячейке бх' обозначим ф;, оно будет играть роль координаты Я,. Отождествим далее ф, с Яь где точка обозначает дифференцирование по времени. Заменим затем пространственные производные дф,/дх" разностями (Я,+т — Я,)/бх'", где бхе=бхмбхвзбхев, Функцию Лагранжа будем рассматривать как функцию только от 9, и 1те и запишем в виде Е=~я.", Р,бхе (19.12) (по повторяющимся латинским индексам суммирования не производится).
Величина .5; соответствует средней плотности функции Лагранжа в ячейке бхт и зависит от Я„ Я,+, и 4,. В пределе при бх'-эО получаем снова (19.13) Часть 111. Введение в теорию поля Поступая, как и в классической механике, находим импульсы, канонически сопряженные координатам Я„ дст д0е (19.14) поскольку только У, зависит от Я,. Определим плотность импульса равенством Ре д 'З'е Ьх' д1е (19.15) при переходе к непрерывными величинам это дает (19.16) дЗт Составим теперь гамнльтониан Н= ~~'„,Р,(), — Е = ~ Ьх'(ле(;1е —.У'е), (19.17) выражение для которого в пределе принимает вид Н= ~ (лтр —.2') сзт.
(19.18) Полезно ввести функциональные производные от величины Р = ) Ф сй з ЬР дет ~з д дсе Ьф д(т твв дхт д (д(т!дхт) з ЬР деР ъ з д де~ д(т .2З дХ; д(дтЗ1дят) ' (19.206) т 1 з — =- зг — А 6Р де к ~ д д,е Ьл А дхт д(дл/дхт) ' (19.20в) Из формулы (19.18) явствует, что мы можем определить плотность функции Гамильтона равенством дую = лзР—.2'. (19.19) Гл. !У.
Квантование атолл 288 С помощью функциональных производных уравнения Эйлера — Лагранжа можно записать в виде (19.21) Плотность импульса будет М. 6)! (19.22) з ! ! з ! ! Переставим операции взятия дифференциала и производной во втором и четвертом слагаемых, проинтегрируем по частям и отбросим поверхностные члены, предположив, что подынтегральное выражение достаточно быстро убывает на больших расстояниях.
Тогда равенство (19.23а) можно с помощью функциональных производных переписать в виде аИ= ~ ~(-ц- ФФ+ ~,„Нп)+ — „т !й~ ~Й, (19.23б) ,1(ействительно, дифференциал любой величины, плот- ность которой зависит от и, !р, дфдхь дп/дх! и 1, можно представить в виде (19.23), Таким образом, использование функциональных производных позволяет записать уравнения Лагранжа для поля в виде, аналогичном формулам обычной механики частиц. Следует заметить, однако, что в этих обозначениях временная и пространственные координаты фигурируют по-разному, что необходимо в гамильтоновом формализме.
Чтобы получить канонические уравнения движения, заметим, что Н есть функционал от и, !р, д~/дх!, дп(дх, и, вообще говоря, й Следовательно, Гл. Ю. Квантование ноле Квантование леля Гамильтонов формализм позволяет прокваитовать ,систему, заменив скобки Пуассона коммутаторами, умиожеииыми иа 1/тб. При этом функции поля (амплитуды и сопряжеииые им импульсы) становятся операторами, вообще говоря, иекоммутирующими.
Возвратимся к ячеечиой модели, где мы отождествили т,"т, с тр, и Р, с я,бх'. Правила перестановки принимают вид [Я,(т), Я,(е)] =[Р,(1), Р,(Г)] =О, (19.29а) М',(г), Р,'(г)]=,бб'„. (19.29б) Их можно переписать следующим образом: [т[т,(л), тг,(1)] =[яе(т), ят(т)]=0, [ф,(Г), я,(г)]=И вЂ”,'„",. Предельный переход к описанию с помощью иепрерывиых величин осуществляется путем суммирования (19.30) по всем ячейкам и превращения этих сумм в интегралы по всему пространству ~ бхл [тге(т), ф, (1)] -н ] [тг(г, т), тг(г', т)] ей О, ,~~бх' [я,(т), я, (т)]-+ ] [я(г, т), я(г', Г)] ттт=О, ~бх'[ере(Г), ят(Г)] -+ ~ [тр(г', Г), я(г, Г)]ей = И.
(19.31б) т Отсюда следует, что [$(г, е), ф(г', е)]=[я(г', Г), я(г, е)]* О, (19.32а) [тр(г', У), я(г, Е)] Иб(г — г'). (19.82б) Для полей с более чем одной компонентой правила пе- рестаиовки имеют вид (т'(г, 4 Ф (г', Г)] [я'(г, ~), я (г', е)]=0, (19.33а) [тр (г, Г), я" (г', Г)[=Иба~б(г — г'). (19.33б) 288 егаеть !П, Введение в теорию полл Это основные квантовые условия для поля. Переменные пбля становятся операторами, которые могут и не коммутировать. Правила (!9.33а) непосредственно демонстрируют, что две величины л или две величины тр в разных точках, но в один и тот же момент времени относятся к разным степеням свободы.
Уравнение движения для любого оператора Р имеет вид Р= 1Ь [ею, 77[. (19.34) Все прочие коммутаторы равны нулю. Если даны явные выражения для Р и и через ер и л, то этот коммутатор можно вычислить с помощью соотношений (19.33). В качестве примера двухкомпонеитного поля рассмотрим комплексное поле, для которого т)=2 ~*(тР,+!9,), (19.35а) ~Р~ = 2 'н(тР, — едет). (19.356) где тре и ~ре — вещественные величины.
Мы обозначили здесь комплексно-сопряженную величину символом тр, а не три, как обычно, так как ер считается оператором. Уравнения Эйлера — Лагранжа получаются путем независимого варьирования по ере и трм или, что то же самое, по тр и ер~. Они имеют вид л — . — -~ ~'+ ..' — 2 ь(л,' — )л,), (19.36а) Ьф дЧЧ дф дат дф лт — . — ~Р .' + ..' — 2 п(л, +еле). (19.366) ь рт д ~, дат де д()т Очевидно, оператор л~ не обязательно комплексно сопряжен с л. Однако, если лагранжиан .9' веществен (эрмитов), то л и л комплексно сопряжены. Правила перестановки (19.33) для ере и ер, дают [тр(г, т), л(г', т)[=ИЬ(г — г'), (19.37а) [трт(г, Г), лт(г', Г)[=(ЬЬ(г — г'). (19.376) ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ПОЛЕИ ЧАСТИЦ Кваннгование нерелятивисгнсного уравнения Шредингера Можно убедиться, что плотность функции Лагранжа, приводягцую к уравнению Шредингера, можно взять в виде .у=удФФФ вЂ” й(7ф') (7$) — р (г, г)фъ (20.1) Оператор .2' — неэрмитов.
Уравнение Эйлера — Лагран- жа для ф гласит — глф» = — ~.— 7'~Р+ У (г, г) ф', (20.2а) а для ф — уф + Н (г, г) ф. (20.2б) Это действительно правильные уравнения Шредингера для ф и ф~. Импульс, канонически сопряженный с ~>, есть и= —.= —.=гдф~. М. д.Я (20.3) — ав — и†Поскольку оператор ф~ не входит в выражение (20.1), ф не имеет сопряженного ей импульса. Плотность функции Гамильтона есть Л"= ~ —.2- — ~й.(~Ъ) (Ю вЂ” —,~ ~. (20.4) г» 2ВВ Часть НД Введение в теорию воля Канонические уравнения движения имеют вид ' 6Н ОдН ~ д дстд Ф= — = —— дх Ох,й~ дхь д (ди~дх~) = — — „)~ф+ —,„уъ, й ЬН дур Ст д д,щ и= — — = — — + 6$ дФ еЬд дхе д(д4Чдхс) ! еа В 2вь = — уп — — евп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
