1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Легко проверить, что а» и а( сохраняют смысл соответственно операторов рождения и уничтожения частиц. Именно, удобно выбрать эти операторы так, чтобы выполнялись равенства а» ) тчт») = 0»Дт» ~ 1 — Дт»), а» !тч'») = О» (1 — тч'») ( 1 — тч»), (20.42а) »-т О»=( — 1), ч»= ~~'т дт . /=1 Легко видеть при этом, что, в силу (20.41), а,',(дг») =а"„'~д(»') = — ГГ,(1 — Лт»)(М») =О, (20А2б) (а»а»»+а~~а») /И')=(1 — 2Ц+2Лт' )/Дт»)=/тч'»).
(20А2в) Отсюда явствует, что соотношение (20.40) при й=Удействительно выполняется. Фазу величины 0» необходимо и достаточно выбрать так, чтобы соотношение (20.40) выполнялось и при й+й Если й>1, то'при действии оператора а, знак О» меняется, так как прн этом №~ заменяется на 1 — тчт', но при действии оператора а» 0~ остается неизменным. Этого как раз достаточно, чтобы выполнялось соотношение а»а~+ата»=0. — т., д) -У=ф С'Гпуи — — т р). дн" <20,43) Квантование уравнения Дарана Плотность функции Лагранжа для уравнения Дирака можно взять в виде дд2 Часть Ий Введение в теорию поля Варьируя по каждой из компонент ер, получаем четыре уравнения Эйлера — Лагранжа, которые можно компактно записать в виде с(И вЂ” у" +тсф) =О. (20.44а) дхп Аналогично варьирование по четырем компонентам ф дает с( — Иу" — + тсф) = О. (20.44б) д.« Это есть не что иное, как уравнения движения для дираковского поля (!7.19) и (1?.20б), Импульс, сопряженный обобщенной координате ф есть 1 д.5~ и = — — = ИФЛО = Ифе.
д1Ге Следует помнить, что ф и и суть четырехкомпонентные спиноры и, следовательно, уравнение (20.45а) есть ком. пактная запись четырех уравнений я,=И(фе)„а=1, 2, 3, 4. (20.45б) Видно далее, что ф не имеет сопряженного импульса. Плотность функции Гамильтона есть с(дф — — У = снг дхь з = сИ ф — — ф — — х фу — + тсее(пр, (20ейба) дФ ь д$ %з — и д$ дхе дхь лвд дх.в ~ е 1 Ю= — Исф а ° уф+те ф бей.
Гамильтониан имеет вид Н = с ) ( — Ийеа Ъф+ тсе)4ер) ей. (20.46б) Чтобы убедиться в зрмитовостн гамильтониана, проинтегрируем половину первого слагаемого по частям н пренебрежем поверхностным членом Н= с ~ ~ — И ( — ф~а ° 7ф+ еуге ° аф)+тсф"'бей~ ей. (20.46в) Поскольку мы желаем описывать фермионы, будем квантовать поля с помощью соотношений антикоммута- рл. 20. Вторанное квантование несколькик лелей Настая еееен ции.
С помощью (20.45б) условия квантования можно представить в виде [$,(г), $,(г')~ =(тР,"(г), $, (г')) =О, (20.47а) ~т~),(г), тРе(г')1 =6, б(г — г'). з, ) =1, 2, 3, 4. (20А7б) Обозначение тр~ несколько произвольно. Фактически тр есть столбец из четырех операторов трс, а тр" — строка из четырех операторов ф. Уравнение движения для оператора тр, имеет внд енть — [1ь Н) (20.48а) Выпишем явно существенную часть первого слагаемого в коммутаторе с е,~1, )З;е,а1 „те,~ 1е ]= = ~ ~~)~~($,(г)тРее(г')а», Ч'~Р,(гт)— и — ф", (г')аи ° Ч'трт(г') тр, (г) ) ~Й' = = )Г ~~~ ($ (г)еРт'(г')+~ф(г')$,(г))а,.
ЧттР,(г')с(тт= и )~~6,еб(г — г')аи Ч'1ет(г')йт'= )' аес'Час(г). и (20А8б) Для второго слагаемого получаем с ел 1 Ят,ен"н.е,осе"1- и = ~ ~~~~~(тр,(г)4с~е(г')ре,ф,(г')— и — Ц(г') ре,$,(г') $,(г)) ест' = ) ~~~~~ Ор,(гЩ(г')+ и +ер+(г') $, (г) )трс (г') рисй' = ~ б,еб(г — г')трс(г )Расс(т = ~~ресФс(г). (20.48в) и с 304 Чисть Нд Введение в теорию полА Суммируя, находим ! г !те' г= — (Ф, 74) = — са тф — — „рф.
(20.48г) Это есть уравнение поля Дирака. Можно убедиться, что оператор ф также удовлетворяет соответствуюшему уравнению поля. Оператор числа частиц Ф определяется, как и выше, Можно убедиться, что он представляет собой интеграл движения. (20.50а) Здесь й* — комплексно-сопряженный трапспонированный спинор. (Мы не пользуемся здесь крестом; этот Многочаснеачное аредстааленае для ноля Дарана Удобно разложить дираковские волновые амплитуды (1= 1, 2, 3, 4) по плоским волнам.
Поскольку для каждого значения импульса й существуют четыре ли- нейно независимых решения. мы будем приписывать им индекс 1, принимающий значения 1, 2, 3, 4. Имеем от(й, г; 4) =Е ьат(й, 4)е 1=1, 2, Е)~0, 1=3, 4, Е (О. Амплитуды ит определяются формулами (18.6) и (18.7); мы считаем функции нормированными в объеме 7.е. Из общей теории следует, что соотношения ортогопально- сти и нормировки должны иметь вид )~~оз(й, г; 4)ог(К', г; с')сГт=бии Ь(т . (20.496) т Разложим спинорные волновые функции ф(г, 4) = ~~З~ а(к, 4; 4) о(й, г; е), ф~(г, 4)=~от(к, 4; 4)о' (й, г; 4). (20.50б) Гл.
00. Вторичное квантование нескольких колей частиц 805 символ будет употребляться лишь применительно к операторам, в то время как о есть классическая функция.) Соотношения антикоммутации (20.47) и условие ортогональности и нормировки (20.495) дают [а(к; ю), а(й'1 ю')] =[ат(к, ю), ае(к'1 ю')] =О, (20.51а) [а(К; ю), а'(й'1 ю')], =бкк бп, (20.5!б) где отсутствие аргумента Ю указывает на то, что вычисляются коммутаторы величин, взятых в один и тот же момент времени. Оператор числа частиц есть ДЮ=ХМкю, Гю'кю=-ат(к; ю)а(й; ю). (20.52) к,ю Из общей теории, изложенной выше, известно, что соб- ственные значения ГтЮкс равны 0 или 1; таким образом, как мы н желали, дираковские частицы представляют собой фермионы, Полная энергия, вычисленная по формуле (20.46б), Е=с ~ ~ ~> а"(1с; ю)а()с'1 ю')о'(к, г; ю)Х юн к'ю' Х ( — юаа ° 'тЮ+ той) о (й'г; ю') юй. (20.53а) Функция о удовлетворяет уравнению Ек ю о($ст, г; Г)=( — юсгта ° 7+люсей)е(к', г; ю').
(20.53б) к кч Полный импульс вычисляется по формуле (20.30а) с учетом того обстоятельства, что величины н и Рф следует теперь считать соответственно строкой н столбцом. Получаем Р= — Ююю ~ ГьефЮЮт. (20.54а) 20 Г. Бете Отсюда Е = / ~ ~~Ю~~ ат(к; 1)а(к', Г)о'(к, г; 1)Ек ю о(Мс', гю ю')тат= = ~~ ~~~~аз(1с; 1)а()с', ю')Еквп бкк бюг= ~' ГтткюЕкю. (2053в) Часть П!, Введение в теорию ново Проделав те же алгебраические выкладки, что и выше, можем преобразовать выражение (20.54а) к виду Р= ~з~МизЖ.
(20.54б Позитроны Поскольку, далее, считается, что заполненные состояния с отрицательной энергией не приводят к наблюдаемым эффектам, мы вычтем их вклад в энергию и импульс. Иными словами, переопределим наблюдаемые энергию и импульс следующим образом: ЕО = Е Есас РΠ— Р Рсас (20.56а) (20.56б) На основании (20.53в) и (20.54б) получаем Ео= ~~,'2( Х Ж31 Еис+ 2~ (Д1и1 — 1)Ею), (20.57а) 1=1,2 1=3, 4 Ро=~( ~ Мисйс+ ~ (Миз — 1)Нс) (20.57б) и',, 1,2 1 3,4 Определим новый оператор Лис =1 — Мит, (20.58) который имеет собственное значение 1, когда состояние М незаполнено, и О, когда оно заполнено. Тогда равен- ства (20.57) можно переписать в виде Ео —— ~( Х 11131Еи1 + Х Л4из'1Еит 1), (20.59а) 1с ~Ц 12 1=3,4 Ро =~( Ле М311114 — с~~ Ми111й).
(20.59б) О '11 12 1=З 4 Как видно из формулы (20.53в), энергия поля может стать сколь угодно большой по абсолютной величине и притом отрицательной: уравнение Дирака имеет решения с отрицательной энергией (1=3, 4). Эта трудность преодолевается с помощью дираковского определения вакуума (см. стр.
271), которое теперь можно переписать в виде Миз =Миз =0 Дтиз =Мио =1. (2055) Гл. лО. Вторичное квантование несколекик полей частиц 307 При таком определении энергия всегда неотрнцательна. Более того, согласно (20.59а), отсутствующий электрон с отрицательной энергией дает в полную энергию положительный вклад. Естественно ожидать, что такая «дырка» ведет себя как физическая частица. Как отмечалось выше, прн рассмотрении уравнения Дирака считается, что такие «дырки» представляют собой позитроны. Из формулы (20.59б) видно, что импульс позитрона есть — ок (электрон с импульсом Лй отсутствует). Скорость позитрона стр ййс' т Рй — — = с' — и. (20.60) т. е. она равна скорости электрона в незаполненном со- стоянии.' КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА Разовьем сначала классическую каноническую теорию электромагнитного поля н его взаимодействия с заряженными частицами. По существу, мы будем следовать формулировке Ферми (6], которой пользовался также Гайтлер в своей книге (5). Полезно разложить потенциал по полной системеортонормированных плоских волн. Для векторного потенциала имеем ') А(г, г) = ~э (д (г) п„(г)+ г)~т,„(У) пах(г)).
(21.1) Штрих у знака суммы означает, что суммирование производится по половине всех значений й, так что функция и' не дублирует иэ . Индекс Х принимает значе. ция 1, 2, 3, что соответствует трем взаимно перпендикулярным направлениям поляризации. Операторы гг1,„ эрмитово сопряжены с дэ, так что оператор А(г, г) ока.
зывается вещественным (эрмитовым). Функции п„суть плоские волны ж. мы=, е е э (21.2) гй е аэ 1й~ ' (21.3) ') Иидекс й под кивком суммы и в качестве иядекса будет пониматься в этой главе как вектор. Они нормированы в объеме (.э; множитель г'4п введен для удобства в дальнсйшем. Три величины е — единичные векторы, образующие ортонормированную си. стему, причем Гл. 2А Квантование ноля, Квантовая элентродинаиина Здэ Множитель 1=ф' — 1 вставлен опять-таки ради удобства в дальнейшем. Скалярный потенциал р можно разложить таким же образом, и мы это сделаем позже. Очевидно, должны иметь место следугошие соотношения ортогональности: ннн нн л с(т=О, н'„и„*,, с(т = О.
~ нвх ° и» чв сй = 4пстб„„, б,. (21.4в) (21Аб) Магнитное поле, равное го! А, есть йб=ю' ~ (7эх(й Х пах) — 7вт„(!с Хнв',)!. (21.5) 2=1, 2 Разобьем 8 на сумму вихревой и потенциальной (со. ответственно поперечной н продольной) частей, У сво. бодного поля продольная часть отсутствует 1 дАн ф 1т т= с дс (21.7а) 1 дА1„ Е„= — — — — Чч. с дт (21.7б) На основании (2!.!) имеем 1 ъ~ ° 'т с .„'д 'дэхнь. + т)кхняхт. (21.8) Отметим, что продольно поляризованные плоские волны (Л=З) в разложении вектор-потенциала А не вносят вклада в магнитное поле. И наоборот, из формулы (2!.5) явствует, что разложение йб по плоским волнам не содержит продольно поляризованных компонент.
Для электрического поля имеет место обычное выражение $ — Цр, 1 дА с дС (21.б) Уесть Н/. Введение в теорию поев Полная энергия поперечной части поля (энергия свободного поля) = Вя ~ М +й1т)Е( . (21.9) Второе слагаемое в (21.9) вычисляется аналогичным образом с помощью соотношений (2!.8) и (21.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
