1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(18.34) Часть бк Рееетиеистские теории Член с К имеет форму энергии магнитного дипольного взаимодействия. В обычном представлении и мы заключаем, что магнитный момент электрона есть (е Ь/2гпс) и. Этот вывод подтверждает гипотезу Уленбека — Гаудсмита и дает правильное гиромагнитное отношение. Вопрос о поправках, вносимых квантовой электро- динамикой, выходит за рамки данного рассмотрения, Мы укажем лишь, что взаимодействие заряженной частицы со своим собственным полем дает поправочный множитель д к магнитному моменту, который оказывается равным + ~~~~с + О (щ) = 1ь00116. В точности такое значение магнитного момента было обнаружено на опыте.
Другое наблюдаемое следствие самодействия электрона есть лэмбовский сдвиг. Теория Дирака не дает правильного значения магнитного момента протона. Его можно получить, добавляя в уравнения Дирака первого порядка так называемый член Паули К(в' ° К+ са 6), который не нарушает релятивистской ннвариантности уравнения. Константа К подбирается таким образом, чтобы получался правильный результат. Произвольность такой процедуры делает ее неудовлетворительной.
Считается, что добавочный магнитный момент протона физически обусловлен взаимодействием с мезонным полем, однако попытки построить количественную теорию до сих пор были безуспешными. Перестройка больших компонент начинается с уравнения первого порядка (18.25а). Пишем в (18.25а) (18.35) 2бз Гл. /8. Решения уравнения Дирака где ярд и нрв — двухкомпонентные функции. Если вос- пользоваться явным выражением для матриц Дирака, уравнение (18,25а) примет вид О . (с, еА)+ О = (Š— е р) . (18.36) (, 1. Это в свою очередь эквивалентно двум связанным урав- нениям: е (ср — еА) яра+ тсзфд = (Š— еер) фд, (18.37а) в (ср — еА) гсд — тсафа = (Š— еес) ф . (18.376) Здесь о — двухрядная матрица Паули, н каждая из величин ~)д и ~ра имеет по две компоненты.
Из уравнения (18.376) следует, что фе=(Š— еер+тсе) 'с (ср — еА)фд. (18.38а) Е'((тс', ар~( тсз, р антк. Отсюда ~Р =1в~ 0( —,)фд, (18.39) т. е. четырехкомпонентное решение ~р имеет две большие компоненты ф„и две малые компоненты фа„как и в случае для свободных частиц. Далее, поаставляя в (!8.37а) точное выражение (!8.386), перегруппировывая члены и полагая А=О и вес= )е, получаем ~ — Р(1+ ~-) а ° р+1'1ерд —— Е'фд. (]8АО) Аппроксимируем правую часть (!840), удерживая только члены наинизшего порядка в разложении по Полагая Е=Е'+те', получаем еРа=(Е' — еер+2тсе) ' ы (ср — еА)еРд. (18.386) В нерелятивистском предельном случае 2бв' Часть 11. Релятивистские теории степеням (Е' — )1)/2тсз. Тогда справедливы следующие соотношения: Е' — тт 1 ' Е' — ьт р) т = )т" р — /1т7'ьт, ( 11(')( р)=~1' р+' 7Р'Хр(.
Если предположить сферическую симметрию (1, то из уравнения (18.40) следует + —... — — $14:л = Е'трл, (18 41а) где 8 = — /тв, Ь = (г Х р). 1 Наконец, полагая в поправочном члене Е' — Ъ' ж р'/2т, получаем ГР Р ат Л" б Е'тв =~ — + (/в — — — — + ( 2оь 8отьст 4ттст Ит дт Два первых слагаемых в правой части (18.4!б) те же, что н в нерелятивистском уравнении Шредингера. Третье слагаемое происходит от второго члена в раз- ложении Е' по степеням ра, Е = Š— тс' = те 11 + — ) * — тс ж — —— р' т,, рт Р~ и'с~ / 2от 8ятьст ' Следующее слагаемое классического аналога не имеет. Наконец, последнее слагаемое описывает энергию спин- орбитальной связи с учетом множителя Томаса '/з (см.
стр. 145). Процедура решения получившегося уравнения заключается в следующем. Сначала решается нерелятивистское уравнение Шредингера для двух компонент трл, затем составляется их линейная комбинация, соответ- Ге. са. Решения уравнения Дарана ствующая определенным допустимым значениям 7, сйе. Ь и о, и, наконец, члены р ~узза д вас'сз 2нсс дг дг и спин-орбитальное взаимодействие рассматриваются как возмущение. Точное решение уравнения Дирака для кулоновского потенциала Решим уравнение Дирака для кулоновского поля.
Будем пользоваться собственно дираковским представлением, т. е. решим четыре уравнения (18.37а) и (!8.37б) при еср= — Лее1г, А=О. Полагая получаем с «с с Ьс Чтобы найти решение, воспользуемся следующим обстоятельством. Если рассматривать только болыпие компоненты, т, е. приравнять малые компоненты нулю, то коммутатор [1, Н), пропорциональный 1аХр), также будет равен нулю, поскольку оператор а связывает большие и малые компоненты. Таким образом, з)зв будет собственной функцией 1. Она должна содержать одну компоненту со спином, направленным вверх, и одну — со спином, направленным вниз. Разумеется, операторы / и 1, являются интегралами движения.
Поэтому для лзсг1 и + ди, дх зт ди, изс 1 аз + дх — + — =О, ди, диз ду д» диз ди, (18.42) ду де ди, ди, — — — =О. ду де Часть 1!. Релятиеистсеие теории 1=1+ '/я полагаем иь — — а'(г) 1гт У",, (11) /Г-, 'ос+/, - Г с — т+у/ и,= — а(г) ~/ (18.43) Здесь в отличие от нерелятивистского рассмотрения Паули д(т) есть пока произвольная радиальная функция, а не решение нерелятнвнстского радиального уравнения Шредингера. Чтобы определить малые компоненты, заметим, что они даются соотношением $в — — (2тс'+ Е' — (т) ' сэ р$л, (18.38а) Оператор, переводящий большие компоненты в малые, нечетен (нбо нечетен оператор р, в то время как все остальные четны).
Далее, он коммутнрует с /. Поэтому функция ярв должна принадлежать тому же значению /, что и ф„, но другому значению 1. Единственное другое значение орбитального момента количества движения, соответствУющее 1=1+'/и есть 1'=1+1, ПоэтомУ, вспомнив значения коэффициентов Клебша — Горлана, поло- жим з/ из= — /( ) 2~+з )' --ъ(11) и4 — — '/(") 2Г 1 З )те+1 ° +Ч.(~) (18.44) е.еь (Е-(- е — тс') д = — — — (1+ 2) —. г' где /(г) — некоторая радиальная функция. Подставляя (18.43) и (18,44) в (18,42), находим связь между / и д при /=1+ '/я Гт !В. Решения уравнения Дирана СовеРшенно аналогично пРи 1=1 — '/я полУчаем / ! — т+ ~/е и, =8(г) )Г + ' )'! ь(й), - / 1+ т+ '1е и, = и (г) ) 2 + ! ' )'с, Ь (11), 1+т /2 ия= 11(г) у 1 с-ь -'а(св) / ! — т — '1, и, =(е1(г) ~/ ' )'! с теу (Й) (18А8) ~Е+ —,+ тс') 1"= — +(1+1) —.
! 1 нее ! а'д К Ьс! 2 ) аг г ' (18.47) — (Е+ — — тси ! у = — — +(1 — 1) —. ас! г 1 а'г г' Положим /=1+ 2 1 А = — (1+ 1)> если (18.48) 1=1 — —,, ! 2' если т. е. 1 1=1 — —, 2' 1=1, 2...„ для /=1+ —. 1 2' А= — 1,— 2,..., для Полагая О=гд, те' — и «с Р=г(, тс'+ Е йс (18.50а) Уе' Ьс ' а = (а,ая) ь. р=- аг, Тогда уравнения (18.45) и (!8.47) можно записать единым образом — „', (Е+ ~„'*+ .Я) 1 — ф+ (1+ 2) Я = 0, (18.49) — „, '(Е+ —,' — ') а+ ~ — „, +(1 — И) — „~=0.
Часть У, Релятивистские теории получаем (18.50б) Будем искать решения в освяшенном временем виде степенных рядов. Прежде всего положим Р = тр(р) е-с, 0 = х(р) е-о. (18.51) 1(ля функций Х и ьр получим уравнения т йх ~а, т~ х — х+ — — ~ — + — ) р=-О, р (а р) I ат (а, т1 р — р- - — — ~ — — — )х=0. (,а (18.52) Представим, далее,ср н х в виде «р = р' ~ а,„о", ао Ф О, и=о (18.53) х = р' Х ь р, ь, ~ о. а=о аь ~ (1Р(р)Р+ Ф(р)Р) аср < о (18.54) Из этого уравнения вытекает, что зФ вЂ” оо. Подставляя ряды (18.53) в (!8.52) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем (3+ о + й) Ь, — Ь,, — уа, — — "' а,, = О, (18.55) (з+з — й)а„— а,,-(-уЬ, — — "' Ь„,=О.
Мы увидим, что функции 1 и д нельзя выбрать так, чтобы они были всюду конечными. Потребуем поэтому, чтобы оставался конечным хотя бы интеграл от плот- ности вероятности Гх !8. Решения ураенения Дирака В частности, при тг=О (8+й) Ь,— уае=О, (8 — й) а,+уЬ,=О.
(18.56) Это уравнение имеет нетривиальное решение в том, и только в том, случае, когда + (йг, г)у1 (18.57а) Рассмотрим сначала отрицательный корень. Для малых р подыитегральное выражение в (18.54) пропорционально р'", поэтому должно быть 28) — 1, (йг — Уг)У*('/г. Своего наименьшего значениЯ 8 достигает при йг=1; прн этом должнобыть Я 109.Приди>1 отрицательный корень недопустим ни при каком Я. Ограничиваясь значениями Я<109, выберем положительный корень откуда тг -Ъ Е=пгсг]1+ (, «„,,1 тг -Ъ Е=тсг]1+ (18.60а) (18.606) 8 =(йг — у')ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
