1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Из формулы (!6.18) видно, что число а становится комплексным при у>'/а и /=О, т. е. з= — '/з+/аь Такое комплексное значение н неприемлемо, так как тогда на малых расстояниях г волновая функция ведет себя как г т,нее,!а е (16.20) т. е. совершает здесь бесконечное число колебаний. Далее, Условие (16.!9) пРиводнт к неРавенствУ Кеб> — '/а, которое в рассматриваемом случае не выполняется. Согласно определениям (!6.!6) у=Я/137, так что у>'/а для многих из существующих ядер.
Далее, мы знаем, что уравнение Клейна — Гордона предполагается справедливым для и-мезонов. Разрешение возникающего затруднения состоит в том, что ядра обладают конечными размерами; фактически радиусы больших ядер с Я>13?/2 в несколько раз превышают комптоновскую длину волны п-мезона, о/т„с=1,4 ° !О-м йм, и поэтому особенность (!6.20) не появляется.
Дальнейшее решение дифференциального уравнения (16.17) проводится с помощью обычного метода рядов. Требуется, чтобы ряд обрывался на некотором конечном числе членов; это имеет место в том, и только в том, случае, когда Л=п + 2+[(~+ 2) 71, (162!) где и' — целое отрицательное число. Согласно определе- ниям (16.16), это означает, что Е (16.22) )е !+ (те/(н'+ ~/,+)е(г 4- ~/,)е — те)е) азг Часть П Релятивистские теории Полагая л=п'+1+1 и проводя разложение по степеням параметра уа, получаем Первый член здесь есть энергия покоя, второй представляет собой нерелятивистскую формулу Ридберга для энергии. Третий член дает релятивистскую поправку; он, как видно, снимает вырождение по квантовому числу !. Полное расщепление уровней тонкой структуры, согласно формуле (1б.23), равно 4 нуте [ и — 1 ~ (1б.24) Расщепление, экспериментально наблюдаемое в спектре атома водорода, составляет примерно половину этой величины.
Приведенное выше значение расщепления должно было бы наблюдаться в и-мезонных атомах (без учета влияния размеров ядра), но никакой экспериментальной проверки здесь не имеется. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА. ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В своей работе 1391, несомненно принадлежащей к числу крупнейших физических исследований, выполненных в нашем столетии, Дирак получил релятивистское волновое уравнение, свободное от трудности с отрицательной плотностью состояний. До тех пор, пока Паули и Вейсскопф не дали новой интерпретации уравнения Клейна — Гордона, считалось, что уравнение Дирака является единственным правильным релятивистским уравнением. Теперь мы знаем, что и уравнение Дирака и уравнение Клейна — Гордона одинаково верны; уравнение Дирака описывает частицы со спином '~т, а уравнение Клейна — Гордона соответствует частицам с нулевым спином.
Два этих уравнения описывают большинство известных элементарных частиц (хотя самоопределение понятия «элементарная частица» недавно было подвергнуто сомнению). Можно формально развить идеи теории Дирака применительно к описанию частиц ненулевой массы покоя с ббльшими значениями спина, но эти теории не имеют успеха, так как учет взаимодействия с электромагнитным полем приводит в них к неустранимым расходимостям. Мы не будем рассматривать ни такого типа обобщений, ни оказавшихся удачными уравнений Вейля 1401, описывающих релятивистские частицы с нулевой массой покоя и спином '/т или 1.
Первое из них, соответствующее нейтрино, можно рассматривать как естественный результат упрощения уравнения Дирака. Вывод уравнения Дарана Чтобы не допустить появления отрицательных плотностей вероятности, нужно, чтобы в выражении для р не было производных по времени. Следовательно, в е34 Часть йь Релятивистские теории волновом уравнении не должно быть производных по времени выше первого порядка.
Поскольку .в теории относительности координаты х, у, г и с1 рассматриваются симметрично, волновая функция Дирака ф должна удовлетворять дифференциальному уравнению первого порядка по всем четырем координатам. Далее, уравнение обязано быть линейным, в противном случае нарушился бы квантовомеханический принцип суперпозиции. Кроме того, принцип соответствия требует, чтобы удовлетворялось уравнение Клейна — Гордона, ибо это означает просто, что справедливо уравнение (16.2), т. е.
что в предельном случае больших квантовых чисел справедлива классическая релятивистская теория. Подобная ситуация имеет место в электродинамике. Уравнения Максвелла — первого порядка по пространственным координатам и по времени. С другой стороны, каждая компонента поля удовлетворяет волновому уравнению второго порядка, аналогичному уравнению (16.3), но с нулевой массой покоя.
Эти два требования не противоречат друг другу благодаря тому обстоятельству, что каждое из уравнений Максвелла связывает различные компоненты поля. Такую структуру можно принять в качестве руководящего принципа при выводе уравнения Дирака. Допустим, что волновая функция ф состоитизйкомпонент фд конкретного значения су мы пока не задаем. Наиболее общее уравнение, удовлетворяющее перечисленным выше требованиям, можно записать в виде з л л" с'=1, 2, ..., )У, х"=х, у, г хяя )с=1, 2, 3, Для свободной частицы все точки пространства н все моменты времени эквивалентны (однородность простРанства — вРемени).
ПоэтомУ величины ась, и й,„ должны быть безразмерными константами, не зависящими от г и р н коммутирующими с ними. Все 7т' уравнений (17.1) можно записать в более компактном виде, введя матрицу, состоящую из одного Гл. 77. Урааненае Дарана. Формальная теория е35 столбца, тр~ те2 и квадратные матрицы порядка )Ч, се" и б. Далее, можно определить векторную матрицу ат = а'1+ аи) + аь)с. Тогда система уравнений (17.1) принимает следующий вид: — — + а ° т'тр+ — „ртр = О. 1 дтр 6ас (17.2) Наличие Ж компонент у волновой функции тр должно соответствовать новой степени свободы частицы, подобно тому как компоненты максвелловского поля описывают поляризацию светового кванта.
Ниже мы увидим, что роль этой повей степени свободы играет спин частицы. Г!опьттаемся теперь найти такие выражения для плотности вероятности р и плотности тока 1, которые удовлетворялн бы приведенным выше условиям и требованию положительной определенности р. Положим, по определению, р=тр тр (17.3) где трт — величина, эрмитово-сопряженная столбцу компонент тртч т. е. матрица из одной строки и )и' столбцов, компоненты которой комплексно сопряжены соответствующим компонентам тр.
Очевидно, трт подчиняется уравнению е Й +~'тР 'и в тР Р О' (17'4) Здесь надо было изменить взаимное расположение волновой функции тр и матриц и и б, так как матрица тре состоит из одной строки, Часть П, Релятивистские теалии Чгобы получить выражение для ), напишем уравнение непрерывности (ф да + дс р)+У') О (17 5) Умножая уравнение (17.2) слева на е)г~, уравнение (17.4) справа на ер и складывая результаты, мы получаем — — (фф)+чф . ф+ф .чф+ + — „(ф рту — ерзай"ер) = О. (17.6) Чтобы это уравнение тождественно совпадало с (!7.5), потребуем выполнения следующих равенств: (17.7) а =а, 1= сер ееф.
(17.8) Соотношения (17.7) выражают совершенно естественное условие эрмитовостн матриц Дирака. То, что они действительно необходимы, следует из того факта, что уравнение (17.2) можно ааписать в виде ей —, — НФ, (1 7.9) И = (ссе ° —, э + р/исэ) . й (17.1О) Ясно, что если оператор Н должен быть эрмитовым, то этим свойством должны обладать матрицы а и 8.
Опре. деления (17.3) и (17.8) дают наиболее простые выражения для плотности вероятности и тока, удовлетворяющие уравнению непрерывности. Маперицы Дираеса. 1 Чтобы найти дальнейшие свойства матриц Дирака, подействуем на уравнение (!7.2) оператором 1 д Стася — — — ес и — — я. с де Ь Гл. 77, Уравнение Дирика. Форнальнан теории 287 Получим — — = — 7 у„(па+аа) дьх, 1,~.~ кч ь ~ ь дл4~ сл дгь 2 дх" дхь з т~с' ььнс ~~~~з л + «) д~~ рр а дх" (17.11) Мы симметризовали здесь произведение аьа', что впол- не допустимо, ибо операторы д/дх" и д/дх' коммути- руют.
Чтобы матричное уравнение (17.!1) согласовыва- лось с уравнением Клейна — Гордона для каждой ком- поненты волновой функции, матрицы Дирака обязаны удовлетворять условиям — (а "а'+ а'аь) = Ьь'/, 2 а~р+йа =О, (17.12) (аь)' = рз = /, где / — единичная матрица. Докажем теперь две важные теоремы относительно матриц Дирака. Согласно (17.12), можем написать ра = — а~й=( — /)а~р. (17.13 а) Составим детерминанты матриц, фигурирующих в правой и левой частях (17.13а), (с1е! й)(бе1 а') =( — 1)" (бе1 а")(бе1р).
(17.13б) (17.13в) Следовательно, число й/ — размерность матриц — является четным. Так как рв=(а")'=/, то обратной каждой из этих матриц будет она сама. Следовательно, равенство (17.13а) можно переписать в виде (а") йаь = — й.
(17.14а) Условия (17.12) показывают, что матрицы а" и б имеют обратные матрицы, поэтому ни один из детерминантов в нуль не обращается, и мы получаем ( — 1)и =1. Часть П. Релятивистские теории Составляя шнуры от обеих сторон последнего равен- ства, получаем Зр((а ) 'Ра"1 = Яр[а (а") 'Р~= Яр(Р)=Яр( — Р). (17.14б) Следовательно, Бр(р) = О. Аналогичный результат справедлив и длядругих матриц Яр(а ) =О. (17.14г) Ковариантная форма уравнения Дарана С целью записать уравнение Дирака в ковариантной форме введем новые матрицы р ='ть РЯ =7„ у"=(~' 7) ~и=(е1, г). Матрица ус эрмитова, а остальные — антиэрмитовы. Сказанное можно компактно записать в следующем виде: (у")'= у'у"Ф. (17.1б) Мы будем использовать метрический тензор д„„, определив его равенствами йсо=1' дси= — 1 й=1, 2, 3; й„,=О, рчьт.
Будем поднимать и опускать индексы матриц у, хотя они и не представляют собой компонент 4-вектора, у (17.! 7) тите+ утуи — 2йит, "тиу„+ у„у = 28' ц, (17.18) (подразумевается суммирование по повторяющимся греческим индексам). Правила перестановки (17.!2) для матриц у можно записать единым образом Гл. П. Уравнение Лирика. Формальнан теория Ы9 Умножая уравнение (17.2) на ГЬ~, получаем Иуи — — нтсф=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
