1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Например, в табл. 26 указаны силы осцнллятора для»)а, соответствующие переходам с Зэ уровня, и для сравнения приведены аналогичные величины для Н. Таблица 9б Ка 0,98 0,014 0,001 Зр 4р бр 0 0,48 0,05 Отметим, наконец, что в случае атома водорода дипольному переходу 2з — 2рнт соответствует время жизни порядка 2 дней, Состояние 2з может распасться быстрее путем излучения двух квантов, при этом совершается переход в состояние 1я.
Время жизни по отношению к этому процессу составляет '/т свк. Энергии каждого из этих двух квантов в отдельности могут быть произвольными, с тем лишь, чтобы сумма нх равнялась разности энергий рассматриваемых уровней. ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИИ ЭФФЕКТ В гл. 12 мы нашли дифференциальное поперечное сечение для такого процесса, в котором атом поглошает излучение частоты ы и электрон переходит в непрерывный спектр. Именно таковы экспериментальные условия для фотоэффекта. Мы получили выражение о(О, Ф) =, — ~ ~ и егк "е„и„е(т~, (12.14) где нижний индекс ) означает конечное состояние, Рассмотрим теперь три метода вычисления этого интеграла для атома водорода в предположении, что начальное состояние является основным.
Борковское приближение Возьмем вместо волновой функции конечного состояния плоскую волну е У'". Это приближение разумно, если р~))ры, где ры — импульс в основном состоянии. Мы имеем л2лт е — =Ьв — — ) О. У 2т 2аю Сверх того, должно выполняться неравенство Иу '«~ ~/ —, или иай' ~~ 1. (14.1) Интеграл принимает вид е-сч е Еаы а(, дх (14.2) где Ч=й~ — к. Пусть вектор поляризации А направлен вдоль осн х, так что у вектора К отсутствует х-компонента.
Проинтегрируем по частям, подставим явное Часть 1. Теория строения отомо выражение для волновой функции основного состояния атома водорода и после некоторых простых алгебраических операций получим для дифференциального поперечного сечения следующее выражение: 32ет соя' а (гт1аь)' а(О, со) =— (1+дз О)" К1 х СО5 П= 1х (14.3) пи= Угз1 [1 — 2 —, соз О+ ~ — ) ~, (14.4) соз О= «.К1 На основании неравенства (14.1) можно заключить, что й еь ИтТ о (14.5) й1 сйт 2тс 2с где и — скорость выбитого электрона.
Поскольку мы рассматриваем церелятивистский случай, можно напи- сать сТ =А 1 — — соз О). (14.6) Далее, с)таоз — й'аот))1. Следовательно, можно заменить величинУ 1+д-'аот на А'асс~1 — —,соз О). Замечав, что Выражение (14.3) содержит угловые переменные двояким образом. Во-первых, множитель соз'сс показывает, что электрон вылетает преимущественно в направлении вдоль электрического поля волны падающего света (вдоль вектора поляризации). Если бы волновая функция начального состояния была анизотропной, тогда вместо множителя соз' сс появилось бы выражение вида А+В соз'и. Вторая угловая зависимость происходит от стоящей в знаменателе величины дт 207 Гл.
НП Фотоэзсктриксскиа эффект соз а=з1п О соз р, находим окончательно а О, тс— 32е' э!от 0 соэ' к етао (кгос)' г о 11 — — соэ О) с (14.7) О ж —" — 4— а о 2 с (14.8) Множитель 4 здесь не имеет особого значения; он был бы иным для других начальных состояний. Интегрируя выражение (!4.7) по угловым переменным и пренебрегая членами порядка (о/с)', получаем о = 2' — '" — а' ~ — 7) '. (14.9) С другой стороны, воспользовавшись дипольным приближением для выражения (12.14), мы пришли бы к следующему результату для а: е' кг 1 2 с Гт ! (с)гк )о отч') ('с)тк ~, (14.10) и так как тот„— к/. Сравнивая этот результат с выражением (14.9), находим, что 1х7к)'-а-', Этот вывод Угловую зависимость выражения (14.7) легко интерпретировать.
Если пренебречь членом с о/с, что оправдано в нерелятивистском приближении, то окажется, что рассматриваемая величина пропорциональна совка и максимальна в направлении электрического поля падающей световой волны. Этот результат означает, что электрон нз начального з-состояния переходит в конечное состояние, для которого т=-0 (если в качестве оси квантования выбрать направление поля, т. е. ось к). Это находится в соответствии с правилами отбора, установленными в гл. 13. По отношению к направлению распространения распределение имеет максимум в экваториальной плоскости, О=п!2. Если учесть теперь член, описывающий влияние отдачи и пропорциональный о/с, то этот максимум сдвинется вперед приблизительно до угла зов Часть д Теория строения атома справедлив, если волновая функция конечного состояния Ж т и нормирована на единичную амплитуду е Р .Если бы вместо этого была использована нормировка по шкале энергий, то появился бы лишний множитель р(йт)— число состояний в единичном интервале энергий вблизи йр Так как р(йт) -Ау-ьо', дипольный матричный элемент при нормировке волновой функции конечного состояния на единичную энергию ведет себя при больших частотах о1 как ~ ха„)т — ырне (14.11) Это согласуется с нашим прежним выводом, получен- ным с помощью правила сумм (см.
стр. 190). Даполаное приближение вьат ет ! йуь4 о Ьс ',асо е — ее' сы е' Н~')= ', (14.12) ась=(1+ — ',,)Ку. В случае больших Ьы число п' становится малым и Тогда (14.9) что совпадает с борновским приближением, Этого и следовало ожидать, так как при больших энергиях квантов света, когда аы))йу, борновское приближение должно быть применимым, а при о«с эффектами отдачи можно пренебречь, что фактически н было сделано при выводе Во втором методе расчета фотоэлектрического эффекта полностью пренебрегают влиянием отдачи, ио используют точные волновые функции непрерывного спектра. Подобный расчет описан, например, в книге [7].
Результат гласит; Гл. И Фотоэлектрический эФФект выражения (14.9). Вблизи границы фотоэлектрического эффекта и'- оо и поэтому 1(а') =е-4(! + ) е-4(1+ )а (14.13) )(а') — е — 4 (~ ) а , йу, Тогда (14.14) Так как при этом Лот=)(у, последнее выражение можно представить следующим образом: 'у о=з! Гс (14.15) Грудам оценна Третий. метод расчета поперечного сечения фотоэлектрического эффекта основан на весьма грубом приближении и полезен в тех случаях, когда о системе известно очень немного, например при рассмотрении неводородных атомов.
Пусть волновая функция конечного состояния нормирована на б-функцию от энергии, т. е. и+БЕ ') сгтаГ(г) ~ йЕ'аГ(г) ~ =1. (14.16) ( Е-ЬЕ Соответствующая сила осциллятора есть 4(е)Е. В пренебрежении отдачей о 2нгег Л е4Г тлс йо ' ' (14.17) 14 г. Бете Появления множителей а' и егЯйс) можно было ожидать просто из соображений размерности; численный множитель 31 мог быть получен только прямым расчетом. Ввиду того что этот множитель велик, в области энергий выше порога фотоэлектрического эффекта имеет место сильное поглощение рентгеновских лучей. 'ЧО Часть д Теорая строеяия отомо В случае атома водорода можно положить — = — 2Х0 43. 'гу (ну) аЕ (Тяь)з Эта величина выбрана таким образом, чтобы было вы- полнено условие ~ ьУ(ото) — =0,43, ят еь = 34н' — „ (14.18) Это следует сравнить с точной формулой (14.15).
Ошиб- ка составляет 1Оо~ь. ибо такой, как мы знаем, должна быть полная сила осциллятора для перехода из состояния 1я в непрерывный спектр. Зависимость от частоты ьо выбрана в соответствии с эмпирическими данными по поглощению рентгеновских лучей, она является промежуточной между зависимостями ол ч, (14.9) и ол Чч (14.14). При йльл=йу формула (14.17) дает СТОЛКНОВЕНИЯ АТОМОВ С ЗАРЯЖЕННЫМИ ЧАСТИЦАМИ Рассмотрим процесс столкновения частицы с зарядом ге с атомом, атомный номер которого есть Я, Будем предполагать, что скорость частицы достаточно велика для того, чтобы можно было применять борновское приближение, но тем не менее задача остается нерелятпвистской. (Все же многие из последующих формул будут записаны в виде, справедливом и в релятивистском случае,) Таким образом, мы предполагаем, что начальная скорость частицы лежит в пределах между значениями (У/137)с и примерно с/2.
Гамнльтониан всей системы имеет вид Н= Н,+Н +Н'. (15.1) Здесь 0, — гамильтониан атома, 0р — гамильтониан свободной частицы и Н' — гамильтоииан взаимодействия, т. е. часть, описывающая взаимодействие падающей частицы с электронами и ядром атома. Воспользуемся нестационарной теорией возмущений, т. е. разложим собственные функции полного гамильтониана Н по полному набору собственных функций гамильтониана 0,+Бр и будем рассматривать 0~ как возмущение: з'» — = Н~, де д~ (! 5.2а) с~, (с ф гп г ),а'„-г(а„+~)!~а, (152б) л х И' = — ает ~„— — — .
(15.2в) х 11 га/ /1 В выражении (15.25) с„представляет собой п-й коэффициент разложения, зависящий от й — волнового вектора падающей частицы — и от времени. Функция ф„ 2т2 Часть Е Теория строения атояа есть собственная функция гампльтониана Н„описывающая и-е состояние атома, в котором его энергия равна Е„. Эта функция зависит от Зл координат, соответствующих 2 электронам атома. (Мы полностью пренебрегаем здесь спнном.) Выражение е'"'е есть собственная функция свободной частицы, го и (Р' — ее радиус-вектор и энергия, включая и энергию покоя частицы. В гамильтониане взаимодействия тсч есть расстояние между падающей частицей и )цм электроном.
Первый член в Н' описывает потенциальную энергию взаимодействия частицы с атомными электронами; второй член — взаимодействие ее с ядром. Мы считаем, конечно, что ядро покоится в начале координат. Тогда уравнение (15.2а) эквивалентно следующей бесконечной системе уравнений для коэффициентов с„: И "1„' ~=~с,,(й', г)~Ф'„(гп ..., г,)епоьХ и' Х О'тр„, (г„..., г ) е' 'Х Х е'"ьиасйа ей (сй = с(т, ... с(тх); (15.3а) (Е„+ Нт)-(Е„. +%") (15.3б) Здесь величины и, й, (ь' отвечают начальному состоянию атома и падающей частицы, а п', 1с', 'йг' — конечному состоянию.
В нулевом приближении возьмем с„, (К', г) = Ь,чт (15.4) (первоначально атом находится в основном состоянии Фь и паРаметРы падающей частицы сУть йо и )Ро). Тогда в первом приближении для амплитуды вероятности перехода получим Х О'тРо(го ..., гх) епе'"тест с(тен(е +Ят еь тгь)м. (155) Таким образом, вероятность перехода из начального состояния в и-е оказывается заметной только в том слу- Гл. гб. Столкновения атомов с заряженными частицами 2/3 чае, когда выполняется условие Е + (от=Ее+ )ото (15,6) т. е.
обычный закон сохранения энергии. Поперечное сечение рассеяния, равное вероятности перехода в единицу времени, деленной на величину падающего пото. ка (т. е. на скорость падающей частицы оо), имеет вид а г о(9, <р)=(ге)г — ~~гр гретч" ~~ сй,е/т 2я г, /2 кг 1 Гтое т=г Х б(Ес+ )Тт — Ео — Юо) (15.7а) где вектор (15.7б) Ч= "о равен (с точностью до множителя Ь) передаче импульса при рассеянии, а углы В, <р определяют направление вектора й.
Так как значение энергии (й' принадлежит непрерывному спектру (мы предполагаем прн этом, что падающаи частица не захватывается), то выражение (15,7а) надо проинтегрировать по небольшому интервалу энергий вблизи 1(т и заменить 6-функцию на р((й') — плотность состояний по энергии, равную ргг/р/(2тсй)гЛ)т. (Обычный множитель — объем — включен в нормировку волновых функций свободной частицы.) Учитывая, что с/(й/с/ре а и р'/о= ((Ут/сг)го, получаем для поперечного сечения рассеяния х )г т 1 (15.8) Нетрудно проинтегрировать по координатам падающей частицы.
Интеграл ~ /(г,) егч "с/таможне вычислить, заметив, что е'чнь = — (1/с/г) Чге'ч " и )г,/(го) е'ч т' с/то = — — )г (Чге'ч ' ) 7 (го) т/то = = — —, ') е'ч' т/г/(го) г/то. (15,9) 1 2/4 Часть /. Теория строения атома х (х — — 1 — етя "с(т = Го Го/ ~ о— / 1 х 2 / = — — ( е ' '~т/о — — ~~ по — (/т = Ч / ] Го ~(м( Го/ о= /=1 — ° ° ) ео (,( — /„о (,.(] оь— 1=1 Е =",'(е ~, ',] Е г .(о, о(=(ь",,",')' — „" 1 о(о (е — /,'Гм 2]о. /=1 (15.10) (15.11) Отметим, что о(0, (р) -1/(/о совершенно так же, как в формуле Резерфорда, Это показывает, что наиболее ве- роятнымн являются акты рассеяния с малымн переда- чами импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
