1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 27
Текст из файла (страница 27)
12. 11аяукяассияеская теория изяуиения 181 где (за('=-()с А) и 6 — угол между Ле и 1с. Полная мощность излучения равна интегралу от величины (12.29) по сфере радиуса т. Такое интегрирование дает (12.30) Чтобы перейти на язык квантовой механики, нужно сопоставить току Зс квантовомеханический оператор и интерпретировать мощность излучения как произведение энергии кванта Ьса на вероятность перехода в единицу времени. В соответствии с общепринятым отождествлением плотности заряда с величиной ещф~с разумно принять, что квантовомеханический оператор, отвечающий току Я, дается известным выражением, следующим нз шредингеровского уравнения непрерывности, ,) (г) = — ) и*„Чи — (Чи"„) и ~). (12.31) Вероятность испускания кванта за единицу времени при переходе из состояния 1 в состояние и определяется тогда величиной (12.26), умноженной на гтс1(с и поделенной на аеа, причем ток должен быть выражен по формуле (12.30).
Именно, та= —,, ( — ) ) ~ и',(г')е-скаку,и (г')сй') Ж1. (12.32) При выводе этой формулы второе слагаемое в правой части (12.31) было еще проинтегрировано по частям. При таком интегрировании существенно то обстоятельство, что берутся лишь компоненты градиента, перпендикулярные вектору к; благодаря этому производная от е-'и" не появляется в выражении (12.32).
В отличие от случая индуцированного излучения сохранение энергии не получается здесь автоматически как естественный результат теории. Приходится дополнительно постулировать равенство сит =са. Испусканию излучения определенной поляризации А.1 к соответствует подстановкауя вместо Ч1 в выражение (12,32). В дипольном приближении после интегрирования по углам формула (12.32) дает юсу — — 3„,,"! г„1(э.
(12.33) 182 Часть 1. Теория строения атома Вероягппоегпп переходов по Вйнпсгпейпу То, что проделанный выше переход от классического описания к квантовомеханическому приводит к правильным результатам, обосновывается с помощью соображений, выдвинутых Эйнштейном 130) Рассмотрим состояние термодинамнческого равновесия между атомами и полем излучения, устанавливающееся в результате поглощения и испускания .фотонов частоты а>1,= =(Е1 — Е„)11»0. Как мы у>ке выяснили, скорости двух из трех процессов, которые могут быть ответственны за приближение к равновесию, а именно вынужденного испускания и поглощения, пропорциональны величине р(а>1„) — плотности энергии поля излучения на единицу частоты 1 (ь>1с) о1 тЧ (ь>гя) р(а> ) (12.34) Третий процесс, спонтанное излучение, может идти даже в отсутствие внешнего излучения и, следовательно, не зависит от р(ы> ), Скорость, с которой атомы совер.
шают переходы и-+( (поглощение), равна ~„"~ ) =В„1М(П) р(а> „), (12.35) Величины А>„и В>„называются эйнштейновскими вероятностямн спонтанных и индуцированных переходов, соответственно. В условиях равновесия обе эти скорости должны быть равны, согласно принципу детального равновесия, В1 =В„ь Таким образом, В1„И(1) р (ы „)+ А „Н (1) = В „Н (и) р[в „'>, (12.37) Агп181я 1>Ч( )1>Ч(()1 — 1 ' (12.33) где М(п) — число атомов в состоянии и.
Скорость обратных переходов 1 — и (непускание) записывается следующим образом: " '„'с "' — В,„МЯр(ы1„)+АТ„И(1). (12.3б) Гл. /2. Полуялассичссяая теория излучения ИЗ Из статистической механики известно, что в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т чч (В (12.39) (12.40) Р (озуя) ячсз яи !яг Последнее выражение дает плотность лучистой энергии на единичный интервал частот при температуре Т. Это, конечно, хорошо известная формула Планка. (Фактически мы здесь излагаем метод Эйнштейна, использованный им при выводе формулы излучения Планка.
В то время не существовало способа определения отношения Л~„/В~„.) Чтобы выражения (12.38) и (12.40) совпадали, должно иметь место следующее соотношение: д з (12.41) Сравнивая формулы (!2.33) и (12.25), видим, что соотношение (12.41) выполняется в случае дипольного излучения. В общем случае, мы должны сравнивать формулы (!2.32) и (12.21) и иметь в виду то обстоятельство, что выражение в правой части (12.32) учитывает два направления поляризации (это дает множитель 2) и что его следует проинтегрировать по с((с (это дает множитель 4я). Если затем усреднить выражение (12.2!) по направлениям векторов к и А и использовать равенство (12.34), то мы вновь убедимся, что соотношение (12.41) выполняется.
Итак, мы обосновали формулу (12.32) для спонтанного излучения, включая численные множители, с помощью соображений Эйнштейна относительно статистического равновесия. Можно заметить, что интеграл в формуле (12.32) имеет тот же самый внд, что н в формуле (12.21) для случая индуцированного испускания; это также соображение в пользу правдоподобности формулы (12.32). Наиболее удовлетворителен способ ее вывода с помощью теории поля, таким путем она и будет получена в гл. 21. Коль скоро формула (!2.32), н отсюда и соотношение (1241) обоснованы, мы можем, тве Часть б Теория строения атома конечно, использовать соображения Эйнштейна по их первоначальному назначению, а именно для вывода формулы Планка.
Ширина линии Полученные выше результаты приводят нас к выводу, что спектральные линии будут бесконечно резкими в соответствии с тем, что энергии стационарных состояний, участвующих в переходе, считаются заданными совершенно точно. Такой подход, конечно, является прибли>кенным, ибо известно, что наблюдаемые спектральные линии обладают конечной шириной. Действительно, благодаря спонтанному излучению, состояния электронов фактически не стабильны, а затухают. Вероятность перехода за единицу времени у„для такого затухания определяется формулой (!2.33).
Из нее видно, в частности, что эта величина не зависит от времени. Из теории вероятностей хорошо известно, что подобные не зависящие от времени процессы подчиняются экспоиенциальному закону затухания, т. е. убывание вероятности заполнения состояния п, )а„~я, описывается законом е т т, где величина 1/Т« называется временем жизни. Амплитуда а„ тогда затухает как е Ьт« .
Для оптического перехода 1/у„ = 1О з сел, что значительно больше характерного периода движения электрона (порядка 1О-" сек). Поэтому в первом приближении вполне допустимо рассматривать состояния как стапионарные. Вейскопф и Вигнер [31, 321 проанализировали роль такого затухания. На основе последовательной квантовой теории поля излучения они нашли, что спектр испускаемого излучения получается правильным, если допустить, что волновые функции начального и- и конечного т-состояний зависят от времени по экспоненциальному закону Ч'„=Е ' «и" Ьт«'и«. (12.42) Тогда „ток« Ч" 7Чт„ зависит от времени как .1(г,г) — е '" ' ~'1'+")'. (12.43) Если взять Фурье-образ по времени от этого выражения, дабы определить частоту излучения о>, то оказы- Гл.
12. Полуклассическая теория иэлучения 2Ы5 вается, что интенсивность последнего (квадрат модуля амплитуды) пропорциональна величине 1 Д(м) = (,+, ( +, . (12.44) Отсюда определяется естественная ширина линии (в пренебрежении эффектом Допплера, уширением за счет столкновений и т. д.). При испускании распределение интенсивностей описывается формулой (!2.44); такой же зависимости подчиняется и коэффициент поглощения..
Заметим, что здесь имеется противоречие с классическими принципами, согласно которым можно было бы ожидать зависимости только от начального состояния. В формуле же для ширины линии стоит величина у„+у . Следовало бы ожидать или лоренцовой ширины, равной Ыь= ('/э) (еэ/лтс'), или, возможно, этой величины ц)сы помноженной еще на силу осциллятора для рассматриваемой линии (см. гл..13). Большинство физиков в период до развития квантовой механики относились предпочтительнее к последней идее и поэтому полагали, что слабые спектральные линии будут узкими. С другой стороны, формула (12.44) показывает, что спектральная линия должна быть широкой, если или у начального, или у конечного состояний время жизни мало, безотносительно к интенсивности самой линии.
Опыт свидетельствует в пользу результата квантовой теории. Простым примером (хотя непосредственной экспериментальной проверки здесь нет) служит переход 3'Б — 2'Р для гелия. В данном случае переход является слабым, потому что квантовые числа и и / изменяются в противоположных направлениях (см. гл. 13), но у состояния 2'Р время жизни очень мало (из-за сильного перехода 2'Р— 1'Я), и поэтому линия 3'5 — 2'Р должна быть широкой, Ясно, что вопрос о ширине линии связан с принци. пом неопределенности. Время жизни 1/у характеризует продолжительность пребывания квантовой системы в данном состоянии.
Следовательно, энергию невозможно определить с точностью, превышающей ду. Если имеется такая неопределенность в энергии, то неопределенность в частоте будет равна у. ИНТЕНСИВНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ Правила сумм т'. Лилольный момент ~) ~х,„~'=~)~~х„„х„„=(х')„„= ) ~а,('х'йх. (13.1) Если волновая функция состояния и изотропна, то ~~~ ~хл„~з = — (т')„„. (13.2) Если определить величину !А~' как (А ° Аа), то ~ га„~з — (Гз)пп' (13,3) 2 Сила осциллятооа Сила осциллятора )ь„определяется равенствами (13 А) ~..= ~:.+ ~ь.+ ~а,. Напомним, что (13.5) р„'„= ипы,„х,„, (13.6) Нижеследующие правила сумм полезны при оценке интенсивности излучения. Все суммирования проводятся по полному набору собственных значений энергии, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
