1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 26
Текст из файла (страница 26)
На больших расстояниях от области действия возмущения волновые функции конечных состояний близки к плоским волнам, так что можно написать Ъ' р' йрссэ1 У р' сср сйс М р' (2ид)э дЕ (2па)э и др (2чд)э иС(~, (12.12) где с(11 — телесный угол, внутри которого находится импульс р улетающего электрона, (т — объем квантования. В случае поглощения выражение для вероятности перехода принимает вид та= (2пас), п)Ао!'! ~ и~а'"'"ттядясст~ (тсс11. (12.13) Здесь величина 7к ие представляет собой проекциюграднента волновой функции ии на направление векторного потенциала А.
Импульс электрона р был положен равным тш Волновая функция конечного состояния иу аснмптотическн переходит в плоскую волну (т ье Г", так что зависимость от нормировочного объема )т из правой части равенства (12.13) выпадает. Множитель ~Ас~е можно выразить с помощью формулы (12.8) через число Ж квантов, падающих на 1 слсэ в ! сек, Днфферен- 17о Часта !. Теорая строеаая атома циальное поперечное сечение поглощения излучения то- гда равно п(0, ~р) = — „, — ~ ~ и*,е'"'т7„и„с(т ~, (12.14) где функция ии нормирована теперь на единичную амплитуду на больших расстояниях от атома. Равенство (12.14) определяет дифференциальное сечение фотоэлектрического эффекта, когда фотоэлектрон выбивается из атома в направлении, задаваемом углами О,ф в сферической системе координат с осью вдоль падающего луча. Вычисление этого сечения будет впоследствии проведено в гл.
!4. Если конечное состояние принадлежит дискретному спектру, то невозможно, как раньше, вычислить величину р(й). Действительно, в случае монохроматического излучения условия (12.10), выражающие закон сохранения энергии, в общем случае не могут выполняться. Поэтому делается допущение, что излучение охватывает некоторый интервал частот и между различными частотными компонентами нет каких-либо фазовых соотношений, так что излучение можно характеризовать интенсивностью, отнесенной к единичному интервалу частот, и эта интенсивность постоянна вблизи частоты атпо Интенсивность в области частот Лса«тат принимается равной Г(то)Лса.
Из равенства (12.7) получаем 2ас 7 (12.15) Вероятность перехода тогда представляет собой сумму вероятностей, отвечающих падающим волнам различных частот. Пусть число падающих квантов в интервале частот Лса есть М = Ф (са) стса, а число падающих квантов, отнесенное к единичному интервалу частот, 7т'(ат), постоянно в той области частот, для которой вероятность перехода ~а<'~(с)~', определенная с помощью формул (12.9), заметно отлична от нуля. Эта область частот расположена так, что частота сара находится примерно в ее центре, и ширина этой области Гл.
12 Полуклассическая теория излучения 777 есть величина порядка 1/й Время 1 легко выбрать значительно большим, чем 1/изз, так что существенная область частот будет фактически очень малой (нужно только, чтобы она была больше естественной ширины спектральной линии, соответствующей переходу и-ч-/). Чтобы упростить расчет, удобно переписать формулу для вероятности перехода в применении к одному конечному состоянию в форме, которую мы уже использовали в уравнении (1.!Ов) то =-о- ! Нгн ~сб(Епе — Е~а) (12 16) Здесь б означает б-функцию Дирака, величины Еп„и Ем представляют собой полные энергии конечного и начального состояний, соответственно. Так, в случае поглощения Е,„=Е„+ йкь Ев„=Е7, (12.17а) а для испускания Е,„= Е„, Епи = Ег + !ко.
(12.17б) Принимая во внимание предположение (12.15) и формулу (12.16), а также равенства (12.9) и (12.7), находим для вероятности перехода, идущего в одно конечное состояние, та= — „" ~ — ") ~ ~ и*ее"'т7„и„с/т~ Х Х 1 с/са д7 (со) б(Ен+ а Е ). (12 18) Интегрирование по из соответствует нашему предположению о том, что вероятности переходов, обусловленных падающими волнами различных частот, складываются некогерентно (без каких-либо фазовых соотношений). Интегрирование по из можно провести. Это дает множитель!/о при условии, что частота изс„включается в спектр падающих волн; в остальных отношениях значения пределов интегрирования по частоте из несущественны, Учитывая сказанное, имеем е= ",, М(из „1~ ) и'е'и'т7 и„с/т . (12.19) 12 Г, Бете тта Часть l.
Теория строения атама Число падающих квантов можно заменить на интенсивность в единичном интервале частот: Ф(ат) = =!(ат)/Ьсо, Получающееся в результате выражение не содержит константы Планка Ь и потому является квазиклассическим. Вероятность испускания фотонов в единицу времени определяется таким же выражением, как и (12.19), с тем отличием, что частота ытн заменяется на ы ~ и входит другой интеграл, а именно ) и'е-тюттр и„стт. (12.20) В последнем выражении можно поменять местами индексы и и 1'.
Это удобно в том отношении, что тогда индекс 1 опять соответствует состоянию с большей энергией, а индекс п — с меньшей. Затем можно проинтегрировать по частям. Заметим, что тх е-™т =О, так как векторный потенциал А перпендикулярен волновому вектору (с В результате для вероятности перехода в единицу времени находим то = ,,', аТЧ(атт„)~ — ~ и е-'"'тт„и'„ дт~ . (12 21) Очевидно, это выражение в точности совпадает с ранее полученным для случая поглощения. Вероятности пере. ходов в обе стороны между любыми двумя состояниями под влиянием одного и того же поля излучения совершенно одинаковы. Это есть принцип детального равновесия, имеющий фундаментальное значение в статистической механике. Мультипольтсые переходы Разложим экспоненты в формулах (12,19) и (12.20) и удержим только первый член, приводящий к неисчезающему значению интеграла.
Это допустимо, ибо, как можно заметить, отношение двух последовательныхчленов разложения — порядка йа, где а — характерная длина порядка радиуса атома. Прн этом для оптических переходов мы имеем о~ аЬЕ а ет 1 йи= си= с е а с ' (12'22) с Ттс а, 2Ис 300 ' Гл. 12. 17олуклассическая теория излучения 179 Нижний индекс А указывает на то, что берется компонента вектора в направлении векторного потенциала А. Вероятность перехода за единицу времени для поглощения и вынужденного испускания выражается тогда следующим образом: 4пеее Ьс 1л ( 1е) ~ ( Я)уе ! (12.24) Положим ~ г „!'= г „г'„, обозначим через 0 угол между векторами г и А и усредним вероятность пз по О.
Получим то, = —, ео „М (от „) ! г 4пеее (12.25) Это выражение, очевидно, обладает правильной размерностью: е'/Лс — постоянная тонкой структуры, озЛ1(ез) представляет собой число квантов, падающих на 1 смт в 1 сек, ! г ~ ' — площадь. Переходы, вероятности которых правильно рассчитываются в использованном выше приближении, называются электрическими дипольными переходами, так как ег есть оператор, соответствующий электрическому дипольному моменту атома. Если дипольный матричный элемент (г)1„равен нулю, то говорят, что переход запрещен.
Если в нуль обращается весь интеграл в выражениях (12.!9) и (12.21), а не только соответствующий дипольному приближению первый член разложения, то говорят, что переход строго запрещен. В обоих 3десь сделано предположение, что энергия оптического перехода ЛЕ меньше 1 ридберг (1 Ридберг=ее/2ае) и что радиус атома а=аз. Следовательно, /са«1, Для рентгеновских лучей энергия ЬЕ больше в Ле раз, а длина а меньше в Я раз.
Отсюда /са-7/300, и для больших 2 неравенство /са«1 более не выполняется. При замене ее"' на 1 интересующий иас интеграл принимает вид п1ет/кп, сст = в ) ц1Ркп„с/т = ЯРк) „= — — (г ) = — Л со1 (Г„) . (12.23) Часть й Теория строения атома этих случаях не следует делать вывода, что переходы невозможны. Если дипольный переход запрещен, то нужно взять следующие члены разложения экспоненты ес"'". В случае когда переход строго запрещен, надо воспользоваться следующим порядком теории возмущений и включить в рассмотрение отброшенный ранее член еЯАт/2тсе; это приводит к возможности одновременного испускания двух фотонов. Спонтанное излучение (12.27) Положив, по определению, д = — 1Л(г')сут', (12.28) мы можем сделать вывод, что поляризация будет линейной, когда вектор Яе имеет только одну компоненту в плоскости, перпендикулярной й. Если в этой плоско.
сти лежат две компоненты Зе, равные по величине, перпендикулярные друг другу и сдвинутые по фазе иа 90; то поляризация будет круговой; и т. д. Формулу (12.27) можно переписать в виде Классическая задача о спонтанном излучении электромагнитных волн током плотности Л, осциллирующим с угловой частотой со, приводит к следующему результату для интенсивности излучения в волновой зоне (в направлении й): У=, ] ] .I~(г')е-'" 'сИ'! . Здесь 3(г) определяется [29] формулой для плотности тока в точке г в момент времени 1 Л (г, г') = Л (г) е-'"'. Величина У г есть перпендикулярная волновому вектору к компонента плотности тока 1. В дипольном приближении выражение (12.26) сводится к следующему: Гя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
