1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В предельном релятивистском случае обычно удобнее диагонализовать матрицу Ть, Конечно, все физические следствия не должны зависеть от выбора представления. Реляаеаааетсная анвараанненоснсь уравнения Дарана Прежде чем решать уравнение Дирака и извлекать из него физические следствия, мы покажем, что физические результаты не зависят от выбора лоренцовой системы отсчета, использованной при их выводе. Если уравнение Дирака решено в двух различных системах, то решения должны описывать одно и то же физическое состояние. Это не означает, что компоненты ф не ме. няются при преобразовании Лоренца.
Ситуация здесь аналогична положению с тензором электромагнитного поля, когда компоненты напряженностей 6 и К преобразуются, но форма уравнений Максвелла остается инвариантной. Так и здесь мы увидим, что величины ер преобразуются, но форма уравнения Дирака остается неизменной. Наиболее общее однородное (т. е. не включающее пространственно-временных трансляций) преобразова- Ге. 17. Уравнение Дирака. Формальное теории ее7 ние Лоренца можно записать следующим образом: хе» П»Хт (1 7.41 а) где а„ал = а' ал» =бл ໠— вещественные числа.
(17.41б) т» т» Равенство (17.41б) вытекает из условия инвариантности вещественной квадратичной формы хих . В частном случае стандартного преобразования Ло. ренца (движение двух координатных систем вдоль их общей оси х с относительной скоростью о, причем начала координат совпадают в момент времени 1=0) величины и» имеют вид р у — ру 0 0 4 — ру у 0 0 0 0 1 О 0 0 0 1 (17.41в) с' Используя соотношение — =ал— д д дх" " дх'л (17.42) вытекающее из уравнения (17.4! а), и замечая, что градиент д/дх» представляет собой ковариантный вектор, из уравнения (17.19) можно получить - алу» —, + лев = О. и д4~ (17.43) дх'л (17.44) Введем величины у = а»у».
С помощью уравнения л л (17.41б) можно проверить, что они удовлетворяют соотношениям (17.18). Поэтому на основании фундаментальной теоремы Паули существует (определяемая однозначно с точностью до постоянного множителя) такая матрица 5, что и»у»=Б 'у~В. Чисто П. Релвтивистские теории Подставив эту величину в уравнение (17.43) и помножив все слева на 5, получим — у» — + й дхег дх'« Определим величину чт' (х') = 5ф (х).
(17.46) Тогда вместо уравнения (17.43) можем написать (17.47) Согласно (17.33), это дает (5у'5У) = ду, 5у 5" = ЬуУ. (17.50а) (17.30б) Взяв равенство, эрмитово-сопряженное с (17.60б), можем убедиться, что константа Ь вещественна. Наложим иа 5 условие нормировки с(с(5=1. Тогда из равенства Это уравнение имеет в точности такой же вид, что и (17.19).
Как мы и предсказывали выше, волновые функции ер преобразуются, но матрицы у» остаются теми же самыми. Поэтому если мы сможем доказать, что величина 5ф=ф' имеет тот же физический смысл в штрихованной системе координат, что и ф в нештрнхованной, то мы полностью продемонстрируем ковариантность теории.
Для этой цели установим еще некоторые свойства матрицы 5. Из соотношений эрмитовости (17.16) и равенств (17.4!б), (17.44) находим ~. «о( х «)' о о(5-етт.5)' о а»у'=65+у)у Ь5УГ (17.48б) Подставляя сюда 5 у 5 вместо а„у", получаем (у'5~у') у (у"5~ус) = 5 у'5, (17.49а) (5у 5~у ) у = у (5у 5' у ). (17.49б) Гл. !7. 'етраанение дирана. Формальная теория 249 (!7.50б) следует, что Ь'=1, и, так как Ь вЂ” веществен- ная величина, мы получаем Ь= + 1. (17.51) Чтобы выяснить физический смысл этого результата, рассмотрим величину 5 5 з 5. уоуо5 Ьуо5-1уо5 Ь топо у Ьп~о7 ~, 'Ьпонуоун я=ь (17.52) 0 < Бр(5~5) = 4Ьпе,', Ьао ~) О, (17.53) т. е.
по<0, Ь= — 1, ао о> О, Ь = 1. (17.54а) (! 7.54б) Первый случай, а~ ( О, соответствует преобразованию с инверсией времени. Рассмотрим теперь трансформационные свойства сопряженной функции ф=ф "т ф' =5Ф Мт=ф'5' ф'=(ф')'у'= Юу'=ЬфУ5 '=Ьф5 ' ф'(х')=Ьф(л)5 '. (17.46) (17.55) Теперь мы в состоянии ответить на поставленный выше вопрос, описывает ли функция ф' такую же физическую ситуацию в штрихованной системе, какую описывает волновая функция ф в нештрихованной системе? Ответ будет положительным, если величина тр'ф' дает плотность вероятности в штрихованной системе, Здесь были использованы равенства (17.44) и (17.50). Так как собственные значения 5~5 положительно определены, то, взяв шпур от равенства (17.52), получим гго Часть 11.
Релвтивистские теории Рассмотрим плотность тока с (17.21) т» ух — = тт у"тг = Ьтго' 'уатт = Ьа»трутней = (та" †. (17.56) Следовательно, относительно преобразований Лоренца, не включающих инверсии времени, величина 1»!с преобразуется как 4-вектор, что дает нужный закон преобразования величины тртр. При общих преобразованиях Лоренца 1» ведет себя как псевдовектор.
Явный вид матрицы преобразовании » б»+)„е»т (17.57) Здесь ).— малый параметр; в дальнейшем будут удерживаться только линейные по )с члены. Согласно (17.41б), е = — е »т т» (17.58) Далее действуем следующим образом: 8=1+ХТ, (17.59) 8 '=1 — )Т, а,"у~=5 'у»о =(1 — ХТ) у" (1+ ХТ) =у" + Х(у»Т — Ту»), (17.60а) (17.60б) а»ту =у" +Хе»у' Отсюда е»у" =у Т вЂ” Ту . (17.61) Выпишем, наконец, в явном виде матрицу о', соответствующую собственному непрерывному преобразованию Лоренца, с(е1(а»)=1, аоо>0. Достаточно рассмотреть только бесконечно малые преобразования, так как любое конечное преобразование можно представить как результат повторного применения бесконечно малых. Для последних Гл.
!7. Ураенение Дарана. Фарл1аленак теорие 251 Матрица Т определена однозначно с точностью до слагаемого, кратного единичной матрице. Действительно, если бы сушествовали две такие матрицы Т, то, согласно (17.6!), их разность коммутировала бы со всеми матрицами уи. Это возможно лишь для матрицы, кратной единичной. Условие нормировки устраняет и эту неопределенность, так как 1=бе15=бе1(1+ХТ)=бе11+ХЯр Т, (17.62) 6р Т=О. Легко убедиться, что матрица = 8 (уиуе у уи) удовлетворяет условиям (17.61) и (17.62).
Следовательно, Т и есть искомая матрица преобразовании; как видно, она антисимметрична, РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА Решение дл» саоооднасх частим Уравнение Дирака имеет решения в виде плоских волн, т. е. решения, описывающие отдельную частицу в отсутствие взаимодействия. Они имеют вид !р„х~ 1 Ф(г, т) = и ехр (18.1) (18.3) не имеет обратной. Поскольку матрица, обратная (18.3), есть (р„ра — тзс') (у"р„+ тсУ), (18.4) необходимое и достаточное условие существования решения (18.2) имеет вид р ря — т'с'=О, з (18.5а) Е' = с'р'+ т'с4.
При заданном р это уравнение имеет два решения: Е+ — — ~(сар'+ тес' Е = — Ус'р'+ т'с'. (18.56) Здесь и — четырехкомпонентный столбец, который, в силу (17.19), удовлетворяет уравнению (у Ри — тсГ) =О. (18.2) Это система из четырех однородных алгебраических (а не дифференциальных) уравнений для четырех компонент и.
Она обладает нетривиальным решением в том, и только в том случае, когда матрица узр — тст Гм IВ. Решения уравнения Дарана гВЗ Видно, что у уравнения Дирака, так же как у уравнения Клейна — Гордона, есть решения с положительной и отрицательной энергией. Чтобы получить явное выражение для и, необходимо задаться какой-нибудь определенной формой дираковских матриц. Удобно выбрать представление (!7.40).
Очевидно, имеются четыре линейно независимых решения; из них два принадлежат Еэ и два Е . Можно показать, что для Е+ они имеют следующий вид: Р. (Р,+)Р„) и1=1, из=О, из= Е 1 азсз ~ из= а "+ьз„а, (18.6а) с (Р» — ср„) — ср из — — О, из=1 из= е +таз ' из е +тсз ' (18.6б) Для Е = — Е+ получаем — ср — с(р +)р„) и~= д ).тсз из= а +,",, и,=1, и,=О, (18.7а) с (Р» )Рз) сР и = " ° из= — — ', и =О, и =1. (18.7б) з — Е +тсз — Е +таз' Здесь и взято в виде и, и, и= из из Эта величина не нормирована.
Чтобы удовлетворить ус- 4 ловию нормировки ~з ~ и, ~з =1, каждое ис следует умно. »=! жить на ~1+ Р ...1 =( +, ) . (18.8) Видно, что каждое решение имеет две компоненты, которые в нерелятивнстском предельном случае (Е+--гпсз) порядка о/с. Они называются малыми компойентими, а две другие — большими компонентами. Для решений с положительной энергией большими 2и4 Часть П. Релятивистские теории компонентами являются и, и ие. Следует ожидать, что в нерелятивистском предельном случае большие компоненты соответствуют решениям уравнения Шредингера для свободных частиц. Рассматривая выражение (!8.1), убеждаемся, что так оно и есть.
Для дальнейшего введем оператор (18.9) В предельном случае, когда малыми компонентами можно пренебречь, выражения (18.6а) и (18.7а) суть собственные функции о,' с собственным значением +1, а (18.66) и (18.7б) — собственные функции о,' с собственным значением — 1. Ниже мы увидим, что аа'/2 есть спиновый момент количества движения. Таким образом, четыре решения уравнения Дирака для свободных частиц соответствуют положительной энергии и значениям спина л-'/е и отрицательной энергии и значениям спина +'/е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
