1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Начнем с вектора (0), который называется некто. ром состояния вакуулеа и обладает свойством И„!О) =0 (20.32) Часть Нд Введение в теорию воля для всех й. Существование такого вектора было доказано выше. Физическая интерпретация вакуумного состояния заключается в том, что оно описывает ситуацию, когда частицы отсутствуют. Затем построим вектор =, а';(О). (20.33а) Нормирующий множитель здесь выбран в соответствии с формулами (20.24). На основании (20.21б) имеем д!аЦО) =ае!О).
(20.33б) !2! А, 1) = атат(0), р1!!! !2; й, А)= = атьа (О). (20.34а) (20.34б) (20.34в) Имеем А!~2; К 1) =2!2! й, 1). Функция (20.34а) соответствует двум частицам: одной в состоянии й, а другой в состоянии 1; функция (20.346) — тоже двум частицам, причем обе находятся в состоянии й. Нормировочные коэффициенты опять- таки находятся на основании (20.24). Обозначения влевой части (20.34а) и (20.34б) указывают как на число присутствующих частиц, так и на занятые состояния.
Отметим, что данная теория ие накладывает ограииче- Этот вектор мы интерпретируем как одночастичное состояние. Он описывает физическую ситуацию, когда црисутствует одна частица. Эту ситуацию, впрочем, можно описывать и в рамках обычной квантовой механики, теория поля здесь не обязательна. Чтобы установить связь между этими двумя описаниями, постулируем, что состояние ает!О) описывает частицу, которая находится в обычном квантовомеханическом состоянии ии(г) [см. (20.!4б)).
Удобное обозначение для одночастичных состояний имеет вид !1; А) = а~3!О). (20.33в) Продолжая в том же духе, построим двухчастичные со- стояния Гл. 20, Вторичное квантование нескольких полей частиц л37 ний на число частяц, которые могут находиться в одном и том же состоянии; таким образом, мы имеем дело с бозонами. Фермионы будут рассмотрены ниже. При установлении связи с обычной квантовой механикой надо принять во внимание свойство симметрии волновой функции.
Состояние (2;и,() соответствует функции 2 У*)иь(г()ит(г,)+ и,(га)ат(г()) (й эь1), а состояние (2; й, й) — функции 2 "2 ь [ил (г,) и „(г,) + и, (г,) и, (г()) = и, (г,1 и „(г,). Путем повторного действия операторов рождения на состояние вакуума можно построить все базисные векторы теории: вектор (Ать, й, й, ..., й) = — (ич') ь~(0') (20.35а) Ут(Р(л'+ 1) ( описывает Ать частиц, причем все они находятся в состоянии к; вектор ! л ~ Иь, '1, 1, ..., 1, 2, 2, ..., 2, ..., п, и, ..., и) = ы ьсз ттл л П ( д (0( (20.356( (ж ьЦ описывает ~ Иь частиц, в том числе М( частиц в сов=! стоянии 1, тчз частиц в состоянии 2 и т. д. На основании полученной физической интерпретации и установленного выше соответствия с классической механикой заключаем, что й(' есть оператор, собственные значения которого равны числу имеющихся частиц. Вспомнив определение этого оператора (20.12), прихо» дим к выводу, что если считать етрвчр классической плотностью заряда, то, согласно теории поля, полный заряд системы частиц должен быть кратен е.
Оператор М„ описывает число частиц в состоянии и. Аналогично Часть Ц!, Введеыие в теорию поля собственные значения и и Р дают полную энергию и импульс системы. Если и» суть собственные функции, удовлетворяющие одночастнчному уравнению Шредингера, то теория поля дает стационарные решения, в которых число частиц в й-м состоянии равно М», а полная энергия есть ~з~М»Е».
Если система свободна, то оператор Р также диагонален, и полный импульс есть ~~д~»Р». » Обычно в теории поля говорят, что оператор а», действуя на состояние вакуума, создает частицу в состоянии й [подробнее: частицу, описываемую функцией и»(г)). Точно так же оператор»р (г), действуя на состояние вакуума, создает частицу в точке г. Чтобы убедиться в этом, напишем Чс' (г) (0) = ~ и» (г) аЦО). (20.36) Каждая собственная функция а»а~О) соответствует частице в состоянии и»(г'). (Переменная, характеризующая положение частицы, снабжена штрихом, такнакэто есть индекс суммирования, который следует отличать от аргумента функции яр~.) Таким образом, вектор ф~ (г)(0) соответствует сумме ~~' и' (г) и„(г') = Ь (г — г').
Это есть волновая функция частицы, локализованной в точке г, Напомним еще раз, что все наше рассмотрение относится к некоторому избранному моменту времени й Чтобы определить зависимость от времени, которую дает теория, обычно пользуются картияой Гейзенберга.
При этом волновая функция остается не зависящей от времени, а зависимость операторов от времени определяется гамильтонианом Н. Следует заметить, что то или иное представление задается условием диагональности некоторого оператора. Иными словамн, чтобы определить представление, недостаточно одних лишь правил Ге. 20. Вторичное квантовавие нескоеькых волей частиц 2Ю перестановки; мы, в частности, требуем, чтобы были диагональными операторы Мк и, следовательно, оператор Лг.
Теория поля привела нас к теории Шредингера для системы многих бозонов. Однако мы неявно предполагали частицы невзанмодействуюшими: в операторе Гамильтона отсутствуют члены типа собственной энергии — имеется только взаимодействие с внешним потенциалом. Как показали Йордан и Вигнер [48], эти два подхода — задача многих бозопов в теории Шредингера и теория вторично квантованного поля — полностью эквивалентны и при учете взаимодействия. В заключение расшепим ае и ае на два эрмитовых оператора: ае = 2 '(де+ (р„), у аее = 2 а (де — с Р,), '7е='7е Ре=ре (20.37) Тогда [<7» Чс[ =[Ре Рт[ = 0 [е)е~ Рт! = Рйы 1 1 (20.38) е+ 2 2 (Рте+ т7е)' Л1ы видим, что соотношения (20.38) имеют такой же вид, как и для гармонического осциллятора [с очевидным законом соответствия между величинами (20.38) и параметрами, характеризующими осциллятор] С помощью этого обстоятельства можно было бы и иным методом прийти к полученным выше результатам [1].
Фермионы и соотношения инпеияоммуеиации Мы видели, что квантование шредингеровского поля с помощью обычного принципа соответствия между коммутатором и скобкой Пуассона привело к системе многих бозонов. Анализируя проделанные выше выкладки, можно установить, что вывод о том, что Мк могут иметь любые неотрицательные целочисленные значения, вытекает, по сугцеству, из правил перестановки (20,8), (20.15) нлн (20.38). Йордан и Вигнер [48] обна- Часть Пй Введение в теорию поля где [А, в!, =Ав+вл. (20.40в) Определяя операторы Мы как и выше, можем убедиться, что все они коммутируют друг с другом и, следовательно, могут быть диагонализованы одновременно. С помощью соотношения (20.40б) мы получаем Нее = а~~аваева = аее(! — аееае) ая = =а~тая — а~а„алая=а~а =Ия.
(20.4!) Здесь принято во внимание, что, в силу (20.40а), аеае=аеяаее=О. Таким обРазом, собственные значениЯ )Уя в соответствии с принципом Паули равны 0 или !. ружили, что замена коммутаторов антикоммутаторами приводит к системе многих фермионов. Затем Паули [50] показал, что если квантовая теория поля удовлетворяет перечисленным ниже условиям, то фермноны должны квантоваться с помощью антикоммутаторов, а бозоны — с помощью коммутаторов. Условия Паули таковы: !. Коммутатор двух наблюдаемых величин, относящихся к двум точкам пространства — времени, разделенным пространственно-подобным интервалом, должен быть равен нулю.
В противном случае эти величинея нельзя было бы одновременно измерить с произвольной точностью, откуда следовало бы, что возмущение распространяется в пространстве со скоростью, превышающей скорость света. 2. Энергия поля должна быть неотрицательной. Чтобы выполнить нашу программу для нерелятпвистского уравнения Шредингера, заменим равенства (20.8) и (20.!5) на [ф (г), ф (г')[+ —— [ф'(г), ф' (г')~, = О, (Ф(г), т~(г')1 т б(г — г'), [а», а,1 = [а1, аД =О, [а», аЦ е бвн т'л. ло.
итар»нное квантование несколькик нолей частиц Зд! Операторы а» не могут быть диагонализованы. Действительно, если бы оператор а» был диагонален, то, в силу (20.40а), его собственные значения были бы равны нулю; тогда выражение а~~а» также обратилось бы в нуль, что противоречит равенству (20.40б). Собственные нт значения тч'=,~(тт'» суть неотрицательные целые числа. Легко убедиться, что полученные выше выражения для полных энергии и импульса остаются неизменными. Мы сохранили гейзепберговское выражение для зависимости оператора от времени. Можно убедиться, что в этом случае уравнения движения (20.9) остаются неизменными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
