1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(21 43) В1В Часть 111. Введение в теорию ноля Таким образом, член сре — ееА(ге), фигурирующий в Нь принимает вид дВ1 дат с — +с — — е А(г )= дс! дя 1 дВ1 = с — ' — е1 ~ (д,хц + дтхц"„). (21.44) 1 е 2=к 2 В правую часть (2!.44) продольные компоненты не входят. Поэтому, полагая д51/д41=рь мы можем переписать га мильтон на н (21.25) в виде Н= ~ )/!2'+(ср1 — е А„(г ))2+ —, ~ — + + э (р"„р„+ ~же/21 г/ ), (2! .45) Чтобы понять смысл этого выражения, вспомним, что вклад от Н, в (21.25), в силу определения (21.29), можно было привести к виду (21.37).
Далее, гамильтониан Н1, непосредственно подставлялся в (21.45) в форме (21.11), в результате чего осталась только «кинетическая энергия» частиц )'!121+(ср1 — езА1(г )!2. По виду этот член зависит от продольных компонент А, по, как явствует из формулы (21.44), фактически такая зависимость отсутствует. Из определения р1=д51/де(1 видно, что эта последняя величина также не содержит продольных компонент векторного потенциала А. Второй член в выражении (21.45) содержит расходящиеся слагаемые е21/гсс Это простой пример знаменитых расходимостей в теории поля; расходимость обусловлена бесконечной электростатической собственной энергией точечного заряда. Следует либо отбросить эти слагаемые, либо считать, что они содержатся в энергии покоя частицы рр Процедура исключения расходимостей релятивистски каварнантным образом называется перенорлеировкай; эта проблема выходит за рамки настоящей книги.
Гл. 22', Квантование поля. Квантовая влектродинамика Згр Выражение (21.45) представляет собой полный гамильтониан системы. Однако точно так же, как и в классической электродинамике, иногда удобно не включать все заряды в рассматриваемую систему, а описывать действие некоторых из них с помощью внешнего поля. Фактически это означает, что движение этих зарядов задается, и следовательно, внешнее поле считается известной функцией времени. Мы описываем внешнее поле потенциалами ~ре, А', которые должны удовлетворять условию Лоренца. Будучи заданными функциями времени, эти поля не должны квантоваться. В качестве примеров можно упомянуть внешнее магнитное поле при изучении эффекта Зеемаиа, поле атомного ядра, если квантовомеханическая система составляется только из электронов, и т. п.
Разумеется, для внешних полей продольные компоненты ие исключаются. Поэтому общее выражение,для гамильтониана системы взаимодействующих точечных зарядов во внешнем поле есть и= 'у [)/12,'. + [ср,. — еуА„(г,.) — е А'(г,.)]'+ е1~р'(г2))+ 1 + '«~ ' ' + ~ (ряыр +тв2~у~2„ту ). (21 46) 3(1 л л= на Входя1цим сюда величинам можно дать следующее физическое истолкование. Первое слагаемое включает энергию покоя, кинетическую энергию частиц, энергию взаимодействия их с внешним магнитным полем и полем излучения. Второе слагаемое описывает взаимодействие с внешним электрическим полем, а третье — статическое взаимодействие между точечными частицами.
Последнее слагаемое представляет собой энергию свободного поля излучения. Такой подход к квантовой электродинамике был предложен Гейзенбергом и Паули [51, 52] и Ферми [6]. Ему предшествовала теория поперечного поля излучения Дирака [39]. Гейзенберг и Паули рассматривали поле как функцию пространственных координат и времени. Это существенно с точки зрения вопроса о возможности одновременного измерения различных комцо- дгд Уесть ГП. Введение в ееорию яояя нент поля в одной или разных точках пространства— времени — вопроса, весьма детально изученного Бором и Розенфельдом.
Однако использование пространственных координат вызывает добавочные технические трудности. Ферми удалось избежать их, рассматривая Фурье- компоненты поля. Книга Гайтлера (5) и наше изложение следуют Ферми. Все эти формулировки, которые в свое время явились большим достижением, страдают одним недостатком: разделение полей на продольные и поперечные не- инвариантно относительно преобразований Лоренца.
Тем не менее это основной подход, послуживший отправным пунктом для более изящных'методов Швингера и Фейнмана '). Кваагпованае яоперсчного поля Квантование поперечного поля производится с помощью обычных правил перестановки [е(ел, Ре'л 1= [Чевл Рее л1=ИЬее,блл' (21 47) Совершая обратное преобразование Фурье, можно получить отсюда правила перестановки для самих полей. После длинных преобразований находим [А, (г, Г), $, (г', Г)) = — 4псб,сЬ(г — г') И+ + Ис — —... (21.48) де де, 1е — е1 Символы з н з' обозначают здесь декартовы компоненты векторов. Правая часть (2!.48) не обращается в нуль при г'Фг. Это не противоречит принципу независимости измерений величин, разделенных пространственно-подобным интервалом, поскольку вектор-потенциал А не есть наблюдаемая величина.
Из соотношения (21.48) вытекают равенства [Ф, (г, г), Ю, (г', г)1 = О, [$ (г, Г), Юе(г'.Г)1=4ясИ д, Ь(г — г'), (21.49) ') См. [531. — Прим. ред, Гя. 2т'. Квантование ноля, Квантовая эявктродинамика З21 а также соотношения, получаюшнеся отсюда циклической перестановкой х, у, г. Легко найти, как зависят величины д„л и р от вре- мени (!тая, =1гГ ы Н! = ГЬРил, лгтрял =(Рялт Н~ = Ьры г(ял (21.50а) (21.506) (21.51 а) Интегрируя уравнение (2!.51а), находим ГЬ д = 1/ — !Ьяле-тот+ Ь'тлетвт).
(21.516) Множитель 1тЬГ2то вставлен для удобства в дальнейшем; операторы Ь и Ь' определяются этим соотношением. На основании (21.50а) Р'.л = фт 2н ( — Ьтв) 1Ь ле-™ — Ь„'лене'~. (21.51в) Воспользовавшись равенствами (2!.1) и (21.2), получаем отсюда Ат, = — 7 ф/ ='елл [Ьяле'т"' во+ ! ътт Г анас !тт» и л=т,з -1- Ь' "ю'+вт!-1- Ьтле ' '"' "о+ Ьиле ' '""" 1. (21.52) Таким образом, Ат, есть суперпозиция волн, бегущих в направлениях )г и — к. 21 Г. бете Здесь Н вЂ” гамильтониан свободного поля (2!.!1). (Следует заметить, что равенство (21.50а) спранедлнво, даже если Н есть полный гамильтониан (21,45); однако равенство (21.506) имеет место только для свободного поля.) Этн уравнения, разумеется, находятся в соответствии с классическими уравнениями (2!.12) и (21.13). Исключая из них р „, получаем Часть НД Введение в теорию иоле Разрешая выражение (21.51) относительно Ььл.
имеем Ььл = — у — е '! д ., + — „р ! Гвю с Г ! Ь' = — лт — в- "'~Ч вЂ” — „р лл 2 У Ь 1 ьл и ьл!' (21.53) Соответственно правила перестановки, вытекающие из соотношений (2!.47), будут ')Ььл, Ьь л ') = ~!Ььл, Ь,'ьл )1= Ььл Ьлл . (21.54) 1Ь,л, Ь,)1=(Ььл, Ььл(=О. Все прочие коммутаторы равны нулю, Гамильтониан (2!.! !) принимает вид Н= ~и Ьоь (ЬьслЬьл+ ~) ° (21.55) л=ь2 М =ЬФЬ (21.56) Этот оператор есть интеграл движения; собственные значения его равны О, 1, 2, .... Из общей теории гл.
20 известно также, что (!Чьл+ ! ~ Вел (Мьл) = У !Лсьл + 1, (21.57а) (И,',— ! !Ьлл! Х,',) = У'М,',, или, что сводится к тому же, Ь, ~М;л)=УЛ; !Н,' — !), (21.57б) ьь !не = т н,'. л ~ ) н,'. ь 1Л Перенормируем гамильтониан свободного поля (21.55), отбросив в нем постоянную часть Ьсо/2. Тогда, где мы отождествили операторы Ь-ьл и Ььл и устранили ограничение, налагавшееся ранее на суммирование по Ь. Поскольку Н вЂ” сумма осцилляторных гамильтонианов, можно немедленно определить оператор числа частиц Гл.
лб Квантование ноля. Квантовая влектродиномико Зле будучи выражен через операторы числа частиц, он примет вид Нттее = Х ноьК1вк. (21.58) х=т, г Импульс поля Р можно вычислить, вспомнив, что он равен пространственному интегралу от вектора Пойнтинга, деленному на сг.
В квантовой теории этот результат принимает вид (21.89) в х=т,г Взаимодействие с зарижеииыми настит1ами Запишем гамильтониан всей системы в виде И= Но+ Нг. (21.60) Оператор Н' состоит из двух частей; Нр — энергия частиц (в том числе и энергий их статического взаимодействия) и Н,— энергия свободного поля излучения. При этом Н„= ,'«„(а1 ° ср, + рдм,)+ р,' —,, (21.61а) l ! </ либо (21.616) тку Первое выражение — это гамильтониан Дирака, а второе — нерелятивистский гамильтониан Шредингера. Гамильтониан поля всегда имеет вид Н,=~ ЬаЖ», (21.62) где индекс й означает совокупность з и Х. Оператор Н' есть гамильтониан взаимодействия; Н'= — ~~Д Е,(а; Ап(Г1)) (21.63а) Часть Нп Веедеиие и теорию иоле или е2 Н' = — ~~) — ~ р~ ° А2т (Г2) + ~~) — ~ е А,', (Гу).
(21.636) l Второе выражение соответствует нерелятивистскому уравнению Шредингера и получается из (21.45) путем разложения квадратного корня. Первое выражение соответствует уравнению Дирака. Оно дает правильное уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле. Вспомнив, что ссс2 есть скорость 1чй частицы, легко убедиться, что выражение (21.63а) приводит также к уравнению (21.18в) для фурье-компонент поля. Предполагается, что квантованные внешние поля отсутствуют.
В любом случае оператор Н' рассматривается как возмущение, зависящее от времени. Собственное состояние Ч" оператора Н разлагается по собственным функциям Н„и Н„ 'Р = Х с(п..... )Ч;, ..., д ф. (г,, Г) Р(..., Ие', ...). и, 2т„ (21.64) Пусть в начальный момент система находилась в со| стоянии с п=а, И~=И», для амплитуды конечного состояния, когда п=Ь, а число фотонов равно Ми+1, в случае дираковского гамильтониана мы получим 1ь 4 с(ь...., Аг' + 1, ..., г) = =~Ф„(г, т)Ф(..., М;+1, ...)Х Х и'ф. (г, г) р(..., Н;, ...) 1т= = — —,, 2т ) Ч2*,(г)сс е„2р,(г)е-'"'с(тХ е / 2яЛс Х г' Мд+ 1а'~е'Ч '(ае ае)'. (21.65) Первое выражение здесь содержит интеграл по про.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
