1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Оно равно в ~ ~1т "т = Х 42Х4ел (21 10б) Л=!, 2 Таким образом, 1~1т= Х '14втл4.л+ ыделйел') Х 1,2 (21.10в) С помощью полученных выше выражений можно построить гамильтониан поперечного поля 01т = Х ~РХХРел +ю'4аялл1 (21.11) Х=1,2 где дН , , дН Другое каноническое уравнение движения дает дН и1242 доит (21.13а) ° т дН = — — = — ео21) Ал ддт ьх двл Для вычисления первого слагаемого в интеграле воспользуемся равенством (21.5).
Чтобы найти еею2, проще всего заметить, что (МХелт)=/гед2 и (КХел2)= — йеы, и воспользоваться соотношениями ортогональности (21.4). Окончательный результат гласит: — ~ ЮХ~Й= ~~И йес241елд = ~~1„в12~у1 д . (21.10а) Х=1, 2 Л 1,2 Гл. 2А Квантование ноля. Квантовая элентродиналина от'! Сравнивая уравнения (21.13а) и (21.12), видим, что ан = — св'аяте сует, = — свату,, (21.13б) Таким образом, поперечное поле описывается бесконечной системой осцилляторов. Уравнения (21.!3) эквивалентны классическому волновому уравнению, которое вытекает из уравнений Максвелла.
Взаимодействие с частицей Рассмотрим теперь релятивистский гамнльтониап системы точечных частиц, каждая из которых обладает зарядом еь в заданном электромагнитном поле. Как известно, он имеет вид Н = ер (г,.) + )! и'+ !ср — е,.А (г ))', ы~ — — тес' Индекс 1 нумерует частицы; функции у(г1) и А(г;) суть потенциалы поля в точке, где находится 1-я частица. В нерелятивистском предельном случае !сру — е А!' Ц=етр+ь,~г 1+ ыу~ е~'Р+ Ы~+ 2 (21.15) (сыт — е А!' 2ыу Это есть обыкновенный нерелятивистский гамильтониан. Можно убедиться, что канонические уравнения движения, вытекающие из выражения (21.14), дают правильное релятивистское уравнение с силой Лоренца.
Гамильтониан системы невзаимодействующих (пока) частиц есть, разумеется, (21.16) В правую часть (21.14) следует подставить потенциалы, обусловленные как внешними источниками, так и самими частицами. Первые пока учитывать не будем. Потенциалы удовлетворяют обычным волновым уравне- ниям т А — — А= — — 'ртт, 2 са ее~р — —,, тр = — 4пр, 2 1!.
А+ — ар=О, где р — плотность заряда, а ч — скорость заряда. Поскольку эти поля уже не являются свободными, у них будут и продольные компоненты, С помощью формулы (2!.!) уравнение (2!.!7а) можно преобразовать к виду 2. !Ст ,~~ ~ (Чалпал+ Чалцал) са,~~ (Чалма + Чалцал) = — — ртт. (21.18а) 4н с Умножая это на и',, и интегрируя, получаем 4псайаЧал+ 4пЧ„, = —,' ) ртт н",л аст. (21.18б) Поскольку р есть фактически сумма б-функций, указывающих положения частиц, мы можем переписать уравнение (21.18б) в виде Ч„+ еа'Чал = —, ~~ егп'„(г,.) чг (21.18в) Это уравнение движения для осцнлляторо с собственной частотой иа, причем на осциллятор действует вынуждающая сила, обусловленная заряженными частицами.
Аналогичным образом можно разложить и скаляр. ный потенциал (21.19) Чисть л!д Введение в теорию пола ар= Ъ, (аа(с) 72(г)+а~(!) )*„(г)), 72 (г) = —,, е"'. )т 4лс (21.17а) (21.176) (21.17в) Гл. л1. Квантование ноля. Квантоаал электттодинаника о13 Отсюда а, + орал = Х е1(", (г,). (21.20) Далее из соотношений (21,19), (21.3) и (21.2) следует, что 1й "«з= !1,! 1» (21.21а) или, что то же самое, 1 и„= — 7):„, (21.21б) посколькУ (в — е'" ". Условие Лоренца (2!.17в) принимает вид Х т к.т т (') э™кэ+ Чкэ™э) + —,,?~ ЯА+ ав!4 = 0 Ф к (21.22а) или с учетом,(21.216) ,~! )( ~ — ЛЧ,э -т- —, а„) !'е + ~ — Йу,"э + —, а,) 1„' ~=0, (21.22б) т.
е. а„= отдвэ. (21.22в) Таким образом, уравнения движения (21.1?) эквивалентны равенствам (2!.18в), (21.20) и (21.22в). Последнее уравнение можно представить в виде начального условия с помощью следующето приема. Продифференцировав уравнение (21.20) по времени, получим а, + оРа, = ~ е1 ~' (гу) = ~ е ЧДт') ч = = л е,.Ап„ч =от(д„э+оРдвв) (21.23а) или ~ — „„+оР) (а,— Ч„)=0.
(21.23б) Часть НД Введение в теорию ноев Таким образом, если при т'=0 а»=~Ч»з а»=оте)»з (21.24) то равенство (21.22в) имеет место всегда. Мы, таким образом, заменяем условие Лоренца, которое должно выполняться во все моменты времени, двумя условиями, которые должны выполняться при 1=0. Иначе говоря, мы ограничиваемся рассмотрением решений, удовлетво- ряющих начальным условиям (21.24). Тогда осцилля- торы д»з и а» можно рассматривать как независимые. Теперь мы можем написать дифференциальное урав-' нение движения в канонической форме.
Можно убе- диться, что гамильтоннан полной системы есть Н = ~ Н, + Н„+ Нм, (2! .25) 1 где У,Н1 есть гамильтониан частиц, (21.14); Но+Н~з— У гамильтонианы поля, причем Ньт дается формулой (21.1!), а Н~ = ~~.'~ (Р»»зР + оР»)»»з~)»з) — ~ (а'а»+ оРаь»а»), (21.26) Величины а» представляют собой импульсы, канониче- ски-сопряженные переменным а». Канонические уравне- ния полностью эквивалентны равенствам (2!.18в) и (21.20). Можно получить, например, из ннх уравнение (21.20).
Мы имеем — =УеД(г) — оРа»т, —,=) е,.~*,(г) — оРа„, дН дН з ! е» д!т дН (21.27) — = — а'", д» »' Ф» — = — а. Тогда а = — ат, » а»= — а »а»' — а = ~ч' е '!»(г ) — оРа~ь — а~» = ~ е !'„(г.) — оРа„, (21.28) а» ь= ~ е,.) (г,.) — ора» а„= У„д,.)' (г ) — ойа», ! откуда следует уравнение (21.20), Гл. лг. Квантование поля. Квантовая электрооиналика Згб Кулоновсиое взаимодействие Рассмотрим часть гамильтониана (21.25), зависящую от гсв»э, гсеэ, а," и ан (т. е.
от продольных волн). Эта зависимость встРечаетсЯ в Нс — гамнльтониане 1ьй частицы и в Нсв. Можем написать И„= Нм + ~ еслр (г,) = I Х (РвэРвэ+ агтвтэгтвэ) Х (пвпв + гв ав™в) + + ~;», е (а ),(гс)+аД(гг)). (21.29) С помощью равенств [21.22в) и (21.29) получаем п»эав = гв иаэс)вэ.
(21.30) Далее, соотношения (21.20) и (21.22в) и канонические уравнения дают г)вэ = р+э — — — а, = — свае + — ~>„е,.~' (гг). (21.31) с Прн подстановке равенств (21.30) и (21.31) в (21.29) большинство членов взаим>ю уничтожаются, и в результате остается И,= ~» ~ —,, есес'1в(гс) (е(гс). (21,32) в с,с Поскольку суммирование по г и 1 производится независимо, величину Н, можно переписать в таком виде, чтобы сразу была видна ее вещественность Н,= — „~» ~~У вЂ”,, еге [)е(гс) (в(г )+ ),(гг) )в(г )[.
(21.331 г,/ в Суммирование по й легко выполнить -т Не= 2 ~в егесНгр Нс=Х ы Р (г)1 (",)+1 (')1 (гс)) (21.34) Зг'б Чаете Ш. Вееденпе в теорию полю Тогда (21.35) гы — — г, — гд Н = —,~,— е Ч. 4пъч 1 гиг ы — —,в,р, — ьг в Отметим, что у знака последней суммы штрих отсутствует, т. е. суммирование теперь производится по всем й. Применяя к Нн оператор Лапласа по координате гь имеем тгН,. = — — ~~ е~~'"И = — 4ЯЬ(г 7). гг ге в (21.36) Мы видим, таким образом, что часть полного гамильтониана (2!.25), зависяшая от продольных компонент поля, соответствует статическому кулоновскому взаимодействию между частицами и может быть выражена через координаты одних только частиц. На это можно было бы возразить, что мы неполностью учли зависимость гамильтоннана (2!.25) от продольных компонент, ибо не рассматривали продольные компоненты вектор- потенциала А(г;), фигурировавшие под знаком радикала в формуле (21.!4).
Покажем теперь, что все решения, удовлетворяюшие начальным условиям (21.24), можно получить из нового гамильтониана, который в свою очередь получается из (21.25), если подставить в качестве Н, выражение (21.37) и опустить продольные компоненты А в оставшихся членах. Последнее равенство есть условие полноты, справедливое для любой полной ортонормированной системы функций. Интегрируя уравнение (21.36) и принимая во внимание, что на бесконечности функция Нм должна удовлс1ворять обычным граничным условиям, получаем 1 ! 'кт еге! Гл Л. Квантование пола Квантовая электоодиноника огт Для этой цели воспользуемся дифференциальным уравнением Гамильтона — Якоби для действия 3 + Н[Чэ д ) 0 (21.38) Действие 3 зависит от всех канонических координат: дз (координат частиц), д»„(фигурирующих в разложении А), а» (фигурирующих в разложении ~р) и величин, комплексно сопряженных с ними. Остается в силе обыч.
ное соотношение для сопряженных импульсов Р д5 д~т (21.39) которое было принято во внимание в уравнении (21.38). Будем искать решение этого уравнения в виде о=ог(Ч1 Ч»г т(»г Ч»п е(»эг)+ог(т(~ Ч»з а» Ч»тз, и»), (21,40) ди дог 1 1 %"~ — = — '= р», —— — ат» = — ват+ — т е1~»(г1), дЕ»з ВЕ»з и е ' е (21.41) —,= — , '= Р' = — из»+ — „~„е,.Г(г,) Ч»з Ч»з В последнем преобразовании было учтено уравнение (21.31). Таким образом, для 5» получается следующее выражение: Далее, полагая г1;=гз и принимая во внимание равен- ство (21.216), находим т 1 Е (У»з7 ~» (г )+ дел 1', (г.) ) = ~Л~> (Ч»зн»з(гу) + гтт»зцфз(г~)) = о Аз (гг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
