1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(20.5а) (20.5б) ,~~2 т т+ тт) Замечая, что У вЂ” вещественная классическая функция (не операто~), и принимая во внимание соотношение (АВ) =В А, убеждаемся в эрмитовости гамнльтоннана. Интегрируя по частям и пренебрегая поверхност- Легко видеть, что уравнения (20,5а) и (20.56) вместе с определением (20.3) эквивалентны (20.2а) и (20.2б).
То обстоятельство, что ф не имеет сопряженногоимпульса, не приводит к трудностям, поскольку оператор п можно отождествить с фе и таким образом развить гамильтонов формализм, Это отождествление ер~ н и связано с тем обстоятельством, что уравнение поля — первого порядка по времени; поэтому производную ьр можно выразить через ф и тф.
В уравнении второго порядка по времени, таком, как уравнение Клейна — Гордона, как ер и и, так и ьр и и будут парами канонически- Ф Ф сопряженных переменных. Более того, если лагранжиан таков, что какой-нибудь сопряженный импульс остается неопределенным, и если при этом координату, сопряженную этому импульсу, нельзя выразить через другие координаты и импульсы, то весь гамильтонов формализм отказывается работать. С такой ситуацией мы столкнемся прн квантовании электромагнитного поля. На основании (20А) и (20.3) функцию Гамильтона можно записать В виде т л.
20. Вторичное квантование нескольких полей частиц 2В9 пым членом, можем переписать выражение (20,6) ввиде Н = ~ т)т~ ( — — Ч'+ У) тР ей. (20.7) = — [ Ч' ф(г') б (г — г') сй' = — Ч'еф(г). Здесь принято во внимание, что величины Ч'еф(г') и ф(т) коммутируют. Этот факт вытекает из того, что если [[(х), и(х')[=й(х, х'), (20.10 а) то ~ — /(х), д(х)~= — Вт,х, х). (20.10б) 19 Г.
Бете Если функция )т не зависит от времени, то гамильтонпап И есть интеграл движения, До сих пор поле ф рассматривалось как классическое, а ало. — как плотность его функции Гамильтона. Чтобы перейти к квантовой теории, введем правила перестановки. В силу (20.3) они имеют вид [т[т(г), ф(г')[ = [т(т~(г), ф" (г')1 =О, (20.8а) [ф(г), т[тт(г'Д =6(г — г'). (20.8б) Здесь опу1цен аргумент 1. Это означает, что оба оператора поля берутся в один и тот же момент времени— такая оговорка будет подразумеваться во всех аналогичных случаях. Займемся теперь вычислением производной по времени от квантовомеханического оператора тр елтР— [тг, Н[ [ф, [ —,Чф (г)ч Чф(г)сй ~-+ +[ть [ )е'(г')тре(г')тр(г')~й'1. (20.9) Первый коммутатор вычисляется путем интегрирования по частям, как и в случае (20.7), и оказывается равным — ~т[т(г), ~ ф~(г')Ч т(г')сй'~= = — [[тр(г), тр" (г')[Ч' ф(г')сй'= Часть Ш, Введение в теорию ионн Л (х, х'). (20.10в) Второй коммутатор есть ~ )т (г') [ф(г) ф'(г') ф(г') — ф' (г') ф (г') тр(г)[ сй' = = /)/(г') [тр(г)ф (г') — ф (г')ф(г)1 Ф(г')сй'= = [ Р(г') $(г') Ь(г — г') сй' = )тьр.
Здесь вторая строка вытекает иа первой, ибо операторы ~р(г') и ф(г) коммутируют. Отсюда (а р = — — 7'ф + ) тф 2ю (20.11 а) Аналогично — (а$ = — 2 Ч'Ф +Ъ'тр . (20.11б) Видно, что уравнения классической и квантовой механики формально получаются одинаковыми. Так и должно быть, если отождествить скобки Пуассона с коммутаторами. Следующие утверждения можно проверить, оперируя со скобками Пуассона. Коммутаторы в формулах (20.8) суть интегралы движения. Оператор У, определенный равенством (20.12) также представляет собой интеграл движения. Отме- тим, что этот оператор эрмитов. Чтобы убедиться в справедливости последнего равенства, представим производную с помощью предельного перехода [ — „т )(х), д(х')] =11~~~ — [[[(х+е), д(х')[— — [1(х), а(х')[[=1пп — [л(х+е, х') — Ь(х, х')[= е-ьо е Гл 20. Вторичное квактовакие нескольких валей частиц от' йГ-частпичное или многочаснгииное предстпавление для тиредингероаского поля Рассмотрим оператор тч' более подробно, Он эрмитов, значит, его собственные значения вещественны.
Разложим чр по полной ортонормированной системе функ- ций чр (г, т) = ~ а, (г) и, (г), ф~ (г, г) = ~~.", и'„(г) а1 (т). (20.13а) (20.13б) Здесь величины а считаются операторами, зависящими от времени, а и — обычными функциями. Поэтому в формуле (20.136) над ак стоит крест, а над ик — звездочка. Пользуясь ортонормнрованностью функций им мы можем найти амплитуды а, (1) = ] чР (г, г) и'„(г) Жт, (20.14а) а~к(г)= ~ и„(г)чР" (г, К)сй. (20.14б) Вычислим теперь коммутатор '1акЯ, ат (1)] = ] ') (ив(г)чР(Г, г), и,(г')ф~(Г', Ф)]тйхй'= = ~ ] и'к(г)и,(г')Ь(г — г')айат'= = ] и'(г) и,(г) И =бкп (20.15а) (а,(т), а,(г)] = ~а„"(Г), а,'(Г)]=0.
(20.155) Далее, И=катк,аь ] и",,и„ай= У ача„(20.16) М=~М, Ц=а"ьа,. (20.17) Из формулы (20.15) следует, что операторы тчь коммутнруют друг сдругом н ик можно одновременно привести Чисть тП. Введение е теорию иола к диагональному виду [Ме, М,]='1аеае, аттат1=ает'(ае, атт(а,+ -(- ат '(ате, а, '(а„= (аета, — атае) Ь„= О. (20.18) Таким же образом 1аь* Ме(=(аь атеаеЪ=а». (ате, Ме1 = — ает. (20.19а) (20.196) До снх пор мы еще не указали, на что действуютэти операторы амплитуд поля. Они не действуют на обычные функции; мы видели, что они коммутируют с Р(г) и ию Опи действуют на вектор состояния, описывающий всю рассматриваемую квантовомеханическую систему. Из формул (20.!7) и (20.18) следует, что можно выбрать ортонормированную систему таких векторов, что в осуществляемом ими представлении оператор М и все Мь будут диагональны. Типичный такой вектор имеет вид С помощью соотношения (20.19б) получаем Меает ~М„') =(аетМе+ а$) ! М') =(М'+ 1) ает) М„').
(20 21б) Аналогично с помощью (20.19а) Меае ~ Ме) =(Ме — 1) ае ~ Ме) . (20.21в) !М)= ~Мь Ме, ° . Ме, ° .) (20 20) где символ Мь означает, что выражение (20.20) есть собственная функция каждого оператора Мд с собствен:ным значением Ме. Когда это не может привести к недоразумениям, мы будем просто обозначать собственный вектор оператора Мь с собственным значением Ме посредством ~ Ме). Получим теперь для операторов Мь и аь некоторые формальные соотношения. которые облегчат их интерпретацию. По определению, М, ( М,') = М,' ( М„') . (20.21а) Гл.
20. Вторичное кеантоеание нескольких нолей чает»и 253 Равенство (20.216) указывает, что а» т! М») есть собственная функция М» с собственным значением И» + 1. Аналогичным образом, при действии а» на собственную функцию М» с собственным значением М» получается собственная функция М„ с собственным значением М» — 1. Если считать собственные функции нормированными, то а+ ! М,') = с, ! И„' -1- 1), а» ! И,') = с, ! И; — 1). (20.22а) (20.226) Для определения констант составим скалярные произ. ведения ~И»а»!а»И») =!с»!'=(И;!аида„!И;) =(И;!И,!И,) =и„, (20.23а) (И»а~~! а"„И») = /с, !'=(И' /а а+! и')— =(И»!И»+1!И,')=и,'+1.
с, = ~~И' +1. (20.236) Отсюда а„!И~) = УИ,+1!И,'+1), (20.24а) о~!Ю= у И»К 1) ° (20246) Таким образом, собственные значения неотрнцательны. Из формулы (20.246) видно, что если бы существовалп Операторы а» и а» носят соответственно названия операторов рождения и уничтожения. Фазы постоянных величин мы положили равными нулю, так что при повторном действии операторов а выполняются соотношеняя (20.15).
(Впрочем, они выполнялись бы и при более общем выборе фазы.) Покажем теперь, что собственные значения М» суть неотрицательные целые числа И,'=(И»'!М»!И„')=(И»а»!а»М»)=!И»а»!!»)~0. (20.25) Часть Ш. Введение в теорию аолл нецелое собственное значение, то путем повторного действия оператора аи можно было бы получить собственную функцию, принадлежащую отрицательному собственному значению. Но это невозможно. Если же существуют только целые собственные значения, то равенство (20.24б) не приводит к трудностям, ибо повторное действие оператора аи в конце концов приводит к собственной функции с нулевым собственным значением, а аи',0)=0.
Исследуем зависимость )Чь от времени сйгйь=с(стлтпл Н~= ~~ '(атлал, а".а,1 ~ и*йи,с(т= 2 В ат Ь = — — — т '+ *ьт, 2т Эта величина обращается в нуль, если йы=0 при И=й. Таким образом, все операторы М„суть интегралы движения в том, и только в том, случае, когда недиагональные матричные элементы Ь равны нулю, т. е. когда ии с)ть шредингеровские собственные функции оператора Ь. Конечно, И = ~ М„ — всегда интеграл движения, как можно убедиться, суммируя по й вторую строку равенства (20.26). Рассмотрим теперь оператор полной энергии (20.7). Подставляя туда операторы ф н фт из (20.!3), получаем Н= ~„ата ~ и',( — — т7'+У) и с(т.
(20.27) су Если выбрать в качестве и решения одночастичного уравнения Шредингера, то Н= ~М;Ее (20.28а) ! В нашем представлении операторы М; считаются диагональными; отсюда Н= 2',и,'Ю. (20,28б) Гл, 20. Вторичное квантование нескольких полей частиц лйо В этом случае все Жн суть интегралы движения, поскольку оператор Ь диагонален. Для оператора полно~о импульса поля (не смешивать с сопряженным импульсом!) также можно получить весьма эвристичное соотношение типа (20.286). Для этого заметим прежде всего, что плотность энергии (!9.19) есть (00)-компонента ковариантноготензоравторого ранга — тензора энергии-импульса ~-У,~,» с, и» сЬ)и (20.29) (О, й)-компоненты этого тензора (й=х, у, «) представляют собой плотность импульса, а пространственный интеграл от них есть импульс поля Р= ~ — чрььезх= — ) ч%~с(зх (20.30а) дтг Р= — ео ~ ф~7фФх =~~ аеа,( — ео) ~ и"Юи,е(ах = И = ) а1а, ) иври,с!ех.
(20.306) Здесь р= — то7 есть одночастичный оператор импульса. Если выбрать в качестве величин и собственные функции одночастичного оператора импульса (а не оператора энергии), то оператор полного импульса поля Р= ~Лавре. (20.31) При у=О функции и могут быть одновременно собственными функциями операторов энергии и импульса. Теперь мы уже в состоянии построить гильбертово пространство, в котором действуют операторы поля, и дать физическую интерпретацию наших формальных результатов. Образуем систему базисных векторов, диа» гонализующих все операторы Жн и й(, следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
