1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 17
Текст из файла (страница 17)
и Ма.. Мс=Е, Š— 1, ...,Š— и,..., Š— 2и, Ма= Š— 2п, Š— 2и+1, ..., Š— и, ..., Е. (8.38) Для случаев, когда МьФМз, мы можем образовать симметричную и антисимметричную комбинации собственных функций ((Мс М вЂ” Мс)+(М Мс Мс)) (839) 2 тогда как при Мь=Š— л можно образовать только симметричную функцию ~Š— и, Š— а). Следовательно, имеются (и+1) симметричных и а антисимметричных собственных функций.
С другой стороны, если М=2Š— 2п+1, то должно быть и симметричных н п антисимметричных собственных функций, так как нет состоиния, для которого Мь — — Ма. Действуя понижающим оператором Е +5 на антисимметричные функции при М=2Š— 2п+1, мы получаем л линейно независимых антиснмметричных функций, соответствующих М=2Š— 2л. Это исчерпывает все возможные антисимметричные собственные функции. Производя ту же операцию с симметричными функциями, мы получаем л симметричных линейных комбинаций типа (8.39).
Однако мы знаем, что при М=2Š— 2л фактически суще- Гл. В. Теория мультинлетое. Сложение моментое ттб ствуют (и+1) симметричных функций, так что одна из них при этом упущена. Эта функция должна принадлежать значению /=21. — 2п, откуда следует, что собственная функция, принадлежащая У=21.— 2л, должна быть симметрична. И наоборот, при переходе от М=21.
— 2п к 2Х. — 2п — 1 добавляется одна антисимметричная собственная функция, откуда следует, что собственная функция, принадлежащая Х=21. — 2п — 1, антисимметрична. Все состояния с Х=2Х., 21. — 2, ..., 0 (или 1, если Х. — полуцелое) характеризуются собственными функциями, симметричными по Е и Я, все состоя ния с /=21.— 1, 21.— 3, ..., 1 (или 0) — антисимметричными собственными функциями.
Это правило можно использовать, например, при вычислении изотопических спиноз двух и-мезонов. Изотопический спин одного и-мезона равен единице. Следовательно, собственные функции, соответствующие значениям полного нзотопического спина 1=2 н О, симметричны относительно изотопических спиновых координат двух п-мезонов, а собственная функция с 1=-! антнсимметрнчна. Сложение моментов дли энвивалентнтл электронов Рассмотрим задачу о вычислении возможных значений суммарного момента количества движения для нескольких эквивалентных электронов (т.
е. электронов в состояниях с одинаковыми числами л и 1). При этом необходим учет принципа Паули, ограничивающего число допустимых комбинаций, В табл. 14 показано, как складываются орбитальный и спиновый моменты для двух эквивалентных электронов. Орбитальные моменты составляют 1т=1»=1.
Их компоненты тп и тв выписаны в 1-м и 3-м столбцах. Спин каждого электрона равен '/т. Компоненты спина т,т и тм выписаны во 2-м и 4-и столбцах; знак «+» означает +'/т, знак « — » означает — '/,. Значения Мс=ти+тщ Мз=т,т+та выписаны в 5-м и 6-м столбцах. В 7-м и 8-м столбцах приводятся возможные значения полного орбитального и спинового моментов, которые могут быть получены для линейных комбинаций собственных функций с данными Мь, Мв. 11б Часть 1. Теория строения атома м 1 мгг чг О 21 ! — 1 21 — ! 21 — ! 21 21 — ! 1 — 1 1 — ! 1 — ! 1 — 1 21 — ! 21 — ! 21 — ! 21 — ! ! — ! 1 — 2 1 — 2 1 — 2 1 — 2 1 — ! 21 — 2 21 — 2 21 — 2 21 — 2 21 — 2 21 — ! 21 — ! 21 — ! 21 21 — 2 1 — 1 Числа в !-м — 4-м столбцах табл.
!4 определяются с помощью принципа Паули и условия тождественности электронов. Так, согласно принципу Паули, при тгт=тп=! значения пг,! и пг„должны быть различны. При этом не имеет значения, положим ли мы пг„=+, тпп= — или наоборот. С другой стороны, при тгг=4, тгг=! — 1 возможен случай гпм — — пг,г. Если же пг,1Фпг„, то теперь уже существенно, будет ли пг„=+, пг,я=в нли наоборот; состояния ! и 2 различны, ибо характеризуются разными значениями то Числа в 7-м и 8-м столбцах табл. 14 определяются с помощью следующих рассуждений.
В первой строчке число Е, очевидно, равно 24, поскольку Мс — — 28 В принципе 5 может быть равно ! или О. В нашем случае, Квантовые числа и! опущены, так как они всюду одни и те же. Каждая функция, принадлежащая квантовым ЧИСЛаМ Пт, П;, 1т, !г! тъ тгг', Эь гг', т.ь Пг,г (Пг=П,=П, 1г — !г — ! зт — зг — /г), представляет собой детерминант Слэтера, составленный из одноэлектрониых функций, зависящих от пространственных и спиновых координат. Таблица 14 сложение моментов количества движения для двкх эквивалентных электронов Гл.
8. Теория мультиалетов. Словееиие момеитов !П однако, 5 не может быть равно 1, ибо тогда понижающий оператор 5 производил бы три разрешенных состояния: М,=+1, О, — 1, а мы можем получить только одно. Следовательно, 5=0. В следующем ряду имеются четыре возможности с тп=1, тип=1 — 1 и различными значениями тт41 и тп,ь Первая и вторая строчки соответствуют значению 5=1, так как Мв=-+1, Поскольку можно составлять только линейные комбинации собственных функций с данными значениями Мь и Мж из этих двух функций никаких линейных комбинаций образовать нельзя.
Следовательно, каждая из них в отдельности есть собственная функция операторов Ь и 5 с соответствующими собственными значениями. Состояния в следующих двух строчках имеют одинаковые значения Мь и Мж и линейные комбинации соответствующих собственных функций допустимы. Одна линейная комбинация соответствует 1=21, 5 О, другая— Е=21 — 1, 5=1. Следующий ряд, для которого Мь —— =21 — 2, содержит пять собственных функций. Некоторые линейные комбинации их должны соответствовать значениям Е=21 — 1, 5=1. Непосредственно видно, что в первых двух строчках стоят собственные функции операторов Е и 5.с указанными там же собственными значениями.
Из остальных трех собственных функций можно составлять линейные комбинации, поскольку они принадлежат одинаковым значениям Мь и Мв. Одна нз линейных комбинаций соответствует 1=21 — 1, 5=1; другая 1=21, 5=0. Третья функция должна принадлежать значению Е, отличному от предыдущих; очевидно, оно равно 1.=21 — 2 Поскольку имеется только одно та кое состоя н ие, 5 = О. Значения Е и 5 определялись выше путем перечисления состояний с данными значениями Мь и Мв.
Другой метод основан на соображениях симметрии. Полная волновая функция должна быть антисимметрична относительно перестановки электронов. Следовательно, в 11тп1этмв~тпмгттп,э-представлении волновая функция есть детерминант Слэтера Йле (г1) Йьи (ге) 3'тмп (()1) )еттв (Ие) Х, (1) Хе (2)— — Йм (гв) Й ~ (гт) )'ь и (ьто) т ем те Р) Х~ (2) Хв (1). (8.40) тта Часть 1. Теория строения атома Здесь Р„1 — радиальная волновая функция электрона; 1',мп — сферическая гармоника, де — спиновая функция 1-го электрона.
В 1.МгЯМа-представлении волновая функция (ьМьЯМа) представляет собой линейную комбинацию ЧЛЕНОВ ВИда (8.40), В КОтОрЫХ т11+Л212=МЫ Пге1+та г'= =Ма. Мы видим, что произведение радиальных функций Ра1(т1)Р 1(тг) входит общим множителем во все члены функции (ЕМьЗМа) Поскольку оно симметрично, остальная часть волновой функции, зависящая от углов и спинов, должна быть антисимметричной. Если она представляет собой произведение двух множителей, один из которых зависит только от углов, а другой— только от спиноз, то эти множители должны иметь противоположную симметрию по отношению к перестановке электронов.
Такая факторизация происходит при Ма —— ! и Ма= — 1, так как при этом соответственно выполнены равенства х1=а, Ха=ос илн т1 — — р, та= р, и произведения атаг или ргрг можно вынести как общие множители. При Ма=О возможно как равенства тг=сс, тг— - 8, так и Х1=Р, тг=а. В этом случае часть волновой функции )1'Мг5Ма), зависЯщУю от Углов и спинов, можно записать в виде Т(м„22)атрг+гт(2„(сг) ргаг. (8.41) Здесь 1 и д представляют собой суммы произведений сферических гармоник. Поскольку выражение (8А1) есть собственная функция операторов 2.2 и Мг, каждая из функций 1 и д также должна быть их собственной функцией.
Выше было показано, однако, что для 1.=1+! пространственные собственные функции, а следовательно, и функции 1 и д, должны быть симметричны илн антиснмметричны в зависимости от величины й. Функция (8.41) ангисимметрична, следовательно, 1(а„~г) ай+к Ф„1)2) Х1.. = = — 1(11 11) А — й(- "11)р +(1(м! мг) 2Р!+ К(ье!, ьсг) а1Р2), откуда (8.42) Г,и 8. Теория яультиалетов. Сложение лояентов П9 Поэтому выражение (8.41) всегда можно записать в виде 1(12 ~г)( А+1г г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
