1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(8.15) меме мама " Это означает, что матрица гамильтониана Н распадается на субматрицы, связывающие только состояния с одинаковыми значениями Е, Ме, 5, Мв, так как все эти операторы суть интегралы движения. Сложение моментов Теперь мы должны построить собственные функции операторов Еа, Е„ 5', 5,. Будем составлять их из произведений одночастичных собственных функций опера- а торов Еь Еоо Я и Яо. Пусть, например, мы имеем две частицы, не облада!ощие олином, с моментами количества движения, равными соответственно 1~ н 1а, и а-компонентами моментов тп н гло (мы опускаем множитель Ь). Произведение !1ттпп) (сато) = !11тп1етпп) является собственной функцией оператора Е„принадлежащей собственному значению Ме,=тип + тпм Оператор Е' при этом, вообще говоря, не днагонален.
Однако из мультипликативных собственных функций, принадлежащих собственному значению Ме, можно составить и такие линейные комбинации, в которых матрица Еа диз- Гл. З. Теория милыиялетов. Сложение моментов 107 гоиализуется. Чтобы это проиллюстрировать, в первых трех столбцах табл. 13 выписаны значения теь т~е и Мс для нескольких значений Ме. Таблица 13 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ и !е 1, +1е 1~ +1е 1,— 1 1, 1е 1е — 1 1~+1е 1, +1е — 1 1~ +1е — 2 ! 1~+1е — 2 1~+ 1е — 2 !е 12 1е — 2 1,+1, 1, +1е — ! 1,+1,— 2 Мы приходим к следующим выводам. Поскольку при Ми=1~ + 1е существует только одна возможная комбинация, она и должна быть собственной функцией оператора ье; при этом собственное значение последнего должно быть равно 1.(1.
+ 1), где 1.=11 + 1е. Далее, наличие двух различных состояний с МС=1е+1я — ! приводит к секулярному уравнению для диагонализации матрицы 1.', собственные значения ее при этом, конечно, равны Ь(7.+ 1), где 7. равно 1е+1е или 1~+1е — 1, Аналогичным образом, для Ми=1~+1е — 2 одна линейная комбинация мультипликативных волновых функций дает 1. = 1, + 1е, другая 1. = 1,+ 1е — ! и третья 7.=1е+1я — 2. В 4-и столбце табл. !3 выписаны значения 1., которые получаются для линейных комбинаций.
Если считать 1~ )~ 1е, то табл. !3 можно продолжить до Мс — — 1~ — 1е. Для этого значения Ме, величина еноте будет принимать все значения от — 1е до 1е, при этом тп = Мс — етое. Это приводит к секулярному уравнению порядка (21е+!); ему соответствуют все значения 1. от (1ь + 1г) до (1е — 1е). Далее должен был бея следовать случай, когда Ме = 11 — 1е — !е ив Часть !. Теория строения атома где тт, — — 1ь — 1, ..., 1ь — 21а — 1, шм= 12 +12.
Поскольку ! ьпье! ( 1ь других значений осы уже нет„и мы опять приходим к секулярному уравнению порядка (21е + !). Новых значений 1. при этом уже не получится. Это значит, что все линейные комбинации функций, указанных в формуле (8.!6), необходимы для определения уже известных нам значений Е.
Дальнейшее уменьшение Мь до величины — 1ь — 1я уже не приводит к новым значениям 1.. Таким образом, возможные значения Е равны А=1,+1,, 1, +1 — (, . „!1,— 1,!, (8.)7) где знак модуля предусматривает возможность неравенства 1е ) 1ь Равенство (8.!7) есть результат векторного сложения моментов, известный из старой квантовой теории.
Чтобы сложить три момента, сложим сначала два из них, а затем добавим третий к их сумме. Спиновый момент ведет себя совершенно аналогично, и, следовательно, таким же способом можно складывать спиновый момент с орбитальным. Коэ44вцвеиты Клебша — Гордана Построим теперь формальную теорию сложения моментов и укажем метод определения собственных значений операторов Е' и 1, Запишем собственную функцию !1., М) в виде разложения !У., М) = Х С(1ьтп1зтьп, У.М)(Ьпп, 1етп), (8.(8) "'ть'"и Это есть не что иное, как преобразование, связывающее собственные векторы операторов (.е и 1., с собствен вы и н векторами операторов Ц , 7.~„ Ц и 1.ет.
Суммирование производится только по индексам оьп и тп, так как предпол агаегся, что значения 1, и 1е фиксированы, Задача о сложении моментов сводится к определению элементов матрицы перехода, называемых коэффициеи- Гм а Теория мультинлетов, Сложение моментов !09 тами Клебша — Горлана (их называют также коэффи. циентами векторного сложения или коэффициентами Вигнера).
Задача существенно упрощается, если применить к обеим частям равенства (8.!8) оператор проекции полного момента Е, = Е„ + Ем и вспомнить, что Е, ! Е, М) = М ! Е, М). Тогда (Е„+ Еее) ! 1,тп, 1етп) =(то+та) | 1~тп, 1ета). (8.19) Отсюда следует, что коэффициенты С Дто(етиь ЕМ) отличны от нуля только при М = тп + тм и суммирование в формуле (8.18) фактически производится либо по тп, либо по ти.
Существуют три метода вычисления коэффициентов Клебша — Гордана (если не считать возможности взять их из таблиц), Первый — это метод последовательного спуска. Начнем с Е = 1~ + 1м М=Е. В этом случае, как мы знаем, сумма содержит только один член (Е, М) =!6+1м 1~+ 1е) = !1ьтп, 1ети>= )Иь 1е1е). (8.20) Подействовав на функцию (8.20) оператором Е =Е~ +Ее, мы получим Е (Е, М)=У'(Е+М)(Е М+!) ~Е, М !) и)( ~ л+ ) !1~та ! 1етм)+ + ~ 1~то 1ета — 1) Отсюда У1~,-(-1,(Е, М вЂ” !>=),'1,~1,1,— 1, 1,1>+)/Ц11„1,1, 1>, или !Е, М вЂ” !>=УГ 1' )1А — 1, 11)+ +~' 1 1(1 (1А> 1е(е — 1)— = ~1~+1е 1~+1е — 1) (821) ге 1+ е Есть еще одна собственная функция, принадлежащая собственному значению М = 1~+ 1в — 1,-- она соответствует ууо Часть д Теория строения атома Е=(ь+1е — 1.
Поскольку она должна быть ортогональна к функции (8.21), мы имеем !Уч+ (2 1 11+(2 1) Теперь можно подействовать на обе части равенств (8.21) и (8.22) понижаютцими операторами и получить новые линейные комбинации для М=1,+1е — 2 и т. д. Второй метод принадлежит Рака, который получил замкнутую формулу С(У,М~5М~, УМ)= =( — 1) + Ьт2У+1)У(У., 5, У; М, М, — М), (8.23) где Ъ'(а, Ь, с; и. р у) =- ! Ь с)! (о — Ь+ с) (( — а+ Ь+ с) ! (а+ Ь+ с+ !) ! + „) ! (а „) ! (Ь р) 1(Ь и) ! (с+ у) ! (с — у) ! Х ° ( 1)с-т ~ч'( 1)'(з1(а+Ь вЂ” с — а)1(а — "— в)! Х г Х (Ь + р т) ! ( Ь + с + а — ! — а) ! ( — а + с — й + ) !1 (8.24) Здесь г пробегает все целочисленные значения до тех пор, пока аргументы всех факториалев остаются неотри- цательными. (Мы ввели здесь новые обозначения: (,-ь У., ип — ьМс, 12-8, иье- Ме, Е-+.I, М вЂ” ь М.) В частном случае У=АЙ+5 формулы (8.23) и (8.24) при- нимают вид С(У.М,ЗМ,, У.+8 М,+М,)= ь Г (2У.) ! (25)! / (У+ М)! (2У)! )т (Ь+ М,)! (5+ М,)! (У вЂ” М) ! Х 1ус у — м ) ( — м )! ' Гл.
а Теория мулетиялетов. Сложение моментов г!! Третий метод вычисления коэффициентов Клебша— Ггрдана — это метод проекционного оператора. Определим проекционный оператор равенством 1 (1-+ 8)'. — ! (! + 1) 1 Произведение содержит здесь все значения Уе (которые могут получиться от сложения У, и 5), кроме того, для которого мы ищем коэффициент. Равенство (8.18) можно обратить, полагая (ЕМ, 5М~) = ~ У1(ЛИ, УМ 5М~)~А М). (8.27) лм Огваничение М = Мь+ Ме, как и прежде, приводит к тому, что суммирование фактически производится только по одному индексу У. Действуя на обе части равенства (8.27) проекционным оператором Р»р, мы обратим в нуль все члены ряда, кроме У = У», Таким образом, получаем Р„(УМы 5Мз) =У!(У»М, УМ,5М8)1.I„М). (8.28) Вследствие унитарности преобразования У! (У»М' АМ»5Мз) = С" (У М»5!Из 'УМ)' (8'2оо) Подставляя соотношения (8.18) и (8.29) в формулу (8.28), находим Р» 1УМы 5Мз) = (С(УМа5Мз, .У»М))е) УМы 5Ме)+ + С" (УМе5Мз, У»М) ~е С(УМ»5М8 .У»М)(УМе 5Мз).
и' т»м (8.30) Таким образом, действуя проекционным оператором Р» на функцию 1У.Мы 5Ма), мы получаем ряд, среди членов которого содержится и (У.Мы 5Мв). Разделив этот ряд на квадратный корень из коэффициента при 1, У.Мс,5Мз), мы немедленно получим разложение для l», М) с должными коэффициентами Клебша — Гордана. Часть д теория строения атома Полезную рекуррентную формулу можно получить, действуя на равенство (8.18) оператором / или /+. 1/(У вЂ”,. М)(У+М+1) С(/,М,5М,, ЛИ+1) = = 1/(~+М,)(/.+М, +1) С(/М,~15М„ЛИ)+ + С(ХМс5Мз+ 1, /М).
(8.31) Ясно, что в коэффициенты Клебшг — Горлана входит произвольный (одинаковый для них всех) фазовый множитель. Принято считать коэффициент С(Е/5/ — /., УУ) вещественным и положительным. Тогда и все коэффициенты должны быть вешественными. Поскольку преобразование (8.18) унитарно, выполняются обычные соотношения ортогональности ~ С(ЕМс5Мз,,/М) С'(ЕМс5Мя, УМ') = Ьтти4хт т Мт (8.32) ~С(/,Мс5М„.~~) С (/.М,5М,, УМ) =б с с 3 3 Заметим, что числа собственных функций в УМ- и /.Мс5Мз-представлениях должны быть одинаковы. Действительно, в /.Мс5Мз-представлении существует (21.+1) возможных значений Мс и (25+1) возможных значений Мз, что дает (28+1) (25+!) собственчых функций. В УМ-представлении имеется (2/ + 1) состояний для каждой величины /, принимаюшей все значения от /. + 5 до 1Š— 5~. Следовательно, полное число состояний составляет У~ (2./+1)=(21+1)(25+1).
~с-з~ Частные случаи Рассмотрим теперь несколько частных случаев. Вычислим прежде всего полный момент количества движения 1=1.+8 для фермиоиов со спином 5='/т. При этом Иеличина У может быть равна либо Е+'/т, либо Š— '/я Гл. 8. Теория мультинлетов. Сложение моментов 118 и справедливы формулы 1- Е+ /2 ~ 1 1 2' т У 2Е+1 ( 2' 2 2У + )тУ + ' ~ ЕМ+ —, — — — У', (8.34) Докажем равенство (8.33) по индукции.
Заметим, что оно выполняется прн М=Е+'Уь Затем подействуем на обе части равенства (8.33) оператором У и поделим результат на )У(Е+'У,+М)(Е+'Ут — М). Прн этом получается равенство того же вида, что и (8.33), но с М вЂ” 1 вместо М. Чтобы доказать равенство (8.34), достаточно заметить, что функции ~Š— 'Ут, М) н )Е+'/т, М) ортонормированы. Поскольку пространство этих функций двумерно, равенство (8.34) должно быть справедливо.
Рассмотрим далее сложение двух моментов, одинаковых по величине; Е=Я. Тогда величина У может быть равна 2Е, 2Š— 1, ..., О. Волновая функция, принадлежашая максимальному значению М=2Е (это соответствует У=2Е и Ме=Мв-Е), должна даваться формулой ~2Е, 2Е) = )Е, Е).
(8.35) (Мы сокрашенно записываем '~ ЕМе, ЗМв) как (Ме, Мз).) Очевидно, равенство (8.35) симметрично относительно двух моментов. В частном случае двух эквивалентных электронов волновая функция будет симметрична относительно нх пространственных координат. Поскольку У вЂ” симметричный оператор (У =Е +5 ), функция У (2Е,2Е) также оказывается симметричной. Следовательно, все собственные функции с У=2Е симметричны относительно двух моментов. При М=2Š— 1 имеются две возможносткс МЕ=Е, Мв=Š— 1 илн Мо — — У. — 1, Мв=.Е. Из соответствующих собственных функций мы образуем линейные комбинации, приводяшие к У=2Е 8. Г втт« 444 Чисть Е Теория строения атома и 4=2Š— 1.
Единственная нормированная симметричная функция, которую можно таким путем построигьь имеет вид =((Š— 1, Е)+! Е, Š— 1)). Она должна соответствовать значению У=2Е. Функция =(! Š— 1, Е) — )ńŠ— 1)), (8.37) У2 нормированная и ортогональная к выражению (8.3б), соответствует значению 4=2Š— 1. С помощью прежнего рассуждения мы заключаем, что все собственные функции с 4=2Š— ! антисимметричны. Для меньших значений М рассуждение протекает аналогично. Если М 2Š— 2п, где л — целое число, то возможны следующие пары Мг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
