1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Будем считать, что потенциал достаточно слабо меняется с расстоянием г, так что к системе можно применять статистику Ферми — Дирака для свободных частиц. Допустим далее, что взаимодействие между электронами достаточно для установления статистического равновесия, но в то же время настолько мало, что можно говорить о кинетической и потенциальной энергии каждого отдельного электрона. Пусть, иа- Гл. 7. Статистическая модель Томаса — Ферми 87 конец, Вгп (т(т) О.
Функция распределения имеет вид т+сь 1 <н-ысег +1 " (7.1) где т.— химический потенциал. Если положить 7=О, то (1, Е<ь, ~ О, Е)~. (7.2) ( )+ 2от рр (т) (7.3) где р„(т) — максимальный импульс электронов (так называемый импульс Ферми). Он должен зависеть от г, чтобы химический потенциал ь был постоянен.
Легко получить выражение, связывающее ря с р. Для этой цели вычислим число квантовых состояний поступательного движения полностью свободного электрона, которым отвечают абсолютные значения импульса в интервале от р до р+ с(р. Пусть электрон движется в ящике объемом ь) в отсутствие каких-либо снл. Искомое число квантовых состояний равно (см. (1]) 2 —, 4пй' сИ О (7.4) где ом=-р, а множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина электрона.
Интегрируя выражение (7.4) от О до йе и приравнивая результат полному числу электронов Ж, получаем Н 4я ь 2 —, — яр= М, (йп)' Следовательно, при абсолютном нуле Ь совпадает с наибольшей энергией электронов. В силу принципа Паули. электроны заполняют все состояния, начиная с основного вплоть до состояний с энергией ь. Ясно, что ь не может зависеть от т. В противном случае электроны переходили бы в области пространства с наименьшими ь, поскольку это уменьшало бы полную энергию системы, н этот процесс продолжался бы, пока значения ь не выровнялись бы. Очевидно, 88 «Таста Д Теория строения атома Уравнение Пуассона связывает электростатический потенциал — (!/е) У с плотностью заряда — ер.
Легко привести это уравнение к виду РаУ, = — 4пеер. (7.8) Подставляя сюда выражение (7.7), получаем нт«(ТУ1) зидь ( тп) ( Ут) ° (7.9) При т-ь.0 главным членом в У должна быть кулоновская потенциальная энергия электрона в поле ядра — Яе'/г. Поэтому решение уравнения (7.9) должно удовлетворять граничному условию Нгп (ТУ,) = — Еат. (7.10) «то Произведем замену переменных г=хЬ, ТУ, = — х,о'Ф, (з.') ь*,,' ', (711) Ь= ч =0,385, Ь вЂ” Е н =0,885аоит '", 2 а о«е« где по= Ьт/ото' — первый боровский радиус.
Следовательно, уравнение, которое надо решить, имеет вид «Рсв Ф а (7.12) «гх«)т х а граничное условие есть Ф(0) 1, Предположим теперь, что внутри исходного большого объема йо можно выделить ящик объемом ь), достаточно большой, чтобы выполнялось равенство (7.5), н в то же время достаточно малый, чтобы внутри него потенциальная энергия менялась не слишком сильно.
Тогда можно считать, что соотношения (7.5) и (7.3) выполняются одновременно. Произведем теперь калибровочное преобразование потенциальной энергии У вЂ” ~-+ У,. (7,6) Тогда из формул (7.3) и (7.5) следует, что р= — — ( — У) '. 1 (2та) ' «ь (7.7) Гх 7, Стотистическоя модель Томаса — Ферми ве реасенан ураененан Томаса — Ферма Уравнение (7.12) есть нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, Важно отметить, что оно не зависит от с.
Очевидно, мы получим целое семейство решений, ибо пока задано только одно граничное условие, Различные решения можно характеризовать значением первой производной в нуле, которое может выбираться произвольно. В работе [17) было выполнено численное интегрирование при различных значениях первой производной в нуле. Оказалось, что решение можно представить в виде полусходяшегося ряда Ф=1 — атх+аьх'ь+алх + ..., (7.13) где 4 а,= —, а,=О. 3' Легко видеть, что все кривые, соответствующие решениям уравнения (7.12), вблизи нуля вогнуты (так как с(еФ/Ихх>0). Следовательно, если некоторое решение нигде не обращается в нуль, то его график остается вогнутым и оно будет либо расходиться прн больших значениях х, либо асимптотически стремиться к осн х.
Если решение обращается в нуль в конечной точке х=х,, то дифференциальное уравнение перестает быть справедливым. Действительно, физически ясно, что уравнение (7.12) может годиться только для положительных значений Ф, для отрицательных Ф электронная плотность должна быть нулем, так как нет занятых состояний с Е>Ь (см. (7.2), а также (7.7)1. Поэтому корректное дифференциальное уравнение для отрицательных Ф имеет вид ЯФ/с(хе=0(Ф<0). Решением его будетФ=А(х — хь), где А — константа, которая в силу непрерывности равна Ф'(хь).
Таким образом, решение полностью определено, если оно известно для Ф>0, и мы ограничимся только этой областью значений. Поведение различных решений представлено на фиг. 3. Для нейтральных свободных атомов (т. е. атомов, не подвергающихся внешнему давлению) легко указать второе граничное условие и, следовательно, найти единственное решение.
Действительно, иа поверхности свободного атома (или иона) должно быть )т=ь, т. е, р=0. Часть й 1еория строения атома Для нейтральных атомов (с=О на поверхности, и в результате ь всюду равно нулю Поэтому для атома мы имеет 1пп г(тт=О. Отсюда ясно, что в случае нейтраль- т+ а ного атома второе граничное условие запишется в виде ИшФ=О.
(7.14) Атому соответствует решение, асимптотически стремяшееся к оси х. Численное интегрирование дает для первой производной в этом случае значение Ф'(О) = — па= =1,58875. Функция Ф исчезает только на бесконечности, ср 'Р и е. 3. К решению уравнения (7Л2).
поэтому в модели Томаса — Ферми нейтральный атом не имеет границы. Как было показано Зоммерфельдом, функция 144х-', которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, но не граничному условию в нуле, правильно передает асимптотический вид точного решения для атома. В случае иона можно получить граничное условие на его поверхности. Пусть этой сферической поверхности отвечает радиус го. Тогда обшее число электронов Ат дается выражением Г тт к, 4л ~ рг'г(г= — —, ~ т — е(г(Гт)т(г= 2 ~ хФио'х=М, о о о (Ф'х — Ф) 1"' = —, (7.15) г — ту Ф(ха) хеФ'(ха) = х = г где а — заряд иона, Гя. 7.
Статистическая модело томаса — Ферми рт' Для свободного иона р О при с=то, откуда выте- кает, что Ф(х ) =О, l хоФ (хо) = — —, 2' (7.16) Следовательно, решения уравнения (7.12), которые обрашаются в нуль при конечных значениях х=хо, соответствуют ионам радиуса то. Так как наклон Ф в точке хо должен быть отрицательным (см.
фиг. 3), из равенств (7.!6) следует, что теория не описывает свободные отрицательные ионы. В случае нейтральных атомов условия (7.16) дают Ф (хо) = Ф' (хо) = О. Отсюда видно, что не существует решения с конечным радиусом хо. Однако для асимптотического решения Зом. мерфельда Ф=144х-з н в пределе при х- оо как Ф, так и хФ' обращаются в нуль. Если атом находится под давлением '), то плотность р(хо) более не равна нулю. Решения, которые не обрашаются в нуль при конечных значениях х, соответствуют этому случаю. Уравнение (7.15) определяет значение хо и, следовательно, радиус таких систем.
Поскольку атомы нейтральны, Ф ( хо ) Ф (хо) хо (7.17) Применения Все атомы в модели Томаса — Ферми имеют одинаковое распределение электронов, исключая различие в масштабе длины н в полном числе электронов. Формулы ') Задача о системе многих ионов, находящихся под давленнем, прнводнт н некоторым физическим трудностям вследствие больших накапливающаяся кулоновскнх снл. что определяет точку хо, в которой касательная к функции Ф проходит через начало координат. Для х>хо дифференпиальное уравнение (7.12) не имеет физического смысла.
Часть д Теория строения атома 1,96 2,04 2,12 2,20 3,0 0,972 0,973 0,607 0,968 0,329 Для выполнения неравенства (7,19) необходимо, чтобы 0,885а. ' Мах (2лФ) > (1+ — ), 0,851Е'3 > (1+ ф', Е > 0,157(21+1)а. (7.20) (7.1! ) показывают, что масштаб длины для любого атома пропорционален а-'ь. Таким образом, полный радиус атома уменьшается как а-чч С другой стороны, можно показать, что радиус сферы, содержащий все электроны, кроме одного, приближенно пропорциона- лен я'ь.
Ферми воспользовался изложенным методом для решения интересной задачи о том, прн какой величине заряда ядра а впервые появляется состояние с данным моментом количества движения. Рассмотрим приведен- ное уравнение для радиальной функции сРя 2га — „,, + — (Š— )г,) й'=0, ат (1+ Чт)е (7.18) 1' = (г(г)+ 2 (Мы воспользовались здесь обычной в квазиклассиче- ском методе заменой 1(1+1) на (1+'/а)т) Связанные состояния существуют, лишь если Š— )т„>0 в некото- рой области значений г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
