1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поскольку Е<0, это означает, что должны выполняться условия — 2га )Г(Г)Гт > (1+ ~1)т — ЕгФ = 0,885Я а2хФ > (1+ — ) для некоторой области г. Из таблиц работы (17) явствует, что функция 2хФ имеет пологий максимум: Г*. 7. Статистическая модель Томаса — Ферми 93 Эта формула определяет величину заряда ядра Я, начиная с которой электрон с данным моментом количества движения 1 оказывается связанным. По-видимому, знак «больше» в неравенстве (7.20) можно заменить на «равно», если несколько увеличить коэффициент. Приняв его равным 0,17 вместо 0,157, т.
е. положив г = 0,17 (21+ 1)в, (7.21) мы получим 4,6 21 25 53,3 123,9 Округляя до ближайшего целого числа, будем иметь б, 21, 58, 124. Сравнивая с опытом, видим, что первые три значения правильны. Согласно последнему результату, 3-электроны могут появиться только у !24-го элемента. Это па шесть номеров дальше предсказываемого теоретически инертного газа с зарядом ядра 7=118; для наиболее тяжелого элемента, открытого к настоящему времени, 2=103').
Выше было показано„что функция )ггв имеет очень пологий максимум. Можно ожидать поэтому, что для наибольшего значения 1, которое еще может соответствовать связзнному состоянию в данном атоме, потенциал Р(г) будет почти точно компенсирован центробежной энергией В таких условиях небольшое изменение в величине заряда ядра Л привело бы к большому изменению волновой функции. Именно этот эффект и был обнаружен Хартри для й-электронов (см. сгр. 78). Поиравка на обменное взаимодействие. Уравнение Томаса — Ферми — Дирака Уравнение Томаса — Ферми (7.12) не учитываетобменного взаимодействия. Учет последнего был произведен ') К моменту, когда готовился перевод этой книги, выл открыт элемент с атомным номером 3=104.— Прим, перев, Часть Ь Теория стросиия атома Дираком 118].
Ладим здесь простой вывод этой по. правки. Как мы знаем, в методе Хартрн — Фока обменный член имеет внд ~ У(г„г,) и, (га) с(тго (6,30) (7(го г,)=— г„ р (го гг) = Ж и) (г,) и) (г,). В духе метода Томаса — Ферми будем считать электроны свободными (потенциальная энергия постоянна). Таким образом, полагаем и,(г,)=я ье'"т".
(7.22) Тогда р(г„г,)=11 '~е'"l (" ') = т — и1Е ' Сс/г= 1 нс.ти з (2и)з (г„=г,— г,), яр Чи г в[п йг,~ (2и)' ) аг„ о 1 1 = — — (з(п йргм — Арго соз Иргм). (7.23) 2иа га м Напомним, что для (-го электрона У,эе(г,) = — ) е ' — сйа. (6.34) я р(ть т2) ис(тс) го ис (т,) Следовательно, Уяеч(г,)= — еа ) Р~ '" е'""с1с(т,, (7.25) го Тем самым подтверждается формула (6.55). Очевидно, р(0, 0) =,—,= —,р.
(7.24) Тл. Т. Статистическая модель Томаса — Ферма 95 ))ычисление этого интеграла дает (3) тз 'а (~,фф (г,) = — 2 1-„р~ егР (г)) = 2 = — — „а'йгР (э)) (7.26) где лс г1 = — ь Р(ч) = — + 1п —, 1 1 — Чэ 1+Ч 2 4ч 1 — ч' (7.27) ~(0) =1, Р(1) ='тэ, при изменении т1 от нуля до единицы г монотонно уменьшается от 1 до '/з. Формула (7.26) определяет эффективный обменный потенциал для с-го электрона. Усредним ее по всем элек- тронам «к тт ~эь о ()т эфф)ср (7.28) Подставляя сюда значение )тэфф из формулы (7.26), находим яр га '„ [ — етая)э) ~ дэГь; ~ (р(гь гэ)/т,э! е ь эь сГтэ о (1' эфф)ср ьэ /аиэ яг 2 еэ г ти.т г р(гь г,) о Это выражение можно рассматривать как электростатическую собственную энергию «дырки» в распределении Часть и Теория строения атома заряда Р(го ге).
Подставляя выражение для р (гь гг) из формулы (7.23), можно вычислить интеграл явно пег еаа)'г 2я Теперь надо найти связь между электростатической потенциальной энергией )т и плотностью р, Наиболее простое соображение состоит в том, что максимальная энергия электрона дается теперь вместо (7.3) формулой г У(г) — — егй Е(Ц+-Р— =ь. (7,31) Здесь к потенциалу У(г) прибавлена эффективная обменная потенциальная энергия К,ее.
Эта энергия зависит от импульса в соответствии с (7.26). В рассматриваемом случае электрона с максимальной энергией параметр т)=1 и )о(1) ='/г, согласно формуле (727) Результат (7.31) совпадает с полученной ниже формулой (7.34) . Для разнообразия получим равенство (7.31) другим способом. Рассмотрим для этого полную энергию системы электронов, проварьируем ее как функцию плотности Р и получим искомую связь из условия стационар.
ности Е. Такой подход предложен Ленцем (19). То же самое можно было бы сделать и при выводе уравнения Томаса — Ферми. Полная энергия есть сумма кинетической Ее н потенциальной Е„ энергий. Полную кинетическую энергию электронов можно найти, умножая число состояний (7.4) на агйг/2сн и интегрируя результат по всем импульсам от О до йе и по всему объему системы. Таким путем легко находим Е„= ~ с(т (з 2" ( — Р) Р~ (7.32) Потенциальная энергия равна Ер= ) ~( )Р+(2 ) сссг Р(гг))Р 4 а ~ ) Р~ сгт (7.33) т"л. 7. Стог»сто»секо» модель Томоса — Ферми 97 Первый член здесь обусловлен взаимодействием электронов с зарядом ядра, второй — электрон-электронным взаимодействием.
Множитель ')г введен, чтобы не учитывать дважды каждую пару электронов Третий член есть обменная энергия (усредненная величина )т,ае) с множителем Чг, введенным из тех же соображений. Приравнивая нулю произвольную вариацию Е по р, получаем и з ~Ъ иое' 2 ( — „ег) + 1л — е'( — ) =О, (7.34) 1 1таа 2п' ег (7.36) 7 Г. Бета Строго говоря, вариация Е не является совершенно произвольной, так как должно выполняться условие ос(т=7тГ, где У вЂ” полное число электронов. Это дополнительное условие можно учесть методом неопределенных мяожителей Лагранжа, что добавит в левую часть (7.34) член Л, где Л вЂ” неопределенный множитель. Далее можно произвести калибровочное преобразование )т + Л-ь)т, в результате чего вновь получается формула (7.34).
Использование средней эффективной обменной энергии (7,30) в выражении для потенциальной энергии (7.33) оправдано. Здесь мы имеем дело с полной обменной энергией всех электронов. В методе Хартри — Фока, где мы рассматривали отдельные электроны, использование средней эффективной обменной энергии (7.30) вместо обменного потенциала представляло собой лишь приближение. Разрегпнм теперь уравнение (7.34) относительно плотности.
Полагая у=па(3р/и) ч = (а /п)ае, имеем ~1+ 1 ляг 1 7 1таа 1 (7.35) — и* ег )' Перед корнем выбран знак «плюс», дабы обеспечить согласие с методом Томаса — Ферми н избежать отрица. тельной плотности. Полагая Часть д Теория строения атома получаем у ~')/ т(т 1 ) (7.37) Уравнен!не Пуассона дает нт 4ат — (гЧт) =4птттрг= —,у г, ага За,', ь!т 2Ь ! яз —,(гЧ") = —,г('~Г Чт+ =) . а)г 2/ (7.38) Окончательно, производя замену переменных г=хЬ, гЧт=ас.'Ф, Ь=0,885а Х получаем Ф" = х (~/ — + р), Р= 3/ ~ 1 =0,21187 аьл п3' 2 (7.39) Это есть уравнение Томаса — Ферми — Дирака. В отличие от уравнения (7.!2) оно зависит от заряда ядра Я через параметр р. Видно, что при 2 - оо уравнение (7.39) переходит в (7.12). Граничные условия к уравнению (7.39) имеют вид Ф(0) =1, д дь е (7.40) Ф(хо) "оФ (хо) = г = т Здесь уже нельзя определить границу свободных атомов н ионов условием р(хо) =О, так как, согласно (7.37), р нигде не обрашается в нуль.
Мы можем, однако, определить значение хо из условия обрашения в пуль давления на границе. Найдем для этого, исходя нз формул (7.32) и (7.33), удельную энергию (энергию, приходящуюся на одну частицу). Фактически имеется некоторая трудность, связанная с электростатическим Гл. 7. Статистическом модель Томаса — Ферми 99 взаимодействием между электронами, однако формула 3 яе е' 3 е' е = — — — и'+ Ь'(г) — — — у 5 2 аь 4 ае (7.4!) правильна.
Давление Р дается формулой Р= — (де/ди)з, где ив удельный объем, а 5 — энтропия. Поскольку результат (741) получен для Т=О, когда энтропия равна нулю и, следовательно, постоянна, надо просто продифференпировать выражение (7.41) по о. Вспоминая, что р=((3/и) р]ч ае, о= 1/р, получаем (7.42) Давление обращается в нуль при о У= т, е. р(х,)=2,13 10 'ао'.
(7.43) В пренебрежении обменным взаимодействием давление Р обратилось бы в нуль при у=О; отсюда следовало бы, что р(хе) =О в согласии с прежним результатом. Плотность, меныпая чем (7.43), не имеет физического смысла а модели Томаса — Ферми — Дирака, поскольку она соответствовала бы отрипательному давлению. Подставляя выражение (?.43) в (7.37), находим после некоторых преобразований Ф(хр) ае ль 16 (7.44) Итак, в теории Томаса — Ферми — Дирака атомы, равно как ионь~, имеют конечный радиус. Уравнение (7.44) неприменимо, конечно, к атомам, находящимся под внешним давлением, так как в этом случае плотность может превышать значение (7.43). [Как можно усмотреть из уравнения (7.39), не существует решений, которые стремились бы к нулю при х- оо.
Это обстоятельство не вызывает затруднений, так как решения уравнения для атомов не удовлетворяют больше условию Часть 1, Теория строения атома (7.14).1 Как и раньше, дифференциальное уравнение применимо лишь при х~(хе. Численные расчеты были выполнены в работе [171 и др. Выяснилось, что модель Томаса — Ферми — Дирака не описывает свободных отрицательно заряженных ионов.
Модель Ферми полезна при вычислении характеристик, которые зависят от поведения системы электронов в среднем. К числу их относятся форм-фактор, полная энергия всех электронов, электростатический потенциал, создаваемый всеми электронами в месте расположения ядра, средний потенциал возбуждения. Последний встречается при вычислении тормозной способности атома и определяется равенством 1п Е,р — — ( — ) 'р' 1п Е;; (7.45) здесь Е1 — средний потенциал возбуждения 1-го состояния. Метод Томаса — Ферми, даже с учетом обменного взаимодействия, мало пригоден для вычисления характеристик, зависящих от поведения внешних электронов, таких, как потенциал ионизации или средний квадрат радиуса атома (последняя величина важна в теории диамагнетизма).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
