1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Движение в магнитном поле182Оператор p̂z коммутирует с гамильтонианом (с каждым его слагаемым). Поэтомукомпонента импульса, направленная вдоль поля, сохраняется, движение электронав этом направлении свободное, как и в классическом случае. Далее мы рассмотримуровни энергии поперечного движения, определяемого гамильтонианом Ĥ⊥ .Наряду с операторами компонент скорости (11.7) введём по аналогии с классической картиной операторы координат центра окружности и квадрата её радиусаx̂c = x̂ + v̂y /ωB ,ŷc = ŷ − v̂x /ωB ,ρ̂2 = (x − x̂c) 2 + (y − ŷc) 2 ≡v̂x2 + v̂y2ωB2. (11.14а)Прямое вычисление показывает, что в однородном магнитном поле операторыкоординат центра окружности по отдельности сохраняются.
В то же время они некоммутируют друг с другом, так же, как и компоненты вектора скорости[vy , vx ] = −i~eB,m2 c[x̂c , ŷc ] = −2i~2i~c.≡−mωBeB(11.14б)Это означает (см. § 2.2), что состояния поперечного движения вырождены. На классическом языке это – вырождение по положениям центра окружности. Легко проверить, впрочем, что, например, [x̂c , ρ̂2 ] = 0.Введем операторы F̂i так, чтобы перестановочные соотношения между компонентами скорости (11.14б) приобрели тот же вид, что и соотношения между импульсоми координатой для одномерного движения, и выразим через них наш гамильтониан:√F̂x2 + F̂y2mωB2 ρ̂2ωBv̂i =F̂i ⇒ [F̂y , F̂x ] = −i~ ; Ĥ⊥ = ωB≡.(11.15)m22Получившийся гамильтониан поперечного движения Ĥ⊥ (первое выражение) имеет вид гамильтониана гармонического осциллятора, гл.
4 c заменой пары операторовp̂, x̂ на пару операторов F̂y , F̂x , обладающих теми же перестановочными соотношениями. Поэтому здесь полностью воспроизводится операторный метод полученияуровней системы § 4.1. Достаточно только вспомнить, что для гамильтониана осциллятора в виде (A p̂ 2 + Bx 2) /2 частота определяется соотношением ω 2 = AB.В нашем случае это означает, что ω = ωB , и энергии уровней определяются простой формулой En⊥ = ~ωB (n + 1/2). Вспоминая ещё спиновое слагаемое и движениевдоль поля, запишем полную энергию электрона в магнитном поле()1p2(σz = ±1) .E = ~ωB n + + σz + z(11.16)22mИспользуя второе выражение для гамильтониана (11.15), обнаруживаем, что длясостояния с энергией En⊥ среднее значение квадрата радиуса орбиты составляет⟨ρ2 ⟩ =~(2n + 1)~c≡ (2n + 1).mωBeBРазумеется, полученное решение имеет смысл только если размер области однородности магнитного поля в поперечном направлении S = XY значительно большеминимального квадрата радиуса орбиты, S ≫ ~c/ (eB).11.2.
Уравнение Шредингера183Кратность вырождения. Помимо тривиального вырождения по продольному импульсу электрона, полученные состояния (11.19а) бесконечнократно вырождены поположениям центра орбиты электрона. Кратность вырождения становится конечной для движения, ограниченного конечной площадью S = XY . Чтобы получить эту кратность, вспомним перестановочное соотношение для координат центраокружности (11.14б) и сделаем замену переменных x̂c = (2c/eB) ĝ. Тогда это перестановочное соотношение примет вид [ ĝ, ŷc ] = −i~ – такой же, как и между координатой и импульсом. При нашем условии, что размер области однородности магнитного поля в поперечном направлении значительно больше минимального квадратарадиуса орбиты, можно использовать квазиклассическую оценку числа возможныхсостояний (6.11) в виде NE = ∆ g∆yc / (2π~) ≡ ∆xc (eB/ (2c))∆yc / (2π~) c естественным условием ∆xc ∆yc = XY (все центры помещаются внутри области однородностимагнитного поля S = XY).
В итоге при заданном pz кратность вырождения (числовозможных состояний) выражается через магнитный поток Φ = BS:NE = eBS/ (2π~c) ≡ Φ/ (2Φ0) ,ãäåΦ0 = 2π~c/e = 4 · 10−7 ãñ · ñì2 .(11.17)Здесь появилась величина Φ0 – квант магнитного потока для электрона1 .11.2.3. Электрон в однородном магнитном поле. IIОбсудим это же движение более традиционным методом, решая уравнение Шредингера. Описание нашей физической системы, очевидно, не должно меняться привращении вокруг оси z, соответственно здесь сохраняется проекция момента импульса электрона на эту ось.
Кажется естественным сохранять эту симметрию навсех этапах решения, соответствующим образом выбирая калибровку векторногопотенциала. Однако удобнее другой путь, использующий калибровку потенциала,которая явно нарушает указанную симметрию. Разумеется, эта симметрия восстанавливается в пространстве получившихся решений.• Для векторного потенциала A = (0, xB, 0) уравнение Шредингера имеет видĤ =()2p̂y − exB/cp̂z2p̂ 2+ x ++ µB σz B.2m 2m2m(11.18)Видно, что [Ĥ, p̂z ] = [Ĥ , p̂y ] = [[Ĥ , ŝz ] = 0, т. е. ]pz , py и sz сохраняются.Ищем теперь ψ в виде exp i(ypy + zpz) /~ φ(x)χ(sz).
Тогда в гамильтонианеуравнения Шредингера для функции φ(x) операторы p̂z , p̂y и sz заменяются начисла pz , py и σz /2 = +1/2 и −1/2, т. е. это уравнение принимает вид:mωB2 (x − x0) 2p̂x2p2φ(x) +φ(x) = (E − µB σz B − z )φ(x)2m22m1 Магнитный(cpy )x0 =.eBпоток, проходящий через поверхность, ограниченную замкнутым сверхпроводящим контуром, может принимать только дискретные значения. Квантом магнитного потока для обычных сверхпроводников является величина Φ0 /2, ибо носителями тока в сверхпроводниках являются не отдельныеэлектроны, а их пары с противоположно направленными квазиимпульсами и спинами (куперовские пары).184Глава 11.
Движение в магнитном полеПолученное уравнение по форме совпадает с уравнением Шредингера для осциллятора с частотой ωB (и с положением минимума потенциала x = x0). Поэтомуэнергии уровней имеют вид (11.16) (не зависят от импульса py !), и волновые функциивыражаются через решения задачи об осцилляторе (4.26)√√)(x − c py /eB~~ci(py y+ pz z) /~,x0B =ψB,y = eψn≡.(11.19а)x0BmωBeBЗначок y в индексе функции отмечает выбор калибровки вектора-потенциала.• Точно таким же образом можно найти решение, выбрав векторный потенциалв виде A = (−yB, 0, 0). Решение проводится точно так же, как и выше – с очевидными заменами переменных.
Получаются те же уровни энергии (11.16), а волновыефункции имеют похожий, но в сущности совсем другой вид()y + cpx /eBi(px x+ pz z) /~ψB,x = eψn,(11.19б)x0B• Поучительно привести ещё решение для векторного потенциала в виде, сохраняющем цилиндрическую симметрию задачи A = − [B × r] /2 [1] . В этом подходе естественно использовать цилиндрические координаты (ρ, φ, z), в которыхA = (Aρ , Aφ , Az) ≡ (0, Bρ√/2, 0) . При этом можно выполнить разделение переменных ψ = e imφ+i pz z/~ R(ρ) / 2π, и уравнение Шредингера для функции R(ρ) принимает вид (здесь мы обозначаем массу электрона через µ и не выписываем спиновыйвклад)[]′′1 ′ m22µE − pz2 mµωB ( µωB )2R + R − 2 R+−−ρR = 0.ρρ~2~2~Обозначив β = (E − pz2 /2µ) / (~ωB) − m/2 и введя переменную ξ = (µωB ρ/ (2~)) 2 ,′′′перепишем это уравнение в виде ξR +R +[−ξ /4+β−m2 / (4ξ)]R = 0.
Нетрудно устано−ξ /2вить, что R → eпри ξ → ∞, а при ξ → 0 получается R → ξ |m|/2 . Поэтому удобноискать решение в виде R(ξ) = e −ξ/2 ξ |m|/2 w(ξ). Для функции w(ξ) получается уравнение, которое решается с помощью разложения в ряд по той же схеме, которая былаиспользована в § 9.3 для атома водорода. При произвольном значении β волноваяфункция растет при ξ → ∞ как e ξ/2 . Чтобы получить нормируемое решение с убывающей при ξ → ∞ асимптотикой, надо наложить условие β − (|m| + 1) /2 = nρ > 0– целое.
При этом уровни энергии даются формулой()|m| + m + 1p2E = ~ωB nρ ++ σz + z .(11.20)22µЭто – иная форма записи полученного ранее ответа (11.16). Здесь обсуждавшеесявыше вырождение выглядит как независимость энергии от m при m < 0 или какнезависимость от m при фиксированной величине nρ + m при m > 0.♢ Найденные решения явным образом различаются, хотя и должны описыватьодну и ту же реальность. Это видимое различие и несоответствие классике разрешаются, если вспомнить, что, например, состояния (11.19а) и (11.19б) бесконечнократно вырождены по py и px соответственно, а состояния (11.20) – по проекциям m11.2. Уравнение Шредингера185момента импульса на ось z даже при фиксированном продольном импульсе pz . Ониобразуют подпространство полного Гильбертова пространства, отвечающего заданным значениям энергии (11.16) и pz . Волновые функции (11.19а) и (11.19б) и функции, отвечающие решениям (11.20), образуют разные базисы этого подпространства,каждая из этих функций допускает разложение по набору других функций.11.2.4.
Двумерный осциллятор в магнитном полеЗадачу о состояниях заряженного симметричного осциллятора в магнитном полерешил в 1928 г. В.А. Фок (Zs. f. Phys. 47 (1928) 446-448). Для частного случаяотсутствия осцилляторного поля возникающие состояния (11.16) были переоткрыты Л.Д. Ландау в 1930 г. Их называют уровнями Ландау. Недавно выяснилось, чтопростое аналитическое решение имеет и задача о состояниях заряженного асимметричного осциллятора в магнитном поле.Рассмотрим двумерный (в плоскости (x, y)) анизотропный заряженный осциллятор в однородном магнитном поле B = (0, 0, B). Используя векторный потенциалв виде AL = (0, xB, 0) и стандартное обозначение ωB = eB/mc, запишем гамильтониан получившейся задачи в виде суммы гамильтонианов продольного движения(вдоль оси z) и поперечного движения Ĥ⊥ (ср.
(11.18))Ĥ =p̂z2+ Ĥ⊥ ,2mĤ⊥ =p̂y2mω12 + mωB2 x 2mω22 y 2p̂x2+− ωB x p̂y ++.2m 2m22(11.21)Сделаем замену Ŷ = − p̂y / (mω2), p̂Y = ymω2 (это, в сущности, – известное каноническое преобразование классической механики). Необязательный множитель mω2добавлен для того, чтобы сделать одинаковыми размерности «новых» и «старых» координат и импульсов. Знак "−" в первом из соотношений выбран для того, чтобыу «новых» координаты и импульса были те же перестановочные соотношения, чтои у «старых», [ p̂Y , Ŷ ] = −i~.Теперь гамильтониан поперечного движения принимает вид анизотропного осциллятора (4.27) с ω12 → ω12 + ωB2 , ω2 → ω2 , b → ωB ω2 :Ĥ⊥ =p̂ 2m(ω12 + ωB2 ) x̂ 2mω22 Ŷ 2p̂x2+ Y + mωB ω2 x̂ Ŷ ++.2m 2m22(11.22)Совершим затем поворот на угол θ вида (4.28) в плоскости (x, Y), диагонализующий гамильтониан, и введём стандартным образом (см.
(4.3)) операторы уничто+жения âkz и рождения â+kz ≡ (âkz) , которые в «старых» координатах имеют вид(здесь c = cos θ, s = sin θ)√)(1 mΩ1~ d~ dω2âz1 =,cx − is+c+ isy2~mω2 dymΩ1 dxΩ1√()1 mΩ2~ d~ dω2âz2 =−sx − ic−s+ icy.2~mω2 dymΩ2 dxΩ2(11.23)Глава 11. Движение в магнитном поле186После этого Ĥ⊥ принимает вид гамильтониана пары осцилляторов с энергиямисостояний E⊥(n1 n2) (выражения для частот получены из (4.33) простым алгебраическим преобразованием):+Ĥ⊥ = ~Ω1 (â+1z â1z + 1/2) + ~Ω2 (â2z â2z + 1/2) ,√√(ω1 + ω2) 2 + ωB2 ± (ω1 − ω2) 2 + ωB2Ω1,2 =,2E⊥(n1 n2) = ~Ω1 (n1 + 1/2) + ~Ω2 (n2 + 1/2) .(11.24)Для симметричного осциллятора (ω1 = ω2) имеем Ω1 − Ω2 = ωB . Частота Ω1 можетинтерпретироваться как частота вращений базового осциллятора в ту же сторону, вкоторую вращается свободная частица в магнитном поле, а Ω2 – в противоположном.Волновые функции выражаются через функцию основного состояния ψ00 с помощью операторов рождения (11.23), как и в (4.32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
