1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В обоих случаях произведение собственных векторов |n1 ⟩|n2 ⟩|n3 ⟩ при отражении меняет знак, т. е. нечётно.1 В классическом случае эта дополнительная симметрия приводит к тому, что период радиальногодвижения совпадает с периодом движения по углу, и траектория замкнута (эллипс) – в отличие от общегослучая, когда эти периоды не совпадают, и траектория не замкнута.9.4. Повышенная симметрия некоторых трёхмерных систем169♢ Операторы дополнительных сохраняющихся величин можно выбрать в видеÂi, j = â†j âi − δij N̂ /3 .(9.31)Отметим, что этих операторов по виду 9, но независимых среди них только 8, поскольку след составленной из этих операторов матрицы равен нулю.
Компонентывектора момента импульса отвечают только трем из этих операторов, ℓ̂3 = −i(Â1,2 −Â2,1), ℓ̂1 = −i(Â2,3 − Â3,2), ℓ̂2 = −i(Â3,1 − Â1,3) – ср. (4.35). Существование ещё пятинекоммутирующих друг с другом и с ℓ̂i сохраняющихся операторов и приводит (наалгебраическом языке) к появлению дополнительного вырождения1 .Коммутативность, например, оператора Â2,3 с гамильтонианом видна из того,что его действие на собственное состояние |n1 , n2 , n3 ⟩ превращает его в состояние|n1 , n2 + 1, n3 − 1⟩ с той же энергией.Перестановочные соотношения операторов Âi,j друг с другом легко устанавливаются, это(9.32)[Âi, j , Âk,ℓ ] = δiℓ Âk,j − δkj Âi,ℓ .Эти перестановочные соотношения совпадают с перестановочными соотношениямигенераторов группы унитарных матриц 3-го порядка с равным нулю следом, которую называют группой SU(3). Эта симметрия – более высокая, чем симметриягруппы трёхмерных вращений O(3) или изоморфная ей группа унитарных матриц2-го порядка с равным нулю следом SU(2) ⊂ SU(3).9.4.2.
Кулоновская задача. Метод ФокаДля кулоновской задачи три дополнительных сохраняющихся оператора – трикомпоненты квантового аналога вектора Рунге–Ленца–Лапласа (сохраняющегосяв классической механике) 2A = −e 2r[p × L] − [L × p]+.r2m(9.33)Прямым вычислением нетрудно убедиться, что наряду с известными перестановочными соотношениями [ℓ̂i , Ĥ ] = 0, [L̂i , L̂ j ] = i~ei jk L̂k (9.2) и [L̂i , Â j ] = i~ei jk Ak (8.5)выполняются также специфические соотношения[Âi , Ĥ ] = 0 ,[Âi , ÂJ ] = −2i~Ĥei jk L̂k /m .(9.34)Этим фактически закончено доказательство наличия условий для дополнительноговырождения (2.12). Дальнейшие вычисления имеют целью получить энергетическийспектр атома водорода без решения дифференциального уравнения.1 Из этих пяти некоммутирующих друг с другом и с ℓ̂ сохраняющихся операторов удобно сфорiмироватьтензор, похожий на тензор квадрупольного момента (только похожий!)( симметричный)Ûij = Âi, j + Â j,i /2.2 Сравнивая с классическим вектором того же наименования, читатель обнаружит здесь симметризацию в соответствии с рецептом, обсуждавшимся перед (1.5).Глава 9.
Центрально-симметричное поле170Рассмотрим теперь набор состояний дискретного спектра с фиксированной (отрицательной) энергией −ε. Для этих состояний в перечисленные перестановочныесоотношения√мы подставим Ĥ → −ε и изменим нормировку оператора Â, обозначив Ĝ = −Â (m/2ε) /~. Полный набор остающихся перестановочных соотношенийимеет вид:[ℓ̂i , ℓ̂ j ] = ieijk ℓk ,[ℓ̂i , Ĝ j ] = ieijk Gk ,[Ĝi , Ĝ j ] = iei jk ℓk .(9.35)Эти соотношения обнаруживают симметрию между векторами ℓ̂ и Ĝ.
Они в точности совпадают с перестановочными соотношениями компонент четырёхмерногоэвклидова тензора момента импульса, в котором компоненты вектора ℓ̂ отвечаютобычным трёхмерным вращениям, а компоненты вектора Ĝ отвечают вращениямв плоскостях (xi , x4) (приложение Б.6). Это означает, что кулоновская задача обладает группой симметрии четырёхмерных вращений O(4), которая включает в себягруппу трёхмерных вращений O(3) как подгруппу (В.А. Фок, 1935 г.).♢ Перейдём к вычислению спектра энергий кулоновской задачи. Заметим сначала, что имеют место два легко проверяемых тождества,2ℓ̂ + Ĝ2 + 1 =(ℓ̂ Ĝ) = (Ĝ ℓ̂) = 0 ,Ry.ε(9.36)Введем теперь два новых векторных оператора(±)v̂i=)1(ℓ̂i ± Ĝi .2(9.37)Легко проверить, что перестановочные соотношения между компонентами каждогоиз них точно такие же, как и для компонент оператора момента импульса, а другс другом они коммутируют,(±)(±)(±)[v̂i , v̂ j ] = ieijk vk ,(+)(−)[v̂i , v̂ j ] = 0 .(9.38)Нетрудно получить отсюда, что [(v̂ (+)) 2 , (v̂ (−)) 2 ] = 0.
Это значит, что операторы(v̂ (+)) 2 и (v̂ (−)) 2 одновременно измеримы. В силу (9.38) собственные значения этихоператоров вычисляются точно так же, как и собственные значения оператора квадрата момента импульса в § 8.1, это v (±) (v (±) + 1), причём в отсутствие прямой связивведённых операторов с углами вращения, целыми должны быть только значения2v (±) , а не v (±) (8.15).()Поскольку (ℓ G) = (G ℓ) = 0, то (v̂ (+)) 2 = (v̂ (−)) 2 = ℓ2 + G2 /4.
Это означает,что собственные значения операторов v2(+) и v2(−) совпадают, т. е. v (+) = v (−) . удобнообозначить v (+) = v (−) = v. Подставляя эти собственные значения во второе равенство (9.36), получим результат, совпадающий с (9.19) с точностью до обозначений:4v(v + 1) + 1 =RyRyRy⇒ ε=≡ 2 , где n = 2v + 1 .ε(2v + 1) 2n(9.39)Убедимся, что этот подход даёт и другие известные свойства атома водорода.9.5.
Задачи171▽ При заданном значении v кратность вырождения каждого из операторов(+)(−)(v̂ (+)) 2 и (v̂ (−)) 2 (число различных проекций операторов v̂z и v̂z на ось z) составляет 2v +1. Поэтому полная кратность вырождения составляет (2v +1) (2v +1) = n2 .▽ Возможные значения полного момента. Напомним, что ℓ̂ = v̂ (+) + v̂ (−) призаданных v (+) = v (−) = v. Это соотношение может реализовываться при различныхотносительных ориентациях векторов v (+) и v (−) . В итоге орбитальный момент ℓпробегает все целочисленные значения от 0 до 2v = n−1 (см.
подробное обсуждениесходного вопроса в § 12.1).▽ Чётность. Оператор Ĝ не коммутирует с оператором пространственного отражения, поэтому общие собственные состояния гамильтониана и любого из операторов Ĝi не имеют определённой чётности.§ 9.5.Задачи1. Для прямоугольной сферически симметричной потенциальной ямы докажите условие (9.5), рассмотрите также предельный переход U → ∞, a → 0. При какомусловии в пределе остаётся связанное состояние?2.
Могут ли быть в центрально-симметричном поле уровни с кратностью вырождения 2, 7, 9? Какому вырождению по ℓ они могут соответствовать?3. Определить уровни энергии Enℓ электрона с моментом ℓ, заключенного в непроницаемую сферу радиуса R, используя квазиклассическое правило квантования.Сравнить с точным решением при больших R и n ≫ ℓ.• Осциллятор4. Для изотропного плоского осциллятора U = mω 2 (x 2 +y 2) /2 найти уровни энергиии кратность их вырождения.5. Для изотропного сферического осциллятора U = mω 2 r2 /2а) в квазиклассическом приближении найти уровни энергии, найти минимальноезначение энергии при заданном ℓ;б) найдите уровни с nr = 0, ℓ = 0, 1 и nr = 1, ℓ = 0, пользуясь вариационнымметодом с пробными функциями вида P(r)e −r/a , где P(r) – простейшие полиномы,сравнить результаты с точным решением;в) найти поправки к трём нижним уровням энергии под действием возмущенияV = γx 2 y 2 .в) найти поправки к трём нижним уровням энергии под действием возмущенийVa = 2γxy и Vb = γ (x 2 − y 2).• Атом водорода и пр.6.
Оценить размеры и уровни энергии водородоподобных атомов He+ , Li++ , Pb82+ ,e + e − , µ− p, µ− π + , µ− Pb 82+ (Pb82+ – ядро свинца).7. Для атома водорода в основном состоянии (1s) построить графики dW/d 3 rи dW/dr в зависимости от r. Найти ϕ100 (p) и построить графики dW/d 3 pи dW/dp. Найти ⟨p⟩, ⟨p⟩ и ∆ p, ⟨r⟩ и ∆r. Оценить напряжённость электрическогополя на расстоянии r = aB от ядра.172Глава 9. Центрально-симметричное поле8.
Для состояний 2s и 2 p атома водорода построить графики dW/d 3 r в зависимости от r и θ. Найти среднее магнитное поле, создаваемое электроном в центрев состоянии 2p.9. Найти средние значения кинетической и потенциальной энергии для различныхсостояний атома водорода.10. Найти уровни энергии в системе с гамильтонианом() ()p̂2e2aMMe 4Ĥ =−1−aM = 2.2Mrγr~11.12.13.14.15.Проанализировать два предельных случая.а) В водородоподобном атоме, где M = me , отклонение от кулоновского потенциала моделирует эффект поляризуемости атомного остатка под действием валентного электрона, γ ≫ 1. Рассматривая эту поправку как возмущение, сравнитьточное решение с решением, использующим дифференцирование энергии по параметру (5.11).б) В двухатомной молекуле M – приведённая масса пары ядер, отклонение откулоновского потенциала описывает отталкивание электронов разных ядер, приэтом γ ≪ 1 – см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
