1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Для каждой из матриц Паули найти ее преобразование при вращении системыкоординат (10.8) на угол θ относительно осей x, y и z.10. В общем случае получить преобразование матриц Паули σk при вращении системы координат (10.8), т. е. вычислить Û −1 σkÛ .11. Найти собственные значения операторов a + b nσ, f(a + b nσ).12. Уровни энергии частицы 0 и Å (остальные уровни расположены далеко).
Каксдвинутся эти уровни под действием возмущения, оператор которого для этихсостояний можно записать в виде матрицы: V = aσy + bσx .Рассмотрите переход к случаю с вырождением, E = 0.Глава 11Движение в магнитном полеКвантовое описание движения частицы в магнитном поле не сводится к простомупереводу на квантовый язык классических величин. Здесь существенную роль играетспин частицы – объект, исчезающий в классическом пределе.§ 11.1.Магнитный момент частицыВ классической теории магнитный дипольный момент атома (далее – простомагнитный момент) обусловлен движением электронов∑ r a × vaeµ = ea=· L,2c2mcaгде L – момент импульса системы электронов.
Величину e/2mc называют гиромагнитным отношением.Взаимодействие нейтрального атома с магнитным полем B описывается добавкойV = −(µB) к энергии (функции Гамильтона). В неоднородном магнитном поле натакой атом действует сила, равная −∇V .В квантовой механике, по принципу соответствия, гамильтониан взаимодействия заряженной частицы с внешним магнитным полем имеет видĤM = −(µ̂ B),(11.1)где для частицы без спина (орбитальный) магнитный момент естьeL̂ ≡ −µB ℓ̂2mcèµB =|e|~.2mc(11.2)Здесь учтено, что L̂ = ~ ℓ̂ и введена величина µB , которую называют магнетоном Бора .
В соответствии с этим проекция магнитного момента частицы на ось z,µz = µB ℓz , принимает дискретный ряд значений −µB ℓ, −µB (ℓ − 1), ..., µB ℓ.Наличие спина приводит к существованию дополнительного (спинового) магнитного момента, который сходным образом связан со спином. Для частицы сорта i(электрона, протона и т. п.):µ̂s = gi µiB ŝ .(11.3)11.2. Уравнение Шредингера179Здесь µiB ≡ e~/2mi c – магнетон Бора для частицы i, Таким образом, полный оператор магнитного момента принимает видµ̂ = µB (ℓ̂ + g ŝ) .(11.4)Поскольку спиновая степень свободы не имеет классического аналога, то в рамках квантовой механики никаких ограничений на число gi нет, и в нерелятивистскомописании это число берется из опыта.
Оно определяется в релятивистской квантовойтеории с учётом всех взаимодействий, в которых может принимать участие даннаячастица. Для точечных заряженных частиц со спином 1/2 должно быть gi = 2,а для точечных нейтральных частиц gi = 0. Отличие от этих значений сигнализирует о наличии внутренней структуры частицы.
Для электрона e эффекты внутреннейструктуры невелики, и ge лишь немного отличается от 2. Для протона p и нейтронаn эти эффекты велики так, что1 :ge /2 = 1, 001159625,g p /2 = 2, 79,gn /2 = −1, 91.(11.5)Обратите внимание на сравнительно большой спиновый магнитный момент нейтральной частицы – нейтрона.Далее, говоря об электроне, мы всегда будем говорить просто о магнетоне Бора(не напоминая эпитет «электронный») и почти всегда будем считать g = 2.§ 11.2.Уравнение ШредингераДля частицы в электромагнитном поле импульс связан со скоростью соотношением p = mv + eA/c, где A – вектор-потенциал электромагнитного поля, из которого электрическое E и магнитное B поля выражаются соотношениями B = [∇ × A],E = −(1/c)∂A/∂t − ∇φ. Поэтому классическая функция Гамильтона в присутствиимагнитного и электрического полей имеет вид H = (p − eA/c) 2 /2m + eφ(r).
Соответственно, гамильтониан электрона в электромагнитном поле с учётом спиновогомагнитного момента имеет вид (получен в 1927 г. В. Паули):Ĥ =(p̂ − eA/c) 2+ eφ(r) − gµB (ŝ B).2m(11.6)Напомним, что в соответствующемШредингера (уравнении Паули) вол( уравнении)ψ+ (x)новая функция это спинор ψ =.ψ− (x)Воспользовавшись уравнениями движения для операторов (гл. 3), можно проверить, что из этого гамильтониана получаются классические по форме выражениядля скорости частицы и её ускорения()()1eAd v̂[v̂ × B]v̂ =p̂ −,m=e+ E + gµB ∇(ŝ B).(11.7)mcdtc1 Дело в том, что электрон участвует лишь в электромагнитном взаимодействии, интенсивность которого определяется маленькой постоянной тонкой структуры α = e 2 / (~c) = 1/137, а протоны и нейтроныучаствуют в сильном (ядерном) взаимодействии, для которого соответствующая константа – порядка 1.Глава 11. Движение в магнитном поле180Получившиеся компоненты скорости уже не коммутируют друг с другом (см.
(11.14б)).Выражение для плотности тока в присутствии магнитного поля модифицируется.Как и в отсутствие поля – см. разд. 2.1.2, для его получения вычисляют производную от плотности вещества по времени ∂ρ/∂t = ψ ∗ ∂ψ /∂t + (∂ψ ∗ /∂t)ψ и пользуютсяуравнением Шредингера для производных ∂ψ /∂t. Это даёт нам дивергенцию тока,и отсюда уже восстанавливается сама плотность тока. Возникающее при этом выражение (конвекционный ток jk) не включает явной зависимости от спина.
Однако,эта процедура оставляет нам свободу добавить в выражение для плотности токаротор произвольной функции. Вид этой функции (cпиновая часть тока js) фиксируется требованием, чтобы при изменении вектора-потенциала электромагнитногополя на малую величинуδA добавку к энергии системы можно было записать в виде∫(ср.
[1, 17]) δE = − ψ † (x) (j · δA)ψ (x)d 3 x. В итоге получаетсяj = jk + js ,] ei~ [ †µB cjk = −ψ (∇ψ) − (∇ψ †)ψ −Aψ ∗ ψ, js =[∇ × (ψ † sψ)] .2mmces(11.8)Первое слагаемое конвекционного тока jk (в квадратных скобках) совпадает со стандартным выражением для тока (2.5). Простое интегрирование по частям показывает,что именно спиновая часть тока отвечает за добавку Паули (11.6) в энергию.11.2.1. Переход к магнитному моментуРассмотрим движение частицы в однородном магнитном поле B и выберем векторпотенциал в виде A = −[r × B] /2. Тогда, раскрывая скобки, запишемĤ =p̂ 2ee 2 [r × B] 2+ eφ(r) − gµB sB +p [r × B] +.2m2mc8mc 2Учитывая, что [r × p] = L ≡ ~ ℓ, получаем отсюда (ср.
(11.2))Ĥ = Ĥ0 + ĤM + Ĥ2 ,2Ĥ0 =p̂+ eφ(r) ,2mĤM = −µB (ℓ̂ + g ŝ)B ,Ĥ2 =e 2 [r × B] 2.8mc 2(11.9)Слагаемое ĤM в точности соответствует введённому ранее из классических соображений (принцип соответствия) гамильтониану (11.1) c магнитным моментом (11.4).• Слагаемым Ĥ2 можно пренебречь, если движение частицы ограничено небольшой областью атомных размеров. Размер этой области ⟨a⟩ определяется решениемзадачи при B = 0, т. е.
для гамильтониана Ĥ0 (напомним, что e < 0). В атомнойсистеме оценка в духе теоремы о вириале показывает, что (с точностью до коэффициентов порядка 2 и до знака) средняя потенциальная энергия и средняя кинетическая энергия – того же порядка, что и полная энергия состояния En . Длягрубой оценки примем ⟨p 2 ⟩ ∼ 2m|En | и ℓ = 1.
В силу соотношения неопределённостей ⟨a⟩2 ∼ ~2 / (2m|En |). Поэтому среднее значение Ĥ2 можно оценить как11.2. Уравнение Шредингера181 (µB B) 2 e 2 ~2 B 2. Итак, линейное по полю слагаемое ĤM мож|⟨H2 ⟩| ∼∼ 2m|En |8mc 2En но рассматривать как малую поправку к основному взаимодействию, формирующему атомные уровни энергии, и одновременно можно пренебрегать слагаемым Ĥ2 посравнению с ĤM при⟨ĤM ⟩⟨Ĥ2 ⟩(µB B)∼∼≡ δB ≪ 1 .|En |⟨Ĥ0 ⟩⟨ĤM ⟩(11.10)(Заметим, что для применимости теории возмущений необходимо куда более сильноеусловие µB B ≪ |En − Em | для любой пары термов гамильтониана Ĥ0 .)Для некоторых состояний гамильтониана Ĥ0 может оказаться, что ⟨ĤM ⟩ = 0.В этом случае в первом неисчезающем приближении теории возмущений поправкак энергии, обусловленная магнитным полем, квадратична по полю. Она состоит издвух слагаемых – поправки второго порядка по возмущению ĤM , которую мы обозначим ∆EM2 , и поправки первого порядка по возмущению Ĥ2 , которую мы обозначим ∆E2 .
Для последней величины справедлива оценка (11.10), а для первойвеличины мы используем стандартную оценку теории возмущений. В итоге (нижеEm – уровень, ближайший к рассматриваемому уровню En)|∆EM2 | ∼(µB B) 2(µB B) 2& |∆E2 | ∼.|En − Em |En(11.11)Иными словами, в условиях (11.10) слагаемым Ĥ2 чаще всего можно пренебречьпо сравнению с ĤM , даже если поправка первого порядка по полю исчезает в силукаких-нибудь свойств симметрии системы.▽ Если величина δB не является малой (как, например, для очень сильных полейили для состояний атома водорода с большим n – ридберговских атомов), то использование понятия магнитного момента без учёта квадратичного по полю слагаемогов гамильтониане может привести к ошибкам.11.2.2.
Электрон в однородном магнитном поле. IРассмотрим движение свободного электрона в однородном магнитном поле, направленном вдоль оси z, B = (0, 0, B) (без электрического поля). При таком движении характерные смещения не малы, слагаемое Ĥ2 (11.9) становится определяющеважным.Напомним для начала, что в классической задаче движение электрона складывается из свободного движения вдоль оси z и вращения с частотойωB = |e|B/mc(11.12)в плоскости (x, y) по окружности радиуса ρ = v⊥ /ωB .Полезно переписать наш гамильтониан (11.6) в видеĤ = Ĥ⊥ +p̂z2− gµB ŝ ,2mĤ⊥ =)m( 2v̂ + v̂y2 .2 x(11.13)Глава 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
