1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Какие значения m возможны при заданных m1 и m2 ?2. Какие значения j возможны при данных j1 и j2 ?3. Каковы чётности суммарных состояний?4. Ясно, что любая функция |II ⟩ может быть выражена через линейные комбинациифункций |I ⟩, и наоборот:∑ jmC j1 m1 , j2 m2 |j1 , m1 ⟩|j2 , m2 ⟩;mi∑ jm|j1 , m1 ⟩|j2 , m2 ⟩ = C̃ j1 m1 , j2 m2 |j, m; j1 , j2 ⟩.| j, m; j1 , j2 ⟩ =(12.2)j,mНайти определённые здесь коэффициенты Клебша–Гордана C и C̃.jm♢ Из определения видно, что C̃ j1 m1 , j2 m2 ⟨= ⟨I(j1 , m1 , j2 , m2 |II(j, m, j1 , j2 ⟩()†jmjmи C j1 m1 , j2 m2 = ⟨II(j, m, j1 , j2 |I(j1 , m1 , j2 , m2 ⟩ = C̃ j1 m1 ,j2 m2 .
Без ограничения общности, коэффициенты C выбирают вещественными, при этомjmjmC j1 m1 ,j2 m2 = C̃ j1 m1 , j2 m2 .(12.3)Далее мы сначала изложим результаты, а затем опишем способ отыскания коэффициентов Клебша–Гордана и убедимся в полноте получившейся конструкции. Этои составит полное решение задачи.Ответы на первые два вопроса составляют содержание «векторной модели»сложения моментов: моменты – это стрелочки длиной j1 и j2 , которые могут быть направлены по-разному, и их суммарные величины пробегают всевозможные значения. Ответы на остальные вопросы являются квантовыми.1.
Так как ĵz = ĵ1z + ĵ2z , тоm = m1 + m2 .(12.4а)Глава 12. Сложение моментов1942. Величина j принимает значенияj = j1 + j2 , j1 + j2 −1, j1 + j2 −2, ... , |j1 − j2 |.(12.4б)3. Чётность состояний суммарного момента P не определяется величиной j, но всегда P = P1 · P2 , где Pi – чётности состояний | ji , mi ⟩.
Для спинового моментапонятие чётности не определено (спин – внутренняя степень свободы).▽ Чтобы убедиться, что в ответах (12.4) учтены все состояния, пересчитаем ихв обоих описаниях системы.Число различных состояний, определяемое через состояния складываемых моментов, есть N = (2j1 +1) (2j2 +1). При втором описании для каждого j имеется∑ 2 j+1различных значений m = − j , − j + 1, . .
. , j. Число таких функций есть(2j + 1),где сумма берется по всем значениям j, допустимым при данных j1 и j2 :j1∑+j2| j1 − j2 |(2j + 1) =j1∑+j20(2j + 1) −|j1 −j∑2 |−1(2j + 1) =0= (j1 + j2 + 1) 2 − | j1 − j2 |2 = (2j1 + 1) (2j2 + 1).Как и следовало ожидать, это число совпадает с N .• Построим теперь векторы состояний |II ⟩ = |j, jz = m⟩ из векторов исходного базиса |I⟩ = |j1 , j1z = m1 ⟩|j2 , j2z = m2 ⟩.
Коэффициенты этого разложенияи есть коэффициенты Клебша–Гордана. Тем самым мы докажем (12.4б). Основнаяидея нашего построения – для каждого допустимого значения суммарного моментаj должны реализовываться все возможные значения проекций этого момента.Пример. Начнём с одной из простейших задач – со сложения орбитального момента j1 = 1 и спинового момента j2 = 1/2. Суммарные значения момента импульсатакой системы j могут составлять 3/2 (моменты «параллельны») и 1/2 (моменты«антипараллельны»).
Набор состояний нашей системы состоит из 6 векторов. Наязыке суммарных моментов это |j = 3/2, m⟩ с m = ±3/2 , ±1/2 и |j = 1/2, m⟩ сm = ±1/2. На языке складываемых моментов это|I⟩ ≡ |1, +1⟩|1/2, +1/2⟩ , |II ⟩ ≡ |1, +1⟩|1/2, −1/2⟩ , |III ⟩ ≡ |1, 0⟩|1/2, +1/2⟩ ,|IV ⟩ ≡ |1, 0⟩|1/2, −1/2⟩ , |V ⟩ ≡ |1, −1⟩|1/2, +1/2⟩ , |VI ⟩ ≡ |1, −1⟩|1/2, −1/2⟩.Вектор |I ⟩ – единственный вектор, который отвечает проекции полного моментана ось z, равной 3/2, в нашем случае это может реализовываться только при j = 3/2.Поэтому можно принять|j = 3/2, m = 3/2⟩ = |I ⟩ ≡ |1, +1⟩|1/2, +1/2⟩ .(12.5а)Векторы |II ⟩ и |III⟩ отвечают проекции полного момента на ось z, равной 1/2,в нашем случае это может реализовываться и при J = 3/2, и при J = 1/2.
Поэтомусостояния |j = 3/2, m = 1/2⟩ и |j = 1/2, m = 1/2⟩ должны быть суперпозициямисостояний |II ⟩ и |III ⟩.Векторы |IV ⟩ и |V ⟩ отвечают проекции полного момента на ось z, равной −1/2,в нашем случае это может реализовываться и при J = 3/2, и при J = 1/2. Поэтому12.1. Сложение моментов195состояния |j = 3/2, m = −1/2⟩ и | j = 1/2, m = −1/2⟩ должны быть суперпозициями состояний |IV ⟩ и |V ⟩.Наконец, вектор |VI ⟩ – единственный вектор, который отвечает проекции полногомомента на ось z, равной −3/2, в нашем случае это может реализовываться толькопри j = 3/2. Поэтому | j = 3/2, m = −3/2⟩ ∝ |VI ⟩ (этот вектор может отличатьсязнаком от того, что получается из |I ⟩ многократным действием оператора ĵ−).Подействуем на равенство (12.5а) понижающим оператором ĵ− ≡ ĵ1− + ĵ2− .Для действия на левую часть равенства мы используем этот оператор в√формеĵ− , а на правую часть – в форме ĵ1− + ĵ2− , заметив, что ĵ1− |1, 1⟩ = 2|1, 0⟩и ĵ2− |1/2, 1/2⟩ = |1/2, −1/2⟩:√ĵ− |j = 3/2, m = 3/2⟩ = 3|3/2, 1/2⟩ ,√()ĵ1− + ĵ2− |1, 1⟩|1/2, 1/2⟩ = 2|1, 0⟩|1/2, +1/2⟩ + |1, 1⟩|1/2, −1/2⟩ .Собирая полученные выражения, мы получаем|3/2, 3/2⟩ =√√2/3|1, 0⟩|1/2, +1/2⟩ + 1/3|1, 1⟩|1/2, −1/2⟩ ≡√√≡ 2/3|II ⟩ + 1/3|III ⟩.(12.5б)Состояние |j = 1/2, m = 1/2⟩ строится из тех же состояний |II ⟩ и |III⟩, и оноортогонально к состоянию |3/2, 1/2⟩.
Поэтому вектор этого состояния имеет вид√√|1/2, 1/2⟩ = 1/3|II ⟩ − 2/3|III⟩.(12.5в)Сходным образом действие оператора ĵ− ≡ ĵ1− + ĵ2− на равенства (12.5б)и (12.5в) и повторное действие этого оператора на получившиеся равенства дают|3/2, −1/2⟩ =√√1/3|IV ⟩ + 2/3|V ⟩ ,|1/2, −1/2⟩ =√2/3|IV ⟩ −√1/3|V ⟩ ;|3/2, −3/2⟩ = |VI⟩ ,ĵ− |1/2, −1/2⟩ = 0 .(12.5г)√√Появившиеся в равенствах (12.2) числа ± 1/3, 2/3 – это коэффициенты Клебша–Гордана.Процедура общего случая строится по тому же образцу.▽ В силу (12.4а), максимальное значение m = j1 + j2 . Поэтому и максимальноезначение j = j1 + j2 . Это состояние получается единственным образом.
Поэтому|j = j1 + j2 , m = j1 + j2 ⟩ = | j1 , m1 = j1 ⟩|j2 , m2 = j2 ⟩.▽ Под действием оператора ĵ− ≡ ĵ1− + ĵ2− это состояние переходитв |j = j1 + j2 , m = j1 + j2 − 1⟩. С учётом (8.17)√ĵ− |j1 + j2 , m = j1 + j2 ⟩ = 2(j1 + j2) · | j1 + j2 , m = j1 + j2 − 1⟩ ≡≡ (ĵ1− + ĵ2−)|j1 , m1 = j1 ⟩|j2 , m2 = j2 ⟩ =√√= 2 j1 · | j1 , m1 = j1 − 1⟩|j2 , m2 = j2 ⟩ + 2 j2 · | j1 , m1 = j1 ⟩|j2 , m2 = j2 − 1⟩.Глава 12. Сложение моментов196Отсюда следует√√| j1+j2 , j1+j2−1⟩ =j1· | j1 , j1 − 1⟩|j2 , j2 ⟩ +j1 + j2j2· |j1 , j1 ⟩|j2 , j2 − 1⟩.
(12.6а)j1 + j2Из двух векторов состояний |I⟩, стоящих в правой части этого равенства, можносформировать другой вектор состояния, ортогональный к (12.6а). Для этого состояния снова имеем m = j1 + j2 − 1, но для него эта величина – наибольшее значениеm. Поэтому оно соответствует j = j1 + j2 − 1, т. е.√√j2j1|j1 + j2 −1, j1 + j2 −1⟩ =·| j1 , j1−1⟩|j2 , j2 ⟩−·|j1 , j1 ⟩|j2 , j2−1⟩. (12.6б)j1 + j2j1 + j2▽ Дальнейшее действие оператора ĵ− на состояния (12.6) даёт состояния|j1 + j2 , j1 + j2 − 2⟩ и |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2⟩.
Эти два новых состояния – суперпозиции состояний старого базиса |j1 , j1−2⟩|j2 , j2 ⟩, |j1 , j1−1⟩|j2 , j2−1⟩, |j1 , j1 ⟩|j2 , j2−2⟩.Сформированное из этих базисных состояний третье состояние, ортогональноек двум первым, есть | j1 + j2 −2, j1 + j2 −2⟩.▽ Этот процесс появления новых значений j продолжается до тех пор, покас уменьшением m увеличивается число различных базисных функций|j1 , m1 ⟩|j2 , m2 = m − m1 ⟩, т. е. до m = j1 − j2 (12.4б).Итак, задача в принципе решена. Задача 10.5 даёт другой метод её решения.Коэффициенты Клебша–Гордана можно найти и в многочисленных таблицах.∇ На языке теории представлений групп векторы состояний с моментом jреализуют (2j + 1)-мерное неприводимое представление группы вращений.
Мы решили здесь задачу о разложении произведения двух представлений по неприводимым. Полученное решение означает, что произведение неприводимых представленийразмерностей 2j1 + 1 и 2j2 + 1 разбивается на сумму неприводимых представленийс размерностями 2 j + 1, где j пробегает значения j1 + j2 , j1 + j2 − 1, ..., |j1 − j2 |.Важный частный случай. Для пары частиц со спином 1/2 волновую функциюсостояния с суммарным спином 0 в обозначениях § 10.2 можно записать в виде|0, 0⟩ =|(1)+⟩|(2)−⟩ − |(1)−⟩|(2)+⟩√.2Здесь значки (1) и (2) в обозначениях векторов отмечают номера частиц.(12.7)12.2.
Матричные элементы скаляров и векторов§ 12.2.197Матричные элементы скаляров и векторов12.2.1. Правила отбораДля атома в целом момент импульса сохраняется. Поэтому его состояния можно классифицировать по значениям полного момента импульса j и его проекции наизбранную ось m, обозначая через α остальные, не зависящие от момента характеристики. Нередко в этот набор полезно добавить значение чётности состояния P = ±1.В изучаемые ниже вероятности переходов входят матричные элементы оператороввозмущения V̂ по этим состояниям |αPjm⟩. В свою очередь, связанная с устройством нашей системы часть оператора возмущения может быть вектором (например,вектор электрического дипольного момента во взаимодействии нейтрального атомас внешним электрическим полем), псевдовектором (например, вектор магнитного момента во взаимодействии атома с магнитным полем), скаляром или псевдоскаляром,тензором второго ранга (например, тензор квадрупольного момента во взаимодействии нейтрального атома с внешним электрическим полем) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
