1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Обобщение на случай частиц разных сортов не вызывает трудностей.Обозначим через Ĥ (1) гамильтониан, описывающий одну частицу, и перенумеруемсобственные состояния одночастичного гамильтониана Ĥ (1) числами 1, 2, ... (Обычноимеют в виду систему в конечном объёме. Это позволяет вести обсуждение в терминах дискретного спектра.) Состояние системы однозначно определяется записьютакого послойного пространства состояний и набором чисел заполнения – чиселчастиц, находящихся в каждом из состояний (для каждого из слоев).При учёте взаимодействия числа заполнения начинают эволюционировать со временем, и эта эволюция описывается гамильтонианом, записанным в представлениивторичного квантования.1 Важнымвариантом является использование в качестве такого базиса набора состояний системы приt → −∞ или t → ∞ – асимптотических состояний. Предполагают, что в эти моменты отдельныечастицы разошлись так далеко, что взаимодействием между ними можно пренебречь и что, к тому же,выключены взаимодействия, приводящие к спонтанным переходам.13.2.
Понятие о вторичном квантовании207Вторичным квантованием называется запись волновой функции в представлении чисел заполнения N1 , N2 , . . ., т. е. в виде таблицы значений этихчисел |Φ⟩ ≡ |N1 , N2 , . . .⟩, и соответствующая запись операторов.Этот метод развивает подход, использовавшийся при описании гармоническогоосциллятора. Состояние осциллятора |n⟩ полностью определяется заданием числа n.Мы выяснили, что это состояние можно рассматривать как состояние с n вибронами,которое получается из основного n-кратным действием оператора рождения â+ наосновное состояние |0⟩.Подобным образом переходы между различными состояниями многочастичнойсистемы в методе вторичного квантования описываются операторами рожденияи уничтожения, как и в задаче об осцилляторе.
В случае бозе-частиц их матричные элементы имеют такой же вид, как и для осциллятора (4.11):√âi |N1 , N2 , . . . , Ni = n, . . .⟩ = n |N1 , N2 , . . . , Ni = n − 1, . . .⟩,(13.10)√â+i |N1 , N2 , Ni = n, . . .⟩ = n + 1 |N1 , N2 , . . . , Ni = n + 1, . . .⟩.В частности, любое состояние можно получить действием необходимого числа операторов рождения на основное состояние |0⟩ (состояние, в котором нет частиц):|N1 , . .
. , Nk , . . .⟩ = √( + ) N1( ) Nk1â1· . . . · â+· . . . |0⟩ .kN1 ! · . . . · Nk ! · . . .(13.11)Переход одной частицы из состояния «a» в состояние «b» описывается оператором â+b âa :=√â+b âa | . . . , Na = na , . . . , Nb = nb , . . .⟩ =(nb + 1)na . . . , Na = na − 1, . . . , Nb = nb + 1, . . .⟩ .По определению, операторы рождения и уничтожения, действующие на разныесостояния, коммутируют друг с другом. Поэтому имеют место естественные обобщения перестановочных соотношений (4.4)[âi , â+k ] = δik ,[âi , âk ] = 0 ,+[â+i , âk ] = 0 .(13.12)Для ферми-частиц числа заполнения Ni могут принимать только значения0 и 1, и соответствующие операторы рождения и уничтожения антикоммутируют(что гарантирует выполнение принципа Паули), т. е.++ ++ +âi â+k + âk âi = δik , âi âk + âk âi = âi âk + âk âi = 0.(13.13)♢ Далее нередко переходят к операторам ψb в q-представлении (ср.
(1.17)):∑∑ψ̂ (q) =âi ⟨q|i⟩, ψ̂ + (q) =⟨i|q⟩ â+(13.14)i .iiЭти соотношения выглядят как разложение волновой функции по базису ⟨q|i⟩, коэффициенты которого â стали операторами.Глава 13. Тождественность частиц208Если базис ⟨q|i⟩ – ортонормированный, то перестановочные соотношения (13.12)принимают вид[ψ̂ (q), ψ̂ (q ′)] = 0,[ψ̂ (q), ψ̂ + (q ′)] = δ (q − q ′).(13.15)Разумеется, подобные операторы должны быть введены для каждого сорта встречающихся частиц. Как отмечено выше, для фермионов и бозонов алгебры немногоразличаются.§ 13.3.Квантование электромагнитного поляВажное применение развитой выше схемы доставляет случай электромагнитногополя.
Мы представим поле как сумму внешнего поля, задаваемого макроскопическими источниками, и поля излучения, зависящего от координат и времени, например,E = Eex + Erad при ⟨Erad ⟩ = 0.Поскольку уравнения электродинамики (уравнения Максвелла) линейны, можно отдельно изучать эти уравнения для внешнего поля и для поля излучения. При этомпосле усреднения по объёму и (или) времени, например, энергия поля складываетсяиз энергий внешнего поля и поля излучения (интерференционный вклад, отвечающий их произведению, после усреднения обращается в ноль).
Ниже мы считаем, чтовнешние поля учтены в описании состояний изучаемых атомных систем, и подробнорассматриваем только поле излучения, не выписывая более значка rad .Прежде чем выполнять квантование, мы обсудим случай неквантованного электромагнитного поля (см. курс электродинамики, например, [17]).13.3.1. Неквантованное электромагнитное полеОписание переменного электромагнитного поля, используемое в задачах квантовой механики, по форме немного отличается от того, что использовалось в курсеэлектродинамики. Главное отличие иллюстрируется примером плоской электромагнитной волныE(r, t) = E0 cos(ωt − kr + ϕ),B(r, t) = B0 cos(ωt − kr + ϕ).(13.16а)В курсе электродинамики взамен этого поля изучают нефизический объект – комплексное поле−i(ωt−kr+ϕ)EED (r, t) = EED,0 eE = Re EED ,−i(ωt−kr+ϕ)BED (r, t) = BED,0 eB = Re BED .(13.16б)Для этих комплексных полей EED , BED многие вычисления упрощаются.
Физическиевеличины определяются как действительные части получающихся выражений.♢ В задачах квантовой механики такой способ действий неудобен. Дело в том, чтоволновая функция, вообще говоря, комплексна. Поэтому «выпутывание» физического ответа с помощью взятия действительной части становится затруднительным,и не используется.13.3. Квантование электромагнитного поля209В квантовой механике исходным является преобразование Фурье−i(ωt−kr+ϕ)E(r, t) = EQM+ E∗QMe i(ωt−kr+ϕ) ,0 e0−i(ωt−kr+ϕ)B(r, t) = BQM+ B∗QMe i(ωt−kr+ϕ) .0 e0(13.16в)Видно, что введённые таким способом амплитуды различаются вдвое.QMEED0 = 2E0 ,QMBED0 = 2B0 .(13.16г)В большинстве вычислений достаточно следить за положительно-частотной ча−i(ωt−kr+ϕ)стью EQM. Для неё многие выкладки выглядят так же, как в курсе0 eэлектродинамики (а отрицательно-частотная часть получается из положительночастотной с помощью комплексного сопряжения).
В частности, уравнения Максвелла имеют вид [k × B] = (ω /c)E и [k × E] = −(ω /c)B. Однако, в силу (13.16г)некоторые из получающихся ответов по форме отличаются от привычных в электродинамике множителем 2 или 4. Например, для монохроматической волны усреднённый по времени вектор потока энергии (вектор Пойнтинга) естьS=c k ED 2c k QM 2c[E × B] =|E | ≡|E | .4π8π k 02π k 0(13.17)• Описание электромагнитного поля с помощью шести компонент электрического и магнитного полей избыточно. Как известно, его можно заменить описаниемс помощью четырёхмерного вектора-потенциала Aµ , через который электрическоеи магнитное поля выражаются соотношениямиE = −∇ϕ − ∂A/ (c∂t),B = [∇ × A] ,(13.18)и который в случае плоской волны имеет Фурье-разложениеAµ (r, t) = AµQMe −i(ωt−kr+ϕ) + Aµ∗QMe i(ωt−kr+ϕ) .00(13.19)Далее мы используем разложение Фурье (13.16в), опуская значок QM .♢ Однако вектор-потенциал – релятивистский вектор с четырьмя компонентами,а электромагнитная волна в вакууме имеет лишь две независимых поляризации.
Значит, избыточным является и такое описание, надо избавиться ещё от двух лишнихкомпонент.Для этого полезно вспомнить, что один и тот же набор наблюдаемых полей можно описать с помощью различных выражений для векторного потенциала (градиентная инвариантность). Эта неоднозначность обсуждается в § 11.4. Для болееудобного решения различных возникающих задач можно по-разному распоряжатьсяэтой неоднозначностью. В частности, дальнейшее описание удобно вести в кулоновской калибровке (11.30), где скалярный потенциал ϕ = 0 и ∇A = 0.
При этомвекторный потенциал удовлетворяет волновому уравнению(1/c 2)∂ 2 A/∂t 2 − △ A = 0,div A = 0.(13.20)Глава 13. Тождественность частиц210• В кулоновской калибровке (11.30) связь положительно-частотных амплитудполей с положительно-частотными амплитудами вектора-потенциала и следствияиз уравнений Максвелла для полей записываются в виде хорошо известного наборасоотношенийE = iωA/c,B = i [k × A],2ω2 = c 2 k ,(kA) = 0.(13.21)Последнее соотношение отвечает условию кулоновской калибровки, оно описываеттот факт, что вектор A ортогонален вектору k, т. е. имеет лишь две независимыхкомпоненты (две поляризации).Пару векторов поляризации ε(k, λ) (λ = 1, 2) выбирают обычно так, что ониобразуют базис в плоскости, ортогональной вектору k, т. е.
удовлетворяют условиямпоперечности, ортогональности и полноты,(k · ε(k, λ)) = 0, (ε∗ (k, λ) · ε(k, λ′)) = δλλ′ ,∑ ∗ki k jεi (k, λ)ε j (k, λ) = δi j − 2 .kλ(13.22)В частности для волны, распространяющейся вдоль оси z, для которой k = (0, 0, k),базис линейных поляризаций имеет вид εℓk1 = (1, 0, 0), εℓk2 = (0, 1, 0), а базис цирку√лярных поляризаций имеет вид εrk± = (∓1, i, 0) / 2.Окончательно, Фурье-разложение векторного потенциала принимает вид]∑[A(r, t) =A(k, λ)e −i(ωt−kr) +A∗ (k, λ)e i(ωt−kr) , A(k, λ) = A(k, λ)ε(k, λ). (13.23)k,λ13.3.2.
Электромагнитное поле в кубической полости.Осцилляторы поляРассмотрим электромагнитное поле внутри кубической полости со стороной Lс периодическими граничными условиями. Это поле – набор плоских волн с дискретным рядом значений компонент волнового вектора ki =∫ 2πni /L, где ni – целые′числа, для которых выполняется условие ортогональности e i (k−k )r d 3 r = L3 δk,k′ .Энергию поля H E = L3 (E2 + B2) / (8π) для каждой моды колебаний (компонентыФурье с заданным волновым вектором и поляризацией) можно записать с помощью(13.18), (13.21) в виде1()L3 1 ∂A(k, λ, t) ∂A∗ (k, λ, t)2E∗H (k, λ, t) =+k A(k, λ, t)A (k, λ, t) ε(k, λ)ε∗ (k, λ).4π c 2∂t∂t(13.24)Таким образом, электромагнитное поле в нашей полости выглядит как набор независимых гармонических осцилляторов – осцилляторов поля с частотой ω = ck– по два для каждого k.
Величина A(k, λ, t) играет роль обобщённой координаты, соответствующаяскоростьесть ∂A(k, λ, t) /∂t и «масс» – L3 / (4πc 2). Величина( 3)2P(k, λ, t) ≡ L / (4πc ) ∂A(k, λ, t) /∂t есть обобщённый импульс, канонически сопряжённый нашей обобщённой координате.1Всилу условия калибровки (kA(k, λ, t)) = 0 мы имеем [k × A(k, λ, t)] 2 = k2 A2 (k, λ, t).13.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
