1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Чтобы найти ψ00 , достаточнорешить систему уравнений â1z ψ00 (x, y) = â2z ψ00 (x, y) = 0, что даёт( 2)1/4()4c ω1 ω2ψ00 (x, y) =exp −c(ω1 x12 + ω2 x22) + ic12 xy , где2π√2m ωB + (ω1 + ω2) 2mωB ω2eBω2c=,c12 =≡.2~(ω1 + ω2)~(ω1 + ω2)~c(ω1 + ω2)(11.25)Выражения для волновых функций и операторов рождения и уничтожения меняются с изменением калибровки векторного потенциала (см. § 11.4). В частности, векω2ω1торный потенциал AR = B(−y,x, 0), получается из использованногоω1 + ω2 ω1 + ω2выше калибровочным преобразованием ÂR = ÂL + ∇f , где f = −Bxyω2 / (ω1 + ω2).В соответствии с (11.29) это даёт добавку к фазе волновой функции −e f/~c, полностью «убивающую» вклад c12 xy в показателе экспоненты (11.25).• При изменении величины поля система проходит через состояния, обладающие некоторыми симметриями, не видимыми в исходном гамильтониане (скрытыесимметрии).
Если поле Br таково, что собственные частоты оказываются в рациональном отношении Ω1 = rΩ2 , где r = m/n, а m и n – целые, то соответствующиеуровни энергии вырождены (обратим внимание, что простой симметрии с r = 1 невозникает). При этом значении поля в системе появляются новые сохраняющиеся(1)(2)операторы Ĉ2 и Ĉ1 . Эти значения поля и операторы таковы:B=mce√ω1 ω2 (r − 1) 2 /r − (ω1 − ω2) 2 ;(1)mĈ2 = â+n1z â2z ,(2)nĈ1 = â+m2z â2z .(11.26)В частности, при r = 2 спектр энергий есть ~Ω2 (N + 3/2), где N = 2n1 + n2 ,и кратность вырождения равна n + 1 при N = 2n и при N = 2n + 1.11.3. Движение спина в магнитном поле§ 11.3.187Движение спина в магнитном полеУравнение движения спина электрона в магнитном поле (с учётом перестановочных соотношений (10.1)) имеет видi~ds= [s, Ĥ ] ≡ −i[µs × B] = −ige µB [s × B] .dt(11.27)Согласно этому уравнению, спин прецессирует вокруг направления магнитного поля,т.
е. компонента спина, направленная вдоль поля, неизменна, а поперечная компонента вращается с угловой скоростью ω = (ge /2) (µB /~)B = (ge /2) (eB) /mc.Это явление можно описать и по-другому. Для этого рассмотрим поле, направленное по оси z и спин, первоначально направленный по оси x. В базисе проекций( на)1 1ось z спиновая волновая функция в первый момент имеет вид χ(t = 0) = √.2 1Энергии, отвечающие проекциям спина на поле, равным +1/2 и −1/2, различны,это E± = ∓(ge /2)µB B. В соответствии с уравнением Шредингера, зависящим отвремени, каждая из этих компонент меняется со временем по разному,()( i(g /2)µ t/~ )1 e −iE+ t/~1e e Bχ(t) = √≡√−iE− t/~−i(ge /2)µB t/~ee.22В соответствии с решением задачи 9.5 это и означает, что направление спина меняется со временем по закону (φ – азимутальный угол)φ = t(E− − E+) /~ ≡ ge µB Bt/~ = ge (eB/mc)t ,т.
е. спин вращается с угловой скоростью ge (eB/mc).♢ Уравнение для скорости электрона в однородном магнитном полеdv/dt = (e/mc) v × B похоже на (11.27). Вектор скорости прецессирует вокругнаправления поля B с циклотронной частотой eB/mc (11.16). Поскольку ge оченьблизко к 2, но все же не равен 2, проекция спина на направление v меняется современем, хотя и очень медленно. Если в начале спин был параллелен импульсу, топосле одного оборота их направления станут немного различаться, и совпадут толькочерез N ≈ 1/ (ge − 2) ≈ 860 оборотов.
Этот эффект позволяет управлять ориентацией спина электрона в ускорителе. С другой стороны, если измерить точный моментвремени, когда параллельность восстановится, например, через 1010 оборотов, томожно измерить величину (ge − 2) /2 с точностью около 10−10 (для кольца длиной3 м при энергии электронов больше 10 МэВ это потребует всего лишь 100 секунд).• Если магнитное поле зависит от координат, то даже для нейтральной частицыс ненулевым магнитным моментом импульс начинает зависеть от координаты. Вычисляя по общим правилам dp/dt = [p, Ĥ] /i~ с учётом (10.1), получаем хорошоизвестное в электродинамике соотношениеdp= −∇ { gµB (sB)} .dt(11.28)• Если движение квазиклассично, усреднение уравнения движения для спина поволновому пакету даёт для средних значений ds/dt = (ge/2mc)s×B.
Поскольку намагниченность вещества M определяется спинами его электронов, то отсюда следуетГлава 11. Движение в магнитном поле188уравнение Ландау–Лифшица для намагниченности (отличием g от 2 пренебрегаем):dMe=[M × B] ≡ [ω B × M].dtmc§ 11.4.Калибровочная инвариантностьИз курса электродинамики известно, что вектор-потенциал определяется черезизмеримую величину – напряжённость поля только с точностью до градиента произвольной функции (калибровочная, или градиентная, инвариантность уравнений электродинамики). Эта неоднозначность обобщает известную неоднозначностьв определении энергии – с точностью до выбора начала отсчёта.Переходя к квантовой механике, заметим, что уравнение Шредингера для частицы с зарядом e не меняет свою форму при одновременном преобразовании полей иволновой функции с помощью произвольной функции координат и времени f(r, t):A → A + ∇ f(r, t) ,φ(r) → φ −1 ∂ f(r, t),c ∂tψ → ψ · e ie f(r, t) /~c .(11.29)(В четырехмерной записи Aµ = (φ, A) (11.29) имеет вид Aµ → Aµ − ∂ f/∂xµ .)Такое преобразование называют калибровочным.
Независимость наблюдаемыхфизических результатов теории от калибровочного преобразования (11.29) называюткалибровочной (gauge) инвариантностью квантовой механики.Калибровочная инвариантность позволяет накладывать на вектор-потенциал дополнительные (калибровочные) условия, делающие более удобными те или иныевычисления. В частности, во многих задачах удобно использовать∑ µ релятивистскиинвариантное условие Лоренца (калибровку Лоренца)∂A /∂x µ = 0. В друµгих задачах удобно использовать условия, которые не являются релятивистски инвариантными, поскольку содержат в себе какой-то избранный вектор nα .
Примертакого типа даёт используемая нами в §13.3 кулоновская калибровка, в которойвыделенную роль играет ось времени:φ = 0,div A = 0 .(11.30)Можно стартовать и с инвариантности вероятностей относительно измененияфазы волновой функции (одинаковой во всем пространстве и не зависящей от времени). Естественное обобщение этого – возможная инвариантность относительнофазы, меняющейся в пространстве и времени ψ → ψe iα(r) . Чтобы такая инвариантность имела место, изменения в величине p̂ 2 ψe iα(r) должны быть скомпенсированы изменениями в слагаемых, отвечающих взаимодействию. Электромагнитное полес выписанными преобразованиями (при α(r) = ef(r)) как раз и компенсирует эти изменения.
Поэтому электромагнитное поле можно рассматривать как компенсирующее поле по отношению к нашим преобразованиям. Если бы мы не знали заранеео его существовании, мы предположили бы, что такое компенсирующее поле должнобыть в Природе.Подобная идея для калибровочных преобразований более общего вида была выдвинута в 1954 г.
Янгом и Миллсом. Она составила основу современного описания11.5. Эффект Ааронова–Бома189взаимодействий элементарных частиц (единая теория электромагнитных и слабыхвзаимодействий и теория ядерных сил – квантовая хромодинамика). В теории электрослабых взаимодействий частицами компенсирующих – калибровочных – полейявляются фотон и его аналоги – W - и Z-бозоны со спином 1 и с массами в 85–100 раз больше массы протона.
Впервые они наблюдались в 1970-х гг. В квантовойхромодинамике частицы калибровочного поля называются глюонами, они не могутулетать далеко от своих источников.§ 11.5.Эффект Ааронова–БомаВ классической механике и электродинамике движение частиц полностью определялось напряжённостями полей в той точке, где находится частица. Потенциалыне определяются однозначно этими полями, они вводились как вспомогательные понятия, удобные для глобального описания и позволяющие упростить некоторые формулы. В квантовой механике эволюцию волновой функции определяет гамильтониан(11.6), куда явным образом входит векторный потенциал. Таким образом, кажется,что в квантовой механике реальное движение частиц зависит от вида потенциала,включая его калибровку.
Мы покажем, что это не так. Взамен мы обнаружим, какпокажется на первый взгляд, что на движение в данной точке влияет поле, не локализованное в этой точке. Мы увидим, что и этой несообразности нет.Начнём с важного замечания. При наличии электромагнитного поля изменениеквазиклассической фазы волновой функции на пути L, вычисляемое так же, какв § 6.1, меняет свою форму по сравнению с тем, что получалось в том разделе,∫{ ∫}[p(r) − eA(r) /c] drp(r)drψ ∝ exp i⇒ ψ ∝ e iβL , βL =.(11.31)~~Здесь интегралы берутся по классической траектории электрона L.Содержание эффекта удобно продемонстрировать на примере эксперимента1 ,схема которого приведена на рис.
11.1. Это – обычный эксперимент по наблюдению дифракции электронов на двух щелях (источник слева, экран справа). Единственное отличие от стандартной схемы – бесконечно длинный соленоид небольшогорадиуса (расположенный перпендикулярно движению частицы), внутри которого имеется магнитныйпоток Φ и который окружён непроницаемым для частиц цилиндрическим экраном. Оба классическихпути движения частиц проходят по пространству, гдедействующих на электроны полей нет (за исключением полей, формирующих щели). На первый взгляд,наблюдаемая дифракционная картина должна опре- Рис.11.1.Схемаопытаделяться только геометрической разностью хода наАаронова–Бома«верхнем» и «нижнем» показанных путях. В действительности наличие соленоида смагнитным потоком кардинально меняет картину.1 Впервые на возможность такого эффекта указали У. Эренберг и Р. Э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
