1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если добавить сюда слагаемое ~2 δ / (2mr 2) с малым коэффициентом δ ≪ 1, это отвечает переходу от целого ℓ к нецелой величинеℓ′ ≈ ℓ + δ / (2ℓ + 1). Воспользуемся теперь правилом дифференцированияэнергии⟨ 2 ⟩~ δδ ∂Enr ℓпо параметру (5.11), которое даёт (только при малых δ)=.2mr 22ℓ + 1 ∂ℓВспоминая ответ (9.19) с n = nr + ℓ + 1, найдём в атомных единицах⟨ ⟩21= 3.(9.23в)r 2 n,ℓn (2ℓ + 1)• Вычислим теперь среднее (по собственным состояниям атома водорода) значение любой степени радиуса∫⟨r k ⟩nℓ ≡ |Rnℓm |2 r k r 2 dr(9.24а)Это среднее определено при любых положительных значениях k. Для отрицательныхk интеграл (9.24а) может расходиться при малых r.
Асимптотическое поведение (9.7)показывает, что для сходимости интеграла необходимоk + 2ℓ + 3 > 0 .(9.24б)9.3. Кулоновская задача . Атом водорода165Запишем уравнение (9.15) с заменой κ = 1/n в виде F̂ Rnℓ = 0 и рассмотриминтеграл()∫∞ k+1 ′k−1 kr Rnℓ −r Rnℓ F̂ Rnℓ r 2 dr = 0.20Простое интегрирование по частям в правой части оставляет только средние значения степеней r, давая в итоге рекуррентное соотношение Крамерса[ 2]k+1 kk −1k−1− 2 ⟨r ⟩ + (2k + 1)⟨r ⟩ + k− ℓ(ℓ + 1) ⟨r k−2 ⟩ = 0 .(9.25)n4Используя найденные выше средние ⟨r k ⟩ с k = −1 и −2 из (9.23) и ⟨r 0 ⟩ = 1(условие нормировки), можно определить теперь средние для любого k.
В частности,⟨r⟩ =3n2 − ℓ(ℓ + 1)n4 + 2n2 − ℓ2 (ℓ + 1) 2, (∆r) 2 ≡ ⟨r 2 ⟩ − ⟨r⟩2 =, (9.26а)2⟨ ⟩411= 3(ℓ ̸= 0).(9.26б)3rn (ℓ + 1/2)ℓ(ℓ + 1)9.3.2. Атом в электрическом полеХарактерные электрические поля в атоме Eat ∼ Ry/eaB ≈ 3·109 В/см, а это значительно больше любого поля, которое создают в лаборатории. Поэтому практическивсегда воздействие внешнего поля на атом можно считать малым, и при вычислениииспользовать теорию возмущений. Сдвиг спектральных линий в электрическом поленазывают эффектом Штарка.В большинстве физически интересных задач в пределах атомной системы изменение поля ничтожно, т. е.
можно считать внешнее поле однородным. Мы направляемось z вдоль этого поля.Для атома в электрическом поле∑ возмущение V = −dE, где d – электрическийдипольный момент атома, d = e (ra − R), где R – координата ядра, ниже мыaпомещаем его в начало координат. Для атомного состояния |N ⟩ поправка первогопорядка к энергии есть −⟨N |dE|N⟩ ≡ −⟨N |dz |N ⟩|E|.
Для почти всех атомных систем стационарные состояния одновременно являются собственными состояниямимомента импульса, и потому имеют определённую чётность. В то же время при отражении координат (замена переменных под интегралом) дипольный момент меняетзнак, т.
е. меняет знак и величина ⟨N|dz |N ⟩, а это значит, что она равна нулю. Этоозначает, что нет поправки к энергии, линейной по полю. Разумеется, существуетпоправка (квадратичная по полю) во втором порядке теории возмущений. На классическом языке это соответствует «наведенному» дипольному моменту, возникшемупод действием того же поля.Приведённое рассуждение не работает для атома водорода при n > 1, когдаимеется дополнительное вырождение по ℓ, т. е. и по чётности. Электрическое полеснимает это вырождение, и изменение энергии уровней пропорционально полю.Глава 9.
Центрально-симметричное поле166• Квадратичный эффект Штарка. Поляризуемость.Итак, поправка к энергии основного состояния любого атома даётся выражениемвторого порядка теории возмущений (5.8):∑ |⟨0|dE|p⟩|2E2∆E = E (2) =≡ −βP a3B z .002p̸=0 E0 − E pВеличина α ≡ βP a3B называется поляризуемостью:βP =2 ∑ ⟨0|dz |p⟩⟨p|dz |0⟩2 ∑ |⟨0|dz | p⟩|2≡.30aB p̸=0E p0 − E0a3B p̸=0 E p0 − E00(9.27)Все слагаемые этой суммы положительны. Поэтому можно получить для поляризуемости простые оценки без детальных вычислений.
Действительно, если заменитьвсе знаменатели на наименьший, т. е. заменить E p0 − E00 → E10 − E00 , то правая часть2 ∑ |⟨0|dz |p⟩|2увеличится, βP < 3. Учитывая, что ⟨0|dz |0⟩ = 0, сумму в числителеaB p̸=0 E10 − E00можно преобразовать, используя полноту системы состояний |p⟩, к виду∑∑|⟨0|dz |p⟩|2 ≡⟨0|dz |p⟩⟨p|dz |0⟩ = ⟨0|dz2 |0⟩ .p̸=0p̸=0Если пренебречь состояниями непрерывного спектра (дающими очень малыйвклад в сумму1), то наибольший возможный знаменатель получается при E p = 0.В итоге получаем оценку2⟨0|dz2 |0⟩⟨0|dz2 |0⟩.
βP a3B < 2.|E0 |E1 − E0(9.28)В частном случае атома водорода |E0 | = Ry = e 2 / (2aB), E1 − E0 = 3Ry/4и с помощью волновой функции (9.20) нетрудно вычислить, что ⟨0|dz2 |0⟩ = 2e 2 a2B .В итоге наша оценка принимает вид 4 < βP < 16/3. Точный расчёт даёт βP = 4, 5.• Эффект Штарка для атома водорода с n = 2.Возбуждённые состояния атома водорода вырождены по ℓ, т.
е. и по чётности.Под действием электрического поля атом переходит в состояния, которые не являются собственными функциями ℓ. Простейший пример – состояние с n = 2.(Случаи n = 3, 4 обсуждаются в задаче 9.13.) В отсутствие поля четыре вырожденных состояния с ℓ = 0 и ℓ = 1 образуют базис состояний, имеющих определённые чётности (9.21). Запишем оператор возмущения в виде матрицы, как этоделалось в § 5.4.
Все диагональные матричные элементы возмущения обращаютсяв ноль. Под действием возмущения V = eEz ≡ eEr cos θ величина ℓz сохраняется.Значит, матричные элементы ⟨2, ℓ, 0|V |2, 1, ±1⟩ и ⟨2, ℓ, ∓1|V |2, 1, ±1⟩ обращаютсяв ноль. В последние два матричных элемента входят состояния с противоположными чётностями и одинаковым значением m = 0.
Поэтому они отличны от нуля:1 Связанное состояние |0⟩ локализовано вблизи r = 0, состояния же непрерывного спектра |k⟩ нелокализованы в какой-нибудь области пространства. Поэтому матричные элементы ⟨k|dz |0⟩ очень малы.9.3.
Кулоновская задача . Атом водорода167⟨2, 1, 0|V |2, 0, 0⟩ = ⟨2, 0, 0|V |2, 1, 0⟩∗ = i∆, ∆ = 3eEaB . В итоге секулярное уравнение принимает вид (E (1)) 2 [(E (1)) 2 − ∆2 ] = 0. Его решения дают сдвиг уровней(1)в электрическом поле. Два состояния |2, 1, ±1⟩ не смешиваются, для них E1,2 = 0.Два других состояния |2, ℓ, 0⟩ смешиваются, и уровни сдвигаются, обеспечивая ли(1)нейный эффект Штарка: E3,4 = ±∆. При этом новые состояния имеют вид⟩ 3|2, 0, 0⟩ ∓ |2, 1, 0⟩√.= 42Итак, наше возмущение снимает вырождение частично – четырехкратно вырожденное состояние (квартет) расщепилось на два синглета и один дублет.9.3.3.
Силы Ван-дер-ВаальсаРассмотрим теперь взаимодействие нейтральных атомов, находящихся на расстоянии R, большом по сравнению с их размерами. Здесь можно пользоваться адиабатическим приближением. Это приближение основано на малости отношениямассы электрона к массе атома как целого. Мы следим за «быстрым» движениемвзаимодействующих электронов, считая движение атомов в целом медленным. Таким образом, в этом приближении мы считаем, что на электроны каждого из атомовдругой атом воздействует как целое, и атомы не обмениваются электронами.На больших расстояниях R два атома взаимодействуют как диполиdi = eri (i = 1, 2), и потенциальная энергия взаимодействияd1α d2β3(d1 n) (d2 n) − d1 d2V̂ =≡Nαβ ≡ Ryv|R|3R3(n = R/R ,(aBR)3,)Nαβ = 3nα nβ − δαβ .Поправку к энергии основного состояния за счёт взаимодействия можно записатьв виде( )6∑ ⟨0|V |n1 n2 ⟩⟨n1 n2 |V |0⟩aBU(R) =.≡ −2RyηV2E0 − En1 − En2RУгловое усреднение с учётом сферической симметрии атомов даётηV =22|p⟩|2 |⟨0|d2z|q⟩|23 ∑ |⟨0|d1z.E p + Eq − 2E0a6B Ry pq(9.29)Вычисление, подобное сделанному для поляризуемости, приводит к неравенствам3 ⟨0|dz2 |0⟩23 ⟨0|dz2 |0⟩2>η&.V2Rya6B E1 − E02Rya6B |E0 |Для взаимодействия двух атомов водорода в основном состоянии это даёт 8 > η & 6.Аккуратный расчёт даёт ηV ≈ 6, 5.168Глава 9.
Центрально-симметричное поле§ 9.4. Повышенная симметрия некоторых трёхмерныхсистемНапомним, что собственные состояния кулоновской задачи и изотропного трёхмерного осциллятора имеют более высокую степень вырождения, чем даёт общаязадача о сферически симметричном потенциале. В соответствии с (2.12) это означает, что такие системы обладают более высокой симметрией, чем симметрия группытрёхмерных вращений O(3), в них помимо операторов Ĥ и L̂i существуют сохраняющиеся операторы, коммутирующие с гамильтонианом и не коммутирующие со всемикомпонентами момента импульса1 .Чтобы убедиться в существовании «оснований для дополнительного вырождения», в соответствии с (2.12) достаточно только убедиться в существовании операторов, коммутирующих с гамильтонианом (операторов сохраняющихся величин),которые не коммутируют с компонентами момента импульса.
Этим мы и ограничиваемся для изотропного трёхмерного осциллятора. Для кулоновской задачи мыещё и находим с помощью этих дополнительных сохраняющихся операторов уровниэнергии и кратность их вырождения, не прибегая к решению дифференциальногоуравнения.9.4.1. Изотропный осцилляторДля трёхмерного симметричного осциллятора мы построим дополнительные сохраняющиеся операторы в терминах операторов рождения и уничтожения (гл.
4),снабжая их индексами 1, 2, 3 ≡ x, y, z. В этих терминах гамильтониан имеет вид()Ĥ = ~ω N̂ + 3/2 , N̂ = â†1 â1 + â†2 â2 + â†3 â3 .(9.30)Удобно обозначить собственное состояние осциллятора в базисе собственных функций осцилляторов по отдельным осям через |n1 , n2 , n3 ⟩ ≡ |n1 ⟩|n2 ⟩|n3 ⟩.▽ Энергия состояния E = ~ω (n + 3/2), где n = n1 + n2 + n3 , при заданном nсостояния вырождены по различным значениям ni . Простой подсчёт показывает, чтократность этого вырождения составляет K = (n + 1) (n + 2) /2.▽ В состояниях с данным значением n представлены все значения моментаℓ = n, n − 2, n − 4....
Чтобы убедиться в этом, достаточно просуммировать кратности вырождений перечисленных значений ℓ и сравнить с величиной K .▽ Наконец, при чётном n состояния чётны, при нечётном n – нечётны. Действительно, при чётном n либо все числа ni – чётные, тогда при отражении координатвсе волновые векторы не меняют знак. Другая возможность – например n2 чётно,а n1 и n3 нечётны. Тогда при отражении |n2 ⟩ не меняет знак, а каждый из векторов|n1 ⟩ и |n3 ⟩ меняет знак так, что их произведение |n1 , n2 , n3 ⟩ сохраняется.Точно так же, при нечётном n либо все числа ni – нечётные, либо одноиз них нечётно, а два – чётные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
