1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 42
Текст из файла (страница 42)
обсуждение на стр. 235.Найти поправки к энергии атома водорода, обусловленные конечными размерамиядра.При каких значениях коэффициентов À и Â в векторе состояния атома водорода|N ⟩ = A|2, 1, 0⟩ + B|2, 0, 0⟩ среднее значение дипольного момента ⟨N |er|N ⟩ = ⟨d⟩максимально? Найти величину ⟨d⟩ при этом.Атом водорода помещён в однородное электрическое поле с потенциалом V = eEz(возмущение). Какие матричные элементы возмущения по вырожденным состояниям с n = 3 и n = 4 отличны от нуля? На какие состояния расщепился уровеньс n = 3, с n = 4? Каковы кратности вырождения получившихся уровней?Улучшить оценки (9.28), (9.29) для атома водорода в основном состоянии, включивв ответы точно вклады первых возбуждённых состояний.Найти поправки к уровням энергии с n = 1, 2 для потенциалов U = − ge −µr /r2(Юкава) и U = −ge −(µr) /r, рассматривая отклонение поля от кулоновскогокак возмущение. Специально рассмотреть случай µaB ≪ 1.
Решить ту же задачудля n = 1 вариационным методом, используя водородоподобные и осцилляторныепробные волновые функции. Сравнить результаты.Глава 10Спин§ 10.1.Основные фактыКвантовая частица может иметь квантовые внутренние степени свободы, отсутствующие у классических частиц. Их квантовая природа означает, что эти величиныисчезают в классическом пределе.
Поэтому такие величины должны быть пропорциональны постоянной Планка ~.Пример. У ядра есть собственный орбитальный момент L. В классическомслучае L = mvr стремится к нулю при r → 0. В квантовой теории этот момент остается конечным и при исчезающе малых размерах ядра, посколькуединица квантования момента ~ от размеров ядра не зависит.Внутренние степени свободы не связаны с какими-либо пространственными координатами. В то же время полученный ранее вывод о том, что значения моментаесть ~ ℓ с целым ℓ, основывался на связи оператора момента с пространственнымикоординатами. Если теперь принять, что эта внутренняя степень свободы подобнамоменту импульса, т.
е. описывается переменными с перестановочными соотношениями (8.3), то с учётом (8.15) переменная, отвечающая внутренней степени свободыи подобная квадрату момента, может принимать значения ~2 ℓ(ℓ + 1) не только с целыми ℓ, но и с ℓ = 1/2, 3/2, 5/2, ... и соответствующими собственными значениямиоператора ℓz = ℓ, ℓ − 1, ....В опытах Штерна и Герлаха нейтральные атомы пролетали через неоднородное магнитное поле, где на атом действует сила F = µz ∂Bz /∂z, где µ – векторсобственного магнитного момента электрона, а B = (0, 0, B) – магнитное поле.Если бы движение описывалось законами классической механики, эта сила принимала бы любые значения в пределах ±µ∂Bz /∂z, что приводило бы к размытию напластинке линии, вдоль которой осаждаются пролетевшие атомы.
В соответствиис изложенным в §11.1, квантованность значений µz приводит к появлению на пластинке 2ℓ + 1 полос. Для водорода и серебра на пластинке оказалось по две полосы, что формально соответствует ℓ = 1/2. Такое нецелое значение ℓ невозможносвязать с моментом импульса, обсуждавшимся в гл. 8. Его можно связать толькос внутренней степенью свободы электрона, похожей на момент. Её назвали спином.Глава 10. Спин174• В релятивистской квантовой теории обойтись без понятия спина невозможно.В нерелятивистской квантовой механике постулируется, что частицы могут иметьвнутреннюю степень свободы, не связанную с пространственным движениеми называемую спином. Оператор спина – вектор Ŝ ≡ ~ŝ. Перестановочныесоотношения для компонент этого вектора такие же, как и для компонентоператора момента импульса (8.3), т. е.[ŝi , ŝ j ] = ieijk ŝk ;[ŝ2 , ŝi ] = 0.(10.1)Величина спина s (собственное значение оператора ŝ2 = s(s + 1)) – свойстводанного сорта частиц.Как и для момента импульса, собственные состояния спина можно классифицировать по значениям его проекции на какую-нибудь ось.
Собственные значенияоператоров ŝ 2 и ŝz находят так же, как и для оператора момента (см. § 8.1). Отличие в том, что здесь нет представления ŝz в пространственных координатах (этовнутренняя степень свободы!). Поэтому число s не обязано быть целым. В соответствии с (8.15) разрешено и s = 1/2. Результаты Штерна и Герлаха показывают,что именно такое значение реализуется для электрона. (Оно естественно получаетсяв релятивистской теории.)В природе реализуются частицы с разными значениями спина:• спин 0 – α-частицы (ядра 42 He), π- и K -мезоны, бозон Хиггса (надеемся, чтосуществует);• спин 1/2 – электроны, нейтрино, протоны, нейтроны, кварки, 32 He;• спин 1 – фотоны, W - и Z-бозоны (переносчики слабых взаимодействий),ρ-мезоны, дейтоны (ядра 21 H) ;• спин 3/2 – ядра 7 Li, 9 Be, 21 Na;• спин 2 – ядра 8 Li, гравитоны (пока не обнаружены);• существуют ядра и с более высокими значениями спина.§ 10.2.Частицы со спином 1/2. СпинорыДалее говоря о спинорных частицах, мы будем иметь в виду частицы со спином1/2 – электроны, протоны, нейтроны и т.
п.Поскольку значение s для электронов фиксировано, мы не будем указыватьэту величину в обозначении собственных векторов |s, sz ⟩. Собственные векторы|s = 1/2, sz = ±1/2⟩ мы будем обозначать просто |±⟩.Вектор состояния спинорной частицы можно представить в виде суперпозицииχ = a+(z) |+⟩ + a−(z) |−⟩ состояний с проекциями спина на ось z, равными +1/2икоординат и )времени a±(z) связаны соотношением нормировки∫ −1(/2, функцииdx |a+(z) (x.t)|2 + |a−(z) (x, t)|2 = 1. Это состояние записывают в виде столбца(его называют спинором), a сопряжённый вектор состояния – в виде строки1 :)(a+(z)χ≡|⟩=, χ+ ≡ ⟨ | = (a∗+(z) , a∗−(z)).(10.2)a−(z)1 При таком выборе ковариантной записи спинора отвечает контравариантная запись сопряжённого спинора, см. подробнее, например [1].10.2.
Частицы со спином 1/2. Спиноры175Значок (z) напоминает о том, что рассматриваются проекции на ось z. Если записатьтот же вектор через состояния, отвечающие проекциям на ось x, то он, разумеется,имеет такую же форму (10.2), но с другими коэффициентами a+(x) и a−(x) .Набор матричных элементов ⟨sm|ŝi |sm′ ⟩, который получается из (8.17) и из определения ŝz , удобно представить в виде матриц, подобных (8.21):)()()(100 10 −i, σ̂x =, σ̂y =.(10.3)ŝi ≡ σ̂i /2 : σ̂z =0 −11 0i0Матрицы σi называют матрицами Паули. Легко проверить, что выполняются соотношенияσ̂i σ̂ j = I · δi j + ieijk σ̂k ,σ̂i2 = I,Tr I = 2,Tr σ̂i = 0.(10.4)Если n – единичный вектор, то скалярное произведение (σn) /2 представляетсобой оператор проекции спина на ось n.
Поэтому, в частности, (σn) 2 = 1. Такоепонимание величины (σn) легко позволяет получить также, что для любой функцииf(x) имеет место тождествоf (a(σn)) ≡f(a) + f(−a)f(a) − f(−a)+ (σn).22(10.5)Это соотношение легко получить также, рассматривая функцию от оператора как еёразложение в ряд Маклорена (1.6) и применяя многократно первое равенство (10.4).ОператорP̂+ = (1 + σn) /2,(10.6)2= P̂+ .
Он выбирает из волновойочевидно, является проекционным, поскольку P̂+функции компоненты, в которых проекция спина ось n равна +1/2 (ср. с общимопределением (8.18)).♢ Нередко спиновое и пространственное движения разделяются. При этом, вводяобобщённые координаты q ≡ (ri , sz), можно записатьψ (q) = ψ (r) · χ(sz).(10.7)Преобразование спиноров при вращении координатОператор поворота осей координат на конечный угол α относительно оси n дляпроизвольного значения момента импульса имеет вид Ûn (α) = e iα(nL̂) /~ (8.4). Дляпреобразования спиноров с учётом (10.5) это соотношение принимает видÛn (α) = e i(nσ)α/2 ≡ cosαα+ i(nσ) sin .22(10.8а)В частности, при повороте на угол 2π вокруг любой оси компоненты спинора меняют знак.Глава 10.
Спин176Из (10.8а) легко получаются и явные выражения для операторов конечных вращений вокруг различных осей в случае, когда спиноры определены в базисе проекцийна ось z:( iα/2)e0Ûz (α) =≡ cos(α/2) + iσz sin(α/2),0e −iα/2()cos(α/2) i sin(α/2)(10.8б)Ûx (α) =≡ cos(α/2) + iσx sin(α/2),i sin(α/2) cos(α/2)()cos(α/2)sin(α/2)≡ cos(α/2) + iσy sin(α/2).Ûy (α) =− sin(α/2) cos(α/2)C помощью этих выражений можно найти, например, выражения для собственных функций операторов проекций спина на оси (x и) y в базисе (10.3).1В частности, изменение вида спинора χ+ =при повороте оси z на угол θ0()cos(θ/2)в плоскости xz описывается соотношением χ′ = Ûy (θ)χ+ =. При этомsin(θ/2)среднее значение проекции спина на новую ось z даётся естественным выражением()′′⟨sz ′ ⟩ = (1/2)χ † σz χ = (1/2) cos2 (θ/2) − sin2 (θ/2) = (1/2) cos θ.В соответствии с общими правилами (1.20) изменение формы спинорного оператора, например, при повороте оси z на угол θ в плоскости xz описывается соотношением F̂ → Ûy−1 (θ) F̂ Ûy (θ).
В частности, например, при таком поворотеσõ → σx cos α − σz sin α. Решения задач 10.1–10 являются необходимой составнойчастью излагаемой темы.§ 10.3. Разложение по базису матриц Паули кактехнический приемРазложение по базису матриц Паули – удобный способ работы при описанииобъектов с двумя возможными состояниями (спиновых систем, двухуровневых систем, двоичных элементов памяти и т. п.).Так, любую 2 × 2 матрицу A можно представить в видеA = a · I + b · σ; a =Tr (Aσ)Tr A, b=.22(10.9)Пример. Рассмотрим изменение уровней системы с двумя вырожденными илиблизко расположенными уровнями ε1 и ε2 под действием возмущения V̂ с матричными элементами по этим состояниям Vij (i, j = 1, 2) (разд. 5.4).
Уровни энергиитакой системы – собственные числа)( матрицыV11 + ε1V12.||ε + V|| ≡V21V22 + ε2∑Разложим эту матрицу по матрицам Паули (10.9), ||ε + V|| = a · I +bi · σi .i10.4. Задачи177Уровни энергии – собственные значения этой матрицы. Унитарное преобразование,диагонализующее эту матрицу, приводит её к форме a · I + b · σ3 с собственными значениями a ± b. Это преобразование отвечает вращению вектора b, при этом√b = b12 + b22 + b32 (ср.
задачу 10.11).§ 10.4.Задачи2Ниже n и k – единичные векторы, n2 = 1, k = 1, σk ≡ σk – матрицаПаули, отвечающая проекциям спина на ось k.1. Найти квадраты проекций электронного спина на оси x, y, z.2. Найти собственные функции и собственные значения операторов ŝx и ŝy в базисе(10.3).3. В состоянии, где собственное значение ŝz есть 1/2, найти вероятности того, чтопроекция спина на ось n есть +1/2 и −1/2.
Найти |χx ⟩, для которойsx |χx ⟩ = ±|χx ⟩/2 и |χy ⟩, для которой sy |χy ⟩ = ±|χy ⟩/2.4. Найти собственныевекторы() проекционного оператора (10.6).cos αiγ. Куда направлена ось z ′ , для которой sz ′ χ = (1/2)χ?5. Пусть χ = ee iβ sin α6. Пусть a, b, c, d – спинорные векторы, т. е. тройки 2 × 2 матриц с равным нулюследом и таких, что, например, ciT ci = 1. Докажите, что имеет место правилоФирца (ab) (cd) = (ac) (bd) − (ad) (cb).7. Найти (σa) (σb); (σa) n ; e i(σn)α (ср. (10.5)).8. Покажите, что величина χ†1 χ2 ≡ a∗1 a2 + b1∗ b2 не изменяется при вращении координат (10.8), т.е. является скаляром.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
