1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Сайди в 1949 г. Подробноетеоретическое изучение эффекта проведено в 1959 г. Я. Аароновым и Д. Бомом.Глава 11. Движение в магнитном поле190Обозначим «верхний» путь электрона через L1 , а «нижний» – через L2 и соответствующие «набеги фаз» на этих путях через β1 и β2 . Тогда интерференционноеслагаемое в квадрате амплитуды суммарной вероятности, которое и определяет наблюдаемую дифракционную картину, можно записать в виде[][]ψ1∗ ψ2 + ψ2∗ ψ1 ∝ Re e i(β1 −β2) ≡ Re e i(ϕ g +ϕA) .Здесь мы использовали преобразование∫1β1 − β2 = ϕ g + ϕA , ãäå ϕ g =~L1 −L2p(r)dr,ϕA = −e~c∫A(r)dr.L1 −L2В величинах ϕ g и ϕA интегралы представляет собой разности интегралов по «верхнему» и «нижнему» путям, т. е.
интегралы по замкнутой траектории L1 −L2 , фактическиизображенной на рисунке.На первый взгляд, в ответ (в слагаемое ϕA) явным образом входит значениевектора-потенциала, который определен только с точностью до калибровочной свободы. На самом деле эта калибровочная неоднозначность из ответа исчезает. Действительно, первое слагаемое ϕ g представляет собой обычную геометрическую разность фаз, возникающую в отсутствие поля.
Оно «смазывается» при учёте «соседних» траекторий, формирующих волновой пакет.Второе слагаемое ϕA появилось из-за того, что векторный потенциал в области движения частицы отличен от нуля. Но ведь векторный потенциал – нефизический объект, он не определяется однозначно наблюдениями. Как же он можетвлиять на наблюдаемый эффект? Эта кажущаяся несообразность разрешается, если вспомнить теорему Стокса, согласно которой интеграл от векторного потенциалапо замкнутому контуру есть поток вектора его ротора (т.
е. магнитного поля) черезэтот контур – магнитный поток через этот контур. Таким образом, «магнитная» фазаϕA = −eΦ/ (~c) – нормальная физически измеримая величина. Поскольку магнитного поля на «пути» электрона нет, эта фаза одинакова для всех компонент волновогопакета.♢ При изменении магнитного потока максимумы и минимумы дифракционнойкартины сдвигаются по закону cos (2πΦ/Φ0), где Φ0 = 2π~c/e – введённый в (11.17)квант магнитного потока, т. е.
картина осциллирует (периодически меняется) с изменением магнитного поля. Чтобы наблюдать этот эффект, радиус соленоида долженбыть не очень велик по сравнению с длиной волны электрона 2π~/ p. В экспериментах по наблюдению этих осцилляций использовался соленоид с радиусом до 14мкм, магнитным потоком которого можно было управлять. Наблюдения показалихорошее согласие с теоретическим расчётом.♢ Итак, калибровочная независимость физических объектов «спасена». Но, кажется, мы обнаружили, что на движение в данной точке влияет поле, не локализованное в этой точке, т. е.
нарушен обычно предполагаемый «принцип локальности».Однако и этого нарушения нет. Действительно, дифракция может наблюдаться только если электроны на каждом из путей когерентны, а это означает, что оба они являются частями одного волнового пакета, который «накрывает» и соленоид, в этомпакете неопределённость координаты электрона превышает размер соленоида [19] .11.6. Задачи§ 11.6.191Задачи1. Найти относительные интенсивности расщеплённых пучков нейтронов в опытеШтерна-Герлаха, если поляризованные вдоль оси x нейтроны движутся вдольоси z, а магнитное поле направлено в плоскости xy под углом 45◦ к оси x.2.
Электроны, поляризованные вдоль оси z, движутся вдоль этой оси. Они проходятпоследовательно фильтры, пропускающие частицы, поляризованные вдоль оси x(вверх), и под углом θ к оси x – в плоскости xy. Найти долю прошедших частиц.3. Пучок нейтронов движется по оси x и попадает при x = 0 в область однородного магнитного поля, направленного по оси z. Найти коэффициент отражения длянейтронов, поляризованных по оси z вверх или вниз. Найти вероятность переворота спина при отражении для нейтронов, поляризованных по оси x.4. Пучок нейтронов (спин 1/2), поляризованных вдоль оси x, влетает в однородноемагнитное поле, направленное вдоль оси z.
Найти средние значения ⟨sx ⟩ и ⟨sx2 ⟩.Считать размер области изменения поля малым.5. По оси x со скоростью v движется пучок нейтронов, поляризованных вдоль этойоси. Найти доли нейтронов, проходящих через фильтры в двух случаях:а) он проходит последовательно фильтры, пропускающие нейтроны, поляризованные вдоль оси z, и под углом θ;б) он проходит область длиной L с однородным магнитным полем B, направленным по оси z; после этого пучок проходит через фильтр, пропускающий лишьнейтроны, поляризованные под углом θ к оси x в плоскости xz.6. Докажите (11.7).7. Найти операторы скорости v̂ и ускорения â нейтральной частицы (например, нейтрона), находящейся в магнитном поле.8.
Получите выражение для плотности тока вероятности электрона в магнитном поле(11.8). Убедитесь в калибровочной инвариантности этого выражения.9. Выразить волновую функцию (11.19б) через волновые функции (11.19а).()2( ())2eAe~eA10. Показать, что p̂ −− 2mσB = σ p̂ −.c2mcc11. Найти зависимость от времени спиновой функции и средних значений компонентспина нейтральной частицы со спином s = 1/2 и магнитным моментом µ, находящейся в однородном постоянном магнитном поле B.12. Обобщить результат предыдущей задачи на случай однородного непостоянногомагнитного поля, направление которого остается неизменным, т. е. B(t) = B(t) n0 .13.
Частица со спином s = 1/2 и магнитным моментом µ находится в магнитном полеB(t) вида B = (B0 cos ω0 t , B0 sin ω0 t , B1), где B0 , B1 , ω0 – постоянные величины. При t = 0 частица находилась в состоянии с проекцией спина на ось z,равной sz = 1/2. Найти вероятность различных значений проекции спина на ось zв момент времени t.
Обсудить, в частности, случай, когда B1 ≪ B0 ; обратить внимание на резонансный характер зависимости вероятности "переворота"от частотыω0 в этом случае.Указание. Перейти во вращающуюся систему отсчёта.Глава 12Сложение моментовНачиная с этой главы, и орбитальный момент ℓ и спин s часто обозначаютсяодной и той же буквой j. Для соответствующих операторов ȷ̂i справедливы перестановочные соотношения вида (8.3), но связь с координатами типа (8.23), вообщеговоря, отсутствует. Для определённости будем считать j1 > j2 .§ 12.1.Сложение моментовРассмотрим систему электронов в атоме как пример системы , для которой должна быть решена задача сложения моментов.
Эта система в целом обладает сферической симметрией, и полный момент импульса системы сохраняется. В первомприближении каждый электрон движется в центрально-симметричном самосогласованном поле ядра и остальных электронов, определены моменты каждого электрона. При учёте различия взаимодействия между электронами от взаимодействия с ихусреднённым распределением, эта сферическая симметрия для отдельных электронов нарушается, т. е. моменты отдельных электронов не сохраняются, но сохраняется суммарный момент всех электронов. Однако пока это взаимодействие междуэлектронами остается слабым, «память» о моментах отдельных электронов должнасохраняться в полном описании.♢ Итак, пусть рассматриваемую сферически симметричную систему можно разбить на две подсистемы так, что каждая из них обладает сферической симметрией,а их взаимодействие нарушает эти частные симметрии.
Сферические симметрии подсистем означают, в частности, что их состояния удобно описывать с помощью моментов импульса подсистем j1 и j2 . Взаимодействие часто зависит от относительнойориентации этих моментов так, что соответствующее возмущение можно записать ввиде V̂ = 2A(ĵ1 ĵ 2).Действуя по теории возмущений, нужно найти собственные значения оператораV̂ и построить его собственные состояния из собственных состояний подсистем.Для этого перепишем оператор V через оператор суммарного момента импульсасистемы ĵ:)(222(ĵ = ĵ1 + ĵ2) .(12.1)V̂ = A ĵ − ĵ1 − ĵ2 ,12.1. Сложение моментов193Из перестановочных соотношений (8.3), (8.8) для операторов ĵ1i и ĵ2i получаются точно такие же соотношения для суммарного момента ĵi .
Поэтому все выводы,следующие из алгебры операторов, справедливы и в этом случае. В частности, соб2ственные значения оператора ĵ определяются так же, как в гл. 8, и собственныезначения оператора (12.1) имеют вид A[ j(j + 1) − j1 (j1 + 1) − j2 (j2 + 1)] .Итак, необходимо по известным исходным состояниям |j1 , m1 ⟩, | j2 , m2 ⟩ построитьсобственные состояния оператора полного момента и найти возможные собственныезначения этого оператора.Состояние такой системы можно описать двумя разными способами:2• набором собственных состояний |I(j1 , m1 , j2 , m2 ⟩ = |j1 , m1 ⟩|j2 , m2 ⟩ операторов ĵ1 ,2ĵ1z , ĵ2 , ĵ2z с собственными значениями j1 (j1 + 1), m1 , j2 (j2 + 1), m2 ;22• набором собственных состояний |II(j, m, j1 , j2 ⟩ = |j, m; j1 , j2 ⟩ операторов ĵ , ĵz , ĵ1 ,2ĵ2 с собственными значениями j(j + 1), m, j1 (j1 + 1), j2 (j2 + 1).Ниже мы часто не выписываем аргументы у собственных состояний |I ⟩ и |II ⟩.♢ Проблемой сложения моментов называют следующий набор задач.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
