1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 48
Текст из файла (страница 48)
п. Оказывается, чтодля каждого из этих типов возмущения матричные элементы ⟨α′ P ′ j ′ m′ |V̂ |αPjm⟩ могут быть ненулевыми только для небольшого набора возможных пар (P ′ j ′ m′ ; Pjm).Перечисление таких возможных пар и составляет содержание правил отбора. Ихзнание упрощает анализ многих проблем.Пример. Состояния гармонического осциллятора.Разумеется, правила отбора могут записываться и по другим квантовым числам,и мы начнём с простейшего примера. Рассмотрим набор собственных состояний осциллятора |n⟩, операторы Â1 = a1 x, Â2 = a2 x 2 , ..., Âk = ak x k и матричные элементы⟨m|Âk |n⟩. Правила отбора для операторов Âk определяют, для каких значенийm и n эти матричные элементы могут отличаться от нуля.x0Напомним, что x̂ = √ (â + â+) (4.14), а матричный элемент ⟨m|â|n⟩ отличен от2нуля только при m = n − 1 и матричный элемент ⟨m|â+ |n⟩ отличен от нуля толькопри m = n + 1.
Отсюда легко получается, что матричный элемент ⟨m|Â1 |n⟩ можетотличаться от нуля только если m и n – соседние уровни, т. е. при m = n ± 1 (еслиn = 0, то возможно только m = n + 1). Точно так же матричный элемент ⟨m|Â2 |n⟩может отличаться от нуля только при m = n и при m = n ± 2 (если n = 0, товозможно только m = n и m = n + 2).Условия m = n ± 1 для операторов Â1 , m = n и при m = n ± 2 для операторов Â2представляют собой правила отбора для этих операторов в осцилляторном базисе.Правила отбора для состояний момента импульса.
Как обычно,2мы обозначаем через | jm⟩ собственный вектор операторов ĵ и ĵz с собственнымизначениями j(j + 1) и m соответственно.• Скалярный оператор. Скалярным называется оператор Ŝ, вид которого неменяется при вращениях системы координат. Такой оператор коммутирует с оператором момента импульса системы ĵ (8.6), т. е.[ ĵi , Ŝ] = 0 ⇒ [ ĵz , Ŝ] = 0,2[ĵ , Ŝ] = 0.Глава 12. Сложение моментов198Поскольку [ ĵz , Ŝ] = 0, то и среднее ⟨ j ′ m′ | ĵz Ŝ−Ŝ ĵz |jm⟩ = (m′−m) ·⟨ j ′ m′ |Ŝ| jm⟩ = 0,т. е. матричный элемент ⟨j ′ m′ |Ŝ|jm⟩ может отличаться от нуля лишь при m′ = m.222Таким же образом, из соотношения [ĵ , Ŝ] = 0 следует, что ⟨ j ′ m′ |ĵ Ŝ − Ŝ ĵ | jm⟩ = 0,т. е.
наш матричный элемент может быть отличен от нуля лишь при j ′ = j. Наконец,рассматривая матричные элементы от операторных равенств типа ĵ− Ŝ ĵ+ = Ŝ ĵ− ĵ+ ,получим, что обсуждаемый матричный элемент вообще не зависит от m, т. е. отнаправления момента импульса. В итоге⟨j ′ m′ |Ŝ|jm⟩ = a(j) · δ jj ′ · δmm′ .(12.8)Если ещё известны чётности, то для скалярного оператора Ŝ справа добавляетсямножитель δP ′ ,P , а для псевдоскалярного – множитель δ−P ′ ,P .• Векторный оператор. Из перестановочных соотношений для компонент векторного оператора V̂ и момента импульса (8.5) легко получаются соотношения[ ĵz , V̂z ] = 0, [ ĵ+ , V̂+ ] = 0, [ ĵ− , V̂− ] = 0 (при V̂± = V̂x ± i V̂y).Как и для скалярного оператора, отсюда следует⟨j ′ , m′ |[ ĵz , V̂z ] |j, m⟩ = 0 = (m − m′)⟨j ′ , m′ |V̂z | j, m⟩.Итак, матричный элемент ⟨j ′ , m′ |V̂z |j, m⟩ может отличаться от нуля только приm′ = m.
Точно так же матричные элементы ⟨j ′ , m′ |V̂+ | j, m⟩ и ⟨j ′ , m′ |V̂− |j, m⟩ могут отличаться от нуля только если m′ = m + 1 или m′ = m − 1. Для операторов V̂xи V̂y это означает, что от нуля отличны только матричные элементы с m′ = m ± 1.Мы не заготовили такого же простого аппарата для получения правил отборапо j.
Для получения этих правил отбора мы воспользуемся интерпретацией задачисложения моментов как проблемы разбиения произведения представлений группывращения по неприводимым представлениям (конец предыдущего раздела). С этойточки зрения векторный оператор V̂ реализует 3-мерное представление группы вращений, а векторы состояния |j, m⟩ – (2j + 1)-мерное.
Вектор состояния V̂ |j, m⟩ реализует произведение этих представлений. Оно разбивается на сумму 2K + 1-мерныхпредставлений с K = j + 1, j, j − 1 (при j = 0 остаётся только K = 1). Скалярнаявеличина ⟨j ′ , m′ |V̂ |j, m⟩ может отличаться от нуля, только если размерность представления бра-вектора ⟨j ′ , m′ | совпадает с размерностью одного из представлений,на которые разбивается V̂ | j, m⟩, т. е. при j ′ = j ± 1 или j (если j ̸= 0).
Итак, длялюбого векторного оператора V̂ выполняются правила отбора:⟨j ′ m′ |V̂i |jm⟩ ̸= 0 лишь при j ′ = j, j ± 1,⟨j ′ m′ |V̂z |jm⟩ ̸= 0 лишь при m′ = m,⟨j ′ m′ |V̂a |jm⟩ ̸= 0 лишь при m′ = m ± 1(Va = Vx , Vy),(12.9)⟨00|Vi |00⟩ = 0.• Тензорные операторы. Подобным образом строятся и правила отбора длятензорных операторов. Так, матричные элементы тензора второго ранга могут бытьненулевыми только приТензор 2 ранга :|j − j ′ | = 0, 1, 2;|m − m′ | = 0, 1, 2 .(12.10)12.3. Задачи199• Правила отбора по чётности. Напомним, что есть два типа векторов. Компоненты обычных (полярных) векторов V меняют знак при отражении координат(смещение, импульс, электрический дипольный момент, электрическое поле).
Компоненты аксиального вектора A (иногда его называют псевдовектором) не меняютсяпри отражении (вектор угловой скорости, магнитное поле, магнитный дипольный момент и т. п.). Соответственно, матричные элементы ⟨n|V̂i |m⟩ отличны от нуля толькопри различных чётностях состояний |n⟩ и |m⟩. Точно так же матричные элементы⟨n|Âi |m⟩ отличны от нуля только при совпадающих чётностях состояний |n⟩ и |m⟩.12.2.2.
Усреднение векторного оператораИспользуя соотношения (8.3), можно убедиться, что)[ 2 [ 2 ]](2[2 ]( )2ĵ , ĵ , V̂i = 2 ĵ V̂i + V̂i ĵ −4 ĵi ĵV̂ .ĵ , V̂i = −ieijk (ĵ j V̂k + V̂k ĵ j);(12.11)′Взяв от этого соотношения[ 2 [ 2 ]] матричный элемент по состояниям |jm⟩ и | jm ⟩,′т. е. записав ⟨j, m| ĵ , ĵ , V̂ |jm ⟩ = 0, получим формулу усреднения:( )⟨ jm| ĵV̂ |jm⟩.(12.12)⟨jm |V̂i | jm⟩ = ⟨jm | ĵi |jm⟩j(j + 1)( )Поскольку матричный элемент скаляра ⟨jm| ĵV̂ |jm⟩ не зависит от проекции полного момента на ось z, это означает, что усреднённый вектор V направлен по усреднённому вектору j.Соотношение (12.12) составляет содержание векторной модели для векторного оператора.
Оно используется, в частности, для изучения расщепления уровнейв магнитном поле (разд. 14.1.7).′§ 12.3.′Задачи1. Найти собственные значения оператора (ŝ1 ŝ2).2. Пусть две спинорных частицы взаимодействуют по закону V = g(ŝ1 ŝ2) и в начальный момент времени спин первой частицы направлен вдоль оси z, а второй– вдоль n = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). Найти среднее значение спина первойчастицы в зависимости от времени.3. В задаче о сложении моментов j = j1 + j2 используем обозначения векторовсостояний |I⟩ и |II ⟩ со стр.
193. Вычислить ⟨I|(j1 j2)|I ⟩, ⟨II |(j1 j2)|II ⟩. Получитьправило сумм для коэффициентов Клебша–Гордана)2∑ ( jmC j1 m1 , j2 m2 2m1 m2 = j(j + 1) − j1 (j1 + 1) − j2 (j2 + 1) .(12.13)m1 +m2 =m4. Покажите, что при сложении двух одинаковых моментов j1 = j2 состоянияс j = 2 j1 , 2 j1 − 2, 2j1 − 4 . . . симметричны по перестановке m1 , m2 , а состояния с полным моментом j = 2 j1 − 1, 2j1 − 3 . . . – антисимметричны.Глава 12. Сложение моментов2005. Найти собственные функции при сложении моментовa) j1 = 1 и j2 = 2, b) j1 = 1 и j2 = 1, c) j1 = 1 и j2 = 1/2, d) j1 = 1/2 иj2 = 1/2, e) j1 = 3/2 и j2 = 2.∑6.
Найтидля матричных элементов дипольного exi и квадруполь∑правила отбораногоe(xi x j − r 2 δij /3) моментов.7. Покажите, что P̂ = (1 + σ̂ 1 σ̂ 2) /2 – оператор спинового обмена, т. е. его собственные значения в состояниях с полным спином 0 и 1 есть ±1. (Индексы 1, 2относятся к первой и второй частицам со спином 1/2.)2j1∏+ j2ĵ − ji (ji + 1)8.
Пусть ĵ = ĵ1 +ĵ2 . Покажите, что оператор P̂ j 0 =ji =|j1 − j2 |, ji ̸= j0 j0 (j0 + 1) − ji (ji + 1)есть оператор проектирования на состояния с j = j0 .9. Получите соотношения (12.11).∑10. Показать, что для цепочки спинов с гамильтонианом Ĥ = −J Sn Sn+δ − 2µB · Szи полным спином S =∑n,δ2Sn операторы Ĥ и Ŝ коммутируют.n11. Для системы с гамильтонианом Ĥ = λ(σ 1 σ 2 + σ 1 σ 3 + σ 2 σ 3) (три частицы соспином 1/2) найти уровни энергии и кратности вырождения для состояний с сум2марным спином S = 3/2 и с S = 1/2. Найти собственные состояния |Ŝ , Ŝz ⟩.12. Пусть a – постоянный вектор, а χ – постоянный спинор. Показать, чтоψ1 = R(r) (σr)χ описывает состояние |ℓ = 1, j = 1/2⟩,а ψ2 = R(r) {σ · [a × r] − 2i(aσ)} χ – состояние |ℓ = 1, j = 3/2⟩.Глава 13Тождественность частицВ этой главе координатой q частицы называется набор из её пространственныхr и спиновых sz координат.§ 13.1.Волновая функция системы тождественных частицВ классической механике одинаковые частицы считаются различными (как будтоу каждой на боку можно поставить метку – номер).
В квантовой механике это не так.В силу принципа неопределённости, понятие о траектории электрона теряет точныйсмысл, и через мгновение после того, как мы заметили два электрона, уже невозможно сказать, где первый, где – второй (разумеется, с точностью до ограниченияскорости скоростью света). Принцип квантовой неразличимости частиц гласит:частицы одного сорта различить невозможно.(13.1)Поэтому волновая функция пары частиц ψ (q1 , q2) при замене q1 на q2 определяетсостояние с той же самой плотностью вероятности, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
