1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Задачи215Такой гамильтониан используется для описания процессов в кристаллах. В частности, в середине 1950-х г. при экспериментальном исследовании сверхпроводимости был обнаружен изотопический эффект – зависимость температуры сверхпроводящего перехода от массы изотопа.
Подобная зависимость отсутствует в гамильтониане электрон-электронного взаимодействия, но присутствует в гамильтонианевзаимодействия электрона с решёткой (13.34). Поэтому обнаружение изотопического эффекта послужило основой для понимания того факта, что сверхпроводимостьобусловлена электрон-фононным взаимодействием. Вскоре после этого и была построена микроскопическая теория сверхпроводимости.§ 13.5.Задачи1. Найти спектр энергий и кратности вырождения относительного движения системыиз двух тождественных частиц с потенциалом взаимодействия U = k(r1 − r2) 2 /2при различных значениях полного спина системы, считая частицы1) бесспиновыми;2) имеющими спин 1/2 (электронами);3) имеющими спин 1.2. Докажите (13.6).∑ 2kxi /2 и взаимодействуют по закону −kx1 x2 .3.
Два фермиона помещены в полеiВ первом порядке теории возмущений найти поправки к четырём низшим уровнямв состояниях с различным полным спином. Сравнить с точным решением.4. Две частицы в параллелепипеде с ребрами a, b, c взаимодействуют по законуU = U0 δ (r̄1 − r̄2). Найти поправки первого порядка к энергиям двух нижних состояний, считая частицы1) различными (с равными и с неравными массами);2) тождественными со спином 0;3) тождественными со спином 1/2.В последнем случае определить вероятность того, что обе частицы находятсяв левой половине объёма при заданном полном спине s.5.
Найти собственные значения и собственные векторы операторов, построенныхдля двух осцилляторов:()++â = â+Ĉ = i â1 â+1 â2 + â2 â1 ,2 − â2 â1 .6. Покажите, что из инвариантности гамильтониана относительно преобразованияa → e −iα a, a+ → e iα a+ следует сохранение числа частиц â+ â.Глава 14Атомы, молекулы, ядраВ этой главе рассматриваются только начальные элементы физики атомов,молекул и ядер.Как известно, атомы состоят из электронов и положительно заряженных ядер,размеры которых значительно меньше атомных размеров. Атом содержит Z электронов, он электрически нейтрален, заряд ядра равен (с точностью до знака) сумме зарядов входящих в атом электронов Ze.
Устойчивость атома обеспечиваетсяпритяжением электронов к ядру, имеющему массу MA ≈ Am p (A – атомный весв единицах массы протона). При описании молекулы массы входящих в неё атомовобозначаются через Mi . В обоих этих случаях рассматривается только движениеотносительно центра масс, в атоме он практически совпадает с ядром.Порядки величин♢ Характерные величины энергии связи электронов в атоме определяются решением задачи об атоме водорода.
Для внешних электронов это величины порядка(0, 1 ÷ 1) Ry ∼ 1 ÷ 10 электронвольт. Энергии возбуждения отдельных уровнейи их расщепления на 1-2 порядка меньше, это электронвольты и их доли. Внутренние электроны чувствуют притяжение почти неэкранированного ядра, их энергиисвязи достигают Z 2 Ry, т. е. доходят до ∼ 105 электронвольт (0,1 МэВ) для урана.♢ Энергии связи молекул на 1-3 порядка меньше энергии ионизации атомов.Молекулы с энергией связи меньше 0,025 эВ разрушаются тепловым движениемпри комнатной температуре.♢ Энергии связи ядер на 5-6 порядков больше атомных, типично это – МэВы(Мегаэлектронвольты) на нуклон (протон или нейтрон).Для понимания важности эффектов полезно иметь в виду тепловое уширениеспектральных линий.
Оно возникает из-за эффекта Доплера – сдвига частоты вследствие теплового движения молекул и атомов. Поскольку скорости движения молекул невелики по сравнению со скоростью света, характерное изменение частоты в силу эффекта Доплера можно оценить с помощью нерелятивистской формулы ω ′ ≡ ω − ∆ω = ω (1 − v/c) (здесь v – проекция скорости молекулы на направление наблюдения). Среднее относительное значение сдвига частоты излучения14.1. Атомы217(относительная ширина спектральной линии) определяется из цепочки простых оценок (M – масса молекулы или атома):⟩ √⟨⟩ ⟨ ⟩ ⟨√kT/M∆ωvkT=∼=.(14.1)ωccMc 2Для атома водорода (Mc 2 ≈ 109 эВ) при комнатной температуре (kT ≈ 0, 025 эВ)это относительное уширение составляет 5 · 10−6 .§ 14.1.АтомыВ атоме каждый из электронов движется в поле, создаваемом ядром и всемидругими электронами. Полный гамильтониан атома можно записать в виде (i – номерэлектрона)Ĥ =∑ p̂2∑ Ze 2 ∑e2i−++ Ĥ f + Ĥhf + ĤL .2mri|ri − r j |ii(14.2)i> jЗдесь слагаемое Ĥ f описывает тонкое (спин-орбитальное) взаимодействие, слагаемое Ĥh f описывает сверхтонкое взаимодействие, а ĤL – Лэмбовский сдвиг(см.
ниже). Точное решение такой задачи связано с большими вычислительнымитрудностями даже для сравнительно простых систем типа атома гелия.14.1.1. Самосогласованное поле. Электронные конфигурацииПри изучении строения атомов обычно стартуют с приближения самосогласованного поля, в котором считают, что каждый электрон в отдельности движетсяв самосогласованном центральном поле V(r) = Z ∗ (r)e 2 /r, создаваемом ядром иостальными электронами, где Z ∗ (r) – суммарный заряд ядра и электронов, находящихся внутри сферы радиуса r. Отклонение энергии взаимодействия электронас ядром и остальными электронами от энергии его движения в самосогласованномполе невелико, и это обусловливает эффективность рассматриваемой ниже картины.
Это приближение учитывает первые два слагаемых и – усреднённо – третьеслагаемое гамильтониана (14.2).Вблизи ядра наружные электроны не создают поля, и Z ∗ (r) ≈ Z. С ростом расстояния поле убывает быстрее кулоновского, в частности, на больших расстоянияхот ядра Z ∗ (r) ≈ 1 (внешний электрон «видит» однократно заряженный положительный ион), вблизи от ядра Z ∗ (r) ≈ Z (внутренний электрон «видит» только ядро).При таком подходе отличие поля от кулоновского на расстояниях, сравнимыхс размером ядра, учитывается просто как ещё одна небольшая модификация эффективного заряда Z ∗ (r) на малых расстояниях.
В тяжёлых атомах для ближайшихк ядру электронов следует учитывать ещё модификацию потенциала, эффективноописывающую релятивистские поправки.218Глава 14. Атомы , молекулы , ядраСостояния электрона в этом самосогласованном поле характеризуются определённым значением орбитального момента ℓ.
Различные состояния с данным ℓ нумеруются главным квантовым числом n ≡ nr + ℓ + 1 – по образцу атома водорода,а полный набор составляют: n, ℓ, проекции момента и спина на избранную ось,m и sz . Поскольку эффективное поле отличается от кулоновского, энергии состояний с данным n и разными ℓ различаются. При заданных n и ℓ состояния остаютсявырожденными по значениям m и sz .Состояния отдельного электрона обозначают символом nℓ, где для ℓ используютбуквы s, p, d, f (ср.
обозначения на стр. 317) и т. д., а для n – его численное значение. Например, состояние 4 f обозначает состояние электрона с n = 4,ℓ = 3. Чтобы описать состояние атома, указывают состояния каждого из электронов, причём все состояния с одинаковыми n и ℓ записывают однократно, добавляяв конце «показатель степени» – число таких электронов, – это и есть запись электронной конфигурации.
Так, электронная конфигурация 2s 2 2p 4 3s 2 3d есть конфигурация 9 электронов: 2 – в состоянии n = 2, ℓ = 0, 4 – в состоянии n = 2, ℓ = 1,2 – в состоянии n = 3, ℓ = 0, 1 – в состоянии n = 3, ℓ = 2. Все возможныесостояния с данным n и различными ℓ (их 2n2) образуют электронную оболочку.Как и для атома водорода, с ростом n растет средний радиус электронных орбит,так что оболочки с n = 1, 2 – внутренние, а с большими n – внешние.Эта простая картина сильно модифицируется поправками разной природы.• (Кулоновское) взаимодействие электронов друг с другом, зависящее от расстояния между ними (корреляционные силы). Эти силы отвечают отклонению третьего слагаемого гамильтониана (14.2) от его усреднённого значения. Соответствующие разности энергий возникающих состояний – порядка кулоновской энергииатома водорода 1 Ry, с численным коэффициентом, который может оказатьсянебольшим, это – электронвольты.• Спин-орбитальное взаимодействие спинового магнитного момента с орбитальным.
Обычно это взаимодействие слабее корреляционного. Оно определяеттонкую структуру (fine structure) атомных спектров. Соответствующие энергии термов обычно составляют E fs ∼ (v/c) 2 Ry ∼ α2 Ry ∼ 0, 001 эВ.• Сверхтонкая структура (hyperfine structure) атомных спектров обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона (орбитального и спинового)с магнитным моментом ядра. Эти энергии ещё в M/me ∼ 103 ÷ 104 раз меньшеэнергий тонкой структуры.• Лэмбовский сдвиг обусловлен различием во взаимодействии электрона с нулевыми колебаниями электромагнитного поля вакуума в состояниях, которые должныбыть вырожденными при учёте остальных взаимодействий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
