1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Квантование электромагнитного поля21113.3.3. Квантование поляВ соответствии с обсуждением на стр. 23, квантование сводится к превращению обобщённых координат и импульсов в операторы с обычными перестановочными соотношениями между ними. Вслед за тем мы вводим операторы рожденияи уничтоженияâ+ (k, λ) и â(k, λ) по образцу § 4.1 (величина, подобная (4.2а), есть√x0 = ~ · 4πc 2 / (ωL3)). Эти операторы описывают рождение и уничтожение квантовэлектромагнитного поля – фотонов с заданными волновым числом и поляризацией,′они не действуют на состояния фотонов с другими квантовыми числами k , λ′ .Выражая через эти операторы гармоники поля по образцу (4.3) и подставляя ихв (13.23), получим полный вектор-потенциал в виде суммы вкладов всех гармоник– оператор поля√)∑ 2π~c 2 (i(kr−ωt)+∗−i(kr−ωt)Â(r) =â(k,λ)ε(k,λ)e+â(k,λ)ε(k,λ)e.
(13.25)ωk L3kλЭлектрическое и магнитное поля при t = 0 определяются с помощью (13.21):√)∑ iωk 2π~c 2 (Ê(r) =â(k, λ)ε∗ (k, λ)e ikr − â+ (k, λ)ε(k, λ)e −ikr ,3ωk Lkλ c(13.26)√()]∑ 2π~c 2 [B̂(r) =ik × â(k, λ)ε∗ (k, λ)e ikr − â+ (k, λ)ε(k, λ)e −ikr .ωk L3kλТеперь выражения для операторов энергии и импульса поля принимают вид, совпадающий с известными выражениями для гармонического осциллятора. В частности, гамильтониан имеет вид()()∑13Ĥ =Ĥkλ , Ĥkλ = ~ωk n̂kλ +≡ ~ωk â+ (k, λ) â(k, λ) +.(13.27)22Условие кулоновской калибровки для векторного потенциал (13.25) выглядит какравенство нулю коммутатора[]p̂, Â(r) = 0 .(13.28)Чтобы убедиться в справедливости этого соотношения, достаточно вспомнить, что[p̂, e ikr ] = −i~ke ikr .
С учётом этого коммутатор (13.28) выглядит в точности как(13.25) c заменой ε(k, λ) на скалярное произведение i~ k ε(k, λ), которое равно нулю(поперечность световой волны).′▽ Пусть |n1 (k, λ1), n2 (k, λ2), n3 (k , λ), ...⟩ – состояние, содержащее ni (ki , λi) фотонов с волновыми векторами ki и поляризацией λk,i .
Энергия и полный импульсэтого состояния равныE=∑kλn(k, λ)~ωkλ + E0 ,E0 =∑kλ~ωkλ /2,P=∑kλn(kλ)~k.(13.29)212Глава 13. Тождественность частицЗдесь E0 – энергия «нулевых колебаний вакуума». Её обычно отбрасывают, переходя к другому началу отсчёта энергии (см., впрочем, § 4.3).В точности так же, как для обычного гармонического осциллятора в § 4.1, имеютместо соотношения′+=√ â (k, λ1)|n1 (k, λ1), n2 (k, λ2), n3 (k , λ), . .
.⟩′= n1 (k, λ1) + 1 |n1 (k, λ1) + 1, n2 (k, λ2), n3 (k , λ), . . .⟩ ,′√â(k, λ2)|n1 (k, λ1), n2 (k, λ2), n3 (k , λ), . .′ .⟩ == n2 (k, λ2) |n1 (k, λ1), n2 (k, λ2) − 1, n3 (k , λ), . . .⟩.В соответствии с (13.25) это означает, что действие оператора векторного потенциала (или оператора электрического или магнитного поля) может описыватьизлучение и (или) поглощение одного (любого) фотона. В частности, для состояния с фотонами одного сорта для излучения и поглощения фотонов имеют местосоотношения√√2π~c 2 ∗⟨n(k, λ) + 1, t|Â(r)|n(k, λ), t⟩ = n(k, λ) + 1ε (k, λ)e i(ωk t−(kr)) ,ωk L3√(13.30)√2π~c 2−i(ωk t−(kr))⟨n(k, λ) − 1, t|Â(r)|n(k, λ), t⟩ = n(k, λ)ε(k, λ)e.ωk L3Излучение из состояния, в котором первоначально не было фотонов данного сорта,называют спонтанным.
Если же такие фотоны уже были в системе, мы говоримо вынужденном излучении или поглощении (см. подробнее гл. 16).Пример. Обсудим, какая минимальная энергия сигнала W = ~ωN нужна, чтобы наблюдать вращение его плоскости поляризации на малый угол ϕв оптически активной среде [10] (N – число фотонов в сигнале).Пусть волна распространяется в направлении оси z, а вектор её поляризациипервоначально√ направлен вдоль оси x. При этом амплитуда электрического поляесть Ex0 ≈ 2π~ωN. При повороте плоскости поляризации на малый угол ϕ появляется небольшая составляющая поля, направленная вдоль оси y, Ey0 = Ex0 ϕ. Минимальное√ значение этой амплитуды,√отвечающее регистрации одного фотона естьEy0 ≈ 2π~ω, оно достигается при ϕ N = 1.
Таким образом N ≈ 1/ϕ2 , и искомаяэнергия составляет W ≈ ~ω /ϕ2 .♢ Замечание. Условие кулоновской калибровки (11.30) не ковариантно. В частности, переход в движущуюся систему отсчёта изменяет набор ненулевых компонентвектора-потенциала. Тем не менее, фотон обладает всеми свойствами обычной частицы – энергией ~ω и импульсом ~k. Квантование, основанное на ковариантномусловии калибровки (например, на условии Лоренца ∂µ Aµ = 0), выглядит несколькоболее громоздко, чем приведённое выше.• Фотоны описывают векторное поле, т. е.
реализуют векторное представлениегруппы вращений, отвечающее моменту 1. Этот факт записывают, говоря, что спинфотона равен 1. Как и всякая частица, фотон может иметь ещё орбитальный момент(целочисленный) ℓ и соответственно полный момент j = ℓ + s. Оказывается, что длячастицы, движущейся со скоростью c, разделение на спин и орбитальный момент13.4. Системы с взаимодействием213серьёзного смысла не имеет. Утверждение, что спин фотона равен 1, означает только,что наименьшее значение j равно 1 и что чётность волновой функции фотона можетбыть и положительной и отрицательной.В классической электродинамике для бесконечной плоской волны понятие момента импульса разумным образом не вводится.
Если волна распространяется в направлении оси z, то компоненте момента импульса поля, направленной вдоль поля,появиться неоткуда. В действительности мы всегда имеем дело с волновым пакетом,сосредоточенном в некотором объёме, и мы говорим о плоской волне, если, например, наш пакет имеет форму цилиндра, направленного вдоль z, размер «дна» которого намного больше длины волны. На краях цилиндра (в силу уравнений div B = 0,div E = 0) волна искривляется, появляются компоненты поля, направленные вдоль z,они приводят к появлению поперечных компонент импульса поля и, соответственно,продольной компоненты момента.
Простое вычисление (см., например, [17]) показывает, что для циркулярно поляризованной волны получающийся момент импульсав объёме поля (для всего набора фотонов в этом объёме) относится к энергии поля в этом объёме как 1/ω – так же, как для фотона со спином S = ~·1 и энергией ~ω.Газ излучения. Рассмотрим теперь газ фотонов (его тоже иногда называют излучением) в кубической полости, который находится в тепловом равновесиисо стенками.
Плотность энергии электромагнитного поля U(ω) в интервале частотdω стандартным образом выражается через усреднённый по направлениям квадратамплитуды поля в волне. С другой стороны, в рассматриваемом газе заселённостьnkλ не зависит от направления векторов k и ε. Поэтому та же плотность энергиивыражается через энергию одного фотона и плотность числа состояний на единицуобъёма в этом интервале ρ(ω) = ω 2 / (π 2 c 3) (15.24в):U(ω)dω =⟨E2 (ω) + B2 (ω)⟩⟨E2 (ω)⟩~ω 3V ρ(ω)dω =V ρ(ω)dω = n(kλ) 2 3 dω .
(13.31)2 · 8π8ππ c(Множитель 1/2 возник при усреднении величины cos2 (ωt − kr) по времени.)§ 13.4.Системы с взаимодействиемГамильтониан системы можно представить в виде суммы одночастичных гамильтонианов Ĥa1 , каждый из которых описывает состояния отдельной частицы a, и до∑ (1)бавки V̂ , описывающей взаимодействие Ĥ =Ĥa + V̂ .aПусть теперьвзаимодействие V̂ складывается из энергий взаимодействия пар∑ (2)частиц V̂ =Ĥ (ab). Здесь a и b обозначают координаты частиц a и b.
(Еслиa,bнеобходимо учесть трёхчастичные взаимодействия, это делается сходным образом.)Обозначим через |i⟩ собственные векторы одночастичного гамильтониана Ĥ (1)и через Ei соответствующие значения энергии так, чтоĤ (1) =∑Ei |i⟩⟨i| .(13.32а)Глава 13. Тождественность частиц214В этом базисе оператор Ĥ (2) , действующий в пространстве, которое является прямым произведением пространств одночастичных состояний |k⟩, записываетсяв виде матрицы(2)(2)Hii ′ kk′ = ⟨i|⟨i ′ |Ĥab |k⟩|k′ ⟩.В представлении чисел заполнения нетрудно получить (подобно тому как этоделалось при описании разных операторов в энергетическом представлении для осциллятора)Ĥ =∑i(1)Ei bi+ bi + V̂ ≡∑Ei Ni + V̂ ,V̂ =∑i,i ′ ,k,k′(2)Hii ′ kk′ bi+ bi+′ bk bk′ .(13.32б)Подобные представления можно построить и для других операторов.
В силу тождественности частиц операторы физических величин исчерпываются такими наборами.Используя соотношения (13.14), взамен (13.32б) можно записать такжеĤ2 =∫Ĥ1 =∫ψ̂ + (q) Ĥ (1) ψ̂ (q)dq ;ψ̂ + (q) ψ̂ + (q ′) Ĥ (2) ψ̂ (q ′) ψ̂ (q)dqdq ′ .(13.33)О взаимодействии электронов с решёткойВ кристаллах за счёт колебаний ионы смещены от положения равновесия, такчто электроны движутся в потенциале, отличающемся от периодического.
Пока отклонения от положения равновесия невелики (т. е. число фононов мало), их можноописать как возмущения. Изменение энергии электрона, вызванное смещением ионаот равновесного положения, выражается через изменение потенциала поля, создаваемого ионами eδ (U(x)), и плотность числа электронов ρ(x) = ψ ∗ (x)ψ (x) описываетсявыражением V1 = −eρ(x)dU/dx∆x. При небольших отклонениях от равновесия силапропорциональна смещению, edU/dx = −F . В итоге, суммируя по всем ионам, получаем∑∑V = Vn = F ψ ∗ (xn)ψ (xn)∆xn .nВыполним разложение по собственным функциям оператора конечного сдвига– преобразование Фурье. Для смещений оно даётся соотношениями (7.32), a дляэлектронов – соотношениями (7.8). В методе вторичного квантования коэффициенты последнего разложения приобретают смысл операторов рождения и уничтоженияэлектронов. С учётом ортонормированности собственных функций оператора сдвигаиз выписанного выражения получается гамильтониан электрон-фононного взаимодействия (Фрёлиха), где сумма берется по всем значениям квазиимпульсов pи k, а u p (x) – блоховская амплитуда (7.6):V̂ =()g pk+√â+p â p−k âk + â−k ,NMωkp,k∑g pk = F∫u p (x)u p−k (x)dx .cell(Последний интеграл берется по элементарной ячейке.)(13.34)13.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
