1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Во всейобласти комплексной переменной x, удовлетворяющей условиям квазиклассичности,решение можно записать в виде суперпозиции асимптотик (6.5), но коэффициентыэтой суперпозиции могут быть неодинаковыми в разных частях этой области.Запишем вблизи точки поворота x = a приближение U(x) = E +F(x − a) (6.12).Это приближение не меняет свойств аналитичности потенциала, а стало быть и решений уравнения. Обозначая z = (8mF/9~2) 1/3 (a − x), мы преобразуем уравнениеШредингера к виду d 2 ψ /dz 2 + (9/4)zψ = 0.
Выбирая в (6.5) x0 = a, получаемвыражения для квазиклассических асимптотик в видеψ±k = z −1/4 exp(±iz 3/2) .(6.15)−iπ /4(При z → −z асимптотики ψ±k превращаются в eψ±κ .)Рассмотрим решения уравнения Шредингера в комплексной плоскости переменной z. При z = 0 наши асимптотики (не точные решения уравнения Шредингера!)имеют корневую точку ветвления. Поэтому в описании появляется разрез, выходящий из точки z = 0. Направим его для определённости в сторону другой точкиповорота, в нашем случае – в положительном направлении оси z.Мы изучим поведение решений в разрезанной комплексной плоскости переменной z при таких значениях |z|, что здесь справедливо и приближение линейности потенциала (6.12) и квазиклассическое приближение.
Примем, чтофизическая волновая функция (для реальных z) отвечает предельному переходу на разрез из верхней полуплоскости z. Обозначим z = ρe iϕ , где уголϕ ∈ [0, 2π) отсчитывается от положительного направления z против часовой стрелки. При этом базисные асимптотики (6.15) имеют видψ±k = e −iϕ/4 ρ−1/4 exp(±iρ3/2 e 3iϕ/2) .(6.16)В частности, на верхнем берегу разреза z → ρ, а на нижнем берегу z → ρ e 2iπ ,и для решений на этих берегах мы имеем (смысл значков "в" и "н" очевиден)вψ±k= ρ−1/4 e ±iρ3/2,нψ±k= e −iπ/2 ρ−1/4 e ∓iρ3/2.(6.17)104Глава 6.
Квазиклассический случай♢ Асимптотика решения, удовлетворяющего этим граничным условиям, имеет видψ = C+ ψ+k + C− ψ−k .(6.18)При этом коэффициенты C± могут различаться в разных областях z-плоскости.Например, в соответствии с (6.16) при переходе через разрезнψ в = C+ ψ+k + C− ψ−k ⇒ ψ±k= −i(C− ψ+k + C+ ψ−k) .(6.19)▽ Но что означает сумма (6.18)? Здесь полезно повторить другими словами сказанное на стр. 101. На прямых Im z 3/2 = 0 оба слагаемых суммы имеют одинаковыйпорядок величины, и мы имеем дело с настоящей суперпозицией.
Помимо этих прямых, во всей остальной плоскости Im z 3/2 ̸= 0, при этом одна из функций ψ+k илиψ−k экспоненциально велика, а другая – экспоненциально мала, малый член обычно меньше (степенных) поправок к большому члену, отброшенных при полученииасимптотики. Говорить в таком случае о поправке, даваемой этим малым асимптотическим членом, является превышением точности, он «тонет» в тени большогослагаемого. Если мы каким-то образом получили значения волновой функции в этойобласти, восстановить по ним вклад малого слагаемого невозможно (если толькобольшое слагаемое по каким-то причинам не обращается в нуль тождественно).
Темне менее следить за обоими слагаемыми ψ+k и ψ−k при вычислениях возможно.Действительно, пусть при Im z 3/2 = 0 мы имеем некоторую волновую функцию ψ1с асимптотикой (6.18) с известными коэффициентами C± , удовлетворяющую граничным условиям. Помимо этого, можно определить на том же луче Im z 3/2 = 0ещё и волновую функцию ψ2 , ортогональную к ψ1 . Определим теперь Вронскиан′′W = ψ2 ψ1 − ψ1 ψ2 .
Асимптотика функции ψ2 при Im z 3/2 ̸= 0 определяется по поведению в этой области ψ1 из условия сохранения Вронскиана. Именно такой подходделает осмысленным слежение за обоими независимыми решениями.• Линии Стокса и параметры Стокса. Особую роль играют линии, на которых действительная часть фазы решений (6.16) обращается в нуль, это лучи ϕ = 0(луч 0А), ϕ = 2π /3 (луч 1А) и ϕ = 4π /3 (луч 2А) – см. рис. 6.2. На этих линиях– сопряжённых линиях Стокса – антистоксовых линиях обе асимптотики ψ+kи ψ−k – одного порядка величины1 .
На этом рисунке в каждом секторе указана таиз функций ψ±k , которая не убывает.Напротив, на линиях Стокса обращается в нуль мнимая часть фазы второгосомножителя (6.16), эти линии образуют лучи ϕ = π /3 ϕ = 5π /3 (лучи 1S и 2S соответственно), ϕ = π (луч 3S). Линии Стокса делят пополам области, ограниченныесопряжёнными линиями Стокса.1 Понятиялиний Стокса и параметров Стокса (см. ниже) сохраняют смысл и вдали от точек поворота,где разложение (6.12) не работает, лишь бы работало квазиклассическое приближение. Заметим, чтонекоторые авторы названия «линии Стокса» и «сопряженные линии Стокса» определяют противоположным образом.6.4.
Метод комплексной плоскости для получения правил сшивки105В каждом секторе между двумя сопряжёнными линиями Стокса функция ψ+k или ψ−kлибо возрастает, либо убывает, при переходе через сопряжённую линию Стокса эти ролименяются. На линиях Стокса одна из асимптотик ψ+k или ψ−k растет всего быстрее, а другая из этих асимптотик убывает всего быстрее.Рассмотрим теперь, что происходит с общим решением (6.18) при возрастании ϕ отнуля (луч 0А). При 0 < ϕ < 2π /3 (вплотьРис.
6.2.до луча 1А) функция ψ+k экспоненциальномала, а ψ−k экспоненциально велика. При изменении ϕ отброшенные поправки к ψ−kперестраиваются, и после первой линии Стокса (луч 1S) можно говорить уже, чтов рамках нашего приближения коэффициент при падающей асимптотике изменился(пропорционально коэффициенту при растущей асимптотике C−),1S1AJ]J ψψ+k J −k ψ−k- 0AJ3S Jψ+k J ψ−k ψ−k JJ^2S2A1C+ → C+= C+ + T1 C− ,1C− → C−= C− .(6.20а)С этими коэффициентами наше решение вступает в сектор между сопряжённымилиниями Стокса 1А и 2А. Здесь уже функция ψ−k экспоненциально мала, а ψ+kэкспоненциально велика так, что при переходе через линию Стокса 3S1211C−→ C−= C−+ T2 C +,121C+→ C+= C+.(6.20б)На сопряжённой линии Стокса 2А растущая и падающая экспоненты опять меняются местами, и при переходе через линию Стокса 2S2232,+ T3 C−= C+→ C+C+232.= C−→ C−C−(6.20в)Числа Ti называют параметрами Стокса.3С коэффициентами C±мы подходим к лучу 0А и должны были бы получить исходное выражение (6.18). Однако мы пришли на нижний берег разреза,нвгде ψ±k= −iψ∓k(6.17) (как и ранее, значки н и в указывают на нижний и верхнийберега разреза соответственно).Собирая все преобразования (6.20), мы получаем на нижнем берегу разрезаψ = [T2 C+ + (1 + T1 T2)C− ] ψ−k ++ [C+ (1 + T2 T3) + (T1 + T3 + T1 T2 T3)C− ] ψ+k .Приравнивая это выражение получающемуся из (6.17) ψ = e −iπ/2 [C+ ψ−k + C− ψ+k ] ,получаемT1 = T2 = T3 = e −iπ/2 = −i .(6.21)• Получение правил сшивки.
Рассмотрим случай, когда решение убывает приz → −∞ (в силу требования нормируемости волновой функции), т. е. асимптотика3/2(на линии Стокса 3S) имеет вид ψ = (−z) −1/4 e −(−z) , где −z = ρ. В предшествуiπ /4ющих обозначениях на линии 3S мы имеем C− = e, C+ = 0.106Глава 6. Квазиклассический случайСовершим далее переход на нижний берег разреза через нижнюю полуплоскостьпеременной z, с последующим переходом на верхний берег разреза с помощью соответствия (6.19).
Вплоть до антистоксовой линии 2А наша функция была убывающей,на этой линии она стала осциллирующей, а затем превратилось в растущую. Послеперехода через линию Стокса 2S в соответствии с предыдущим построением к этойвозрастающей функции добавилась убывающая функция с коэффициентом T3 . Витоге на нижний берег разреза 0А прибыло решение)()(3/23/23/23/2e −iπ/4 ρ−1/4 e −iρ + T3 e iρ≡ ρ−1/4 e −i(ρ +π/4) − e i(ρ +π/4) ≡ x∫(6.22)2iπ≡ −2i ρ−1/4 sin(ρ3/2 + π /4) → − √ sin k(x)dx + .4kaИспользуя теперь правило перехода через разрез (6.19), мы получаем, что убывающей в классически недостижимую область асимптотике в области классическогодвижения переходит в решение «синусного типа», т.
е. мы получили первое правило сшивки (6.13). Второе из этих правил сшивки подобным образом не получается,поскольку под растущей экспонентой может «скрываться» падающая, причём с лю∫x1бым коэффициентом. Удобнее стартовать с волновой функции √ cos( kdx + π /4),kaкоторая ортогональна предыдущей в физически достижимой области, записать еёкак сумму экспонент, и для каждой из них повторить изложенную выше процедурув противоположном направлении. Сохранение Вронскиана гарантирует правильность полученного ответа.§ 6.5.Правила квантования Бора–Зоммерфельда.
IIПолучим теперь правило квантования Бора–Зоммерфельда (6.7) традиционнымметодом – с помощью правил сшивки. Для сокращения объёма вычислений мырассмотрим потенциальную яму, изображенную на рис. 6.3. Здесь область x < 0U(x)ax полностью недоступна (как для радиального движения в центрально-симметричном поле). Ищем уровниэнергии, пользуясь алгоритмом, который подобен исEпользуемому при компьютерном моделировании.Поскольку область x < 0 недоступна, то)( xв соот∫A√ветствии с (6.14) внутри ямы ψ (x) =sinkdx .k0Теперь надо пройти точку поворота x = a. Чтобы восРис. 6.3.
Простейшая ямапользоваться условиями сшивки (6.13), введём вели∫a∫aчины α = kdx + π /4, φ = kdx + π /4 и перепишем волновую функцию внутри0(x) x∫AAAямы в виде √ sinkdx = √ sin(α − φ) = √ (sin α cos φ − cos α sin φ). Далееkkk0воспользуемся условиями сшивки для каждого из слагаемых и получим волновую6.6. Прохождение сквозь барьер107AAфункцию в классически недоступной области: ψ = √ sin α·e t(x) − √ cos α·e −t(x) ,κ2 κ∫xгде t(x) = κdx. Волновая функция должна убывать при x → ∞. Поэтому стаaционарными являются только состояния, для которых коэффициент при растущейэкспоненте (sin α) обращается в ноль, т.
е. при α = π (n + 1). Удваивая обе части равенства, мы приходим слева к интегралу по периоду классического движения(0 → a → 0). В итоге энергия уровня E определяется из условияI √2m(E − U(x))dx = 2π~(n + 3/4).(6.23)Покажите, что для потенциала, гладкого в обе стороны, условие квантованияБора–Зоммерфельда принимает вид (6.7). (Различие между 1/2 и 3/4 в правилах(6.7) и (6.23) улавливается точностью приближения даже при умеренно больших n.)♢ Правила квантования (6.7) и (6.23) выписаны для потенциала, достаточногладкого, чтобы линейное приближение (6.12) работало и в области применимости квазиклассического приближения.
Широкая прямоугольная потенциальная ямапредоставляет нам другой пример системы, для которой применимо квазиклассическое приближение, а линейное приближение (6.12) несправедливо, и условия сшивкиимеют совсем другой вид (2.15б). Это приводит к модификации√ правила квантования.В частности, для бесконечно глубокой ямы оно имеет вид 2m(E − U(x))dx = 2π~n(целое число полуволн на полупериоде). Для потенциалов, быстро изменяющихся вблизи точки поворота правило квантования должно иметь схожую форму сдобавлением в правой части слагаемого, меняющегося от 0 до 1/2 и зависящегоот крутизны потенциала и величины его изменения в неквазиклассической области.§ 6.6.Прохождение сквозь барьерЗдесь повторяется обсуждение разд. 2.6.3 для случая гладкого потенциала.Если энергия частицы меньше максимальной потенциальной энергии (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
