1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(Часто это системы со слабо нарушеннойсимметрией.) При этом в ряду теории возмущений появляются слагаемые с малымизнаменателями, сходимость ряда ухудшается.Ситуация улучшится, если ввести «гамильтониан асимметрии» ∆Ĥ , собственными значениями которого являются отклонения невозмущённых энергий в группе откакого-то среднего значения.
После этого можно воспользоваться методом, изложенным выше, и рассмотреть задачу о диагонализации «гамильтониана» ∆Ĥ + V наподпространстве Cs .1 Случается, что вырождение не снимается в первом порядке теории возмущений, но снимается в болеевысоких порядках.
Видоизменение способа действия для таких задач представляется очевидным.Глава 5. Вариационный метод . Теория возмущений92Итак, обозначим через εi невозмущённые энергии состояний группы. Повторяявыкладки случая с вырождением для каждой из этих групп, мы придем к уравнениямвида (5.13), (5.14) с заменой11Vij − Enαδij ⇒ Vij − (Enα+ εi)δij .(5.18)Окончательный ответ имеет тот же вид, что и в случае вырождения, с заменойVii → Ṽii = Vii + εi . В частности, для двухуровневой системы секулярное уравнениелегко получается из (5.16), V11 + ε1 − E (1)V12 = 0,(5.19)V21V22 + ε2 − E (1) а собственные функции состояний с этой энергией имеют вид (5.17) с элементарнымивидоизменениями.Полезно заметить, что при |V12 | ≪ |ε1 − ε2 | отсюда, как и следовало ожидать,получаются формулы обычной теории возмущений без вырождения (с точностью довторого порядка в энергии):|V12 |2,ε1 − ε2V12|+⟩ = |1⟩ +|2⟩,ε1 − ε2(1)E+ = ε1 + V11 +(1)E− = ε2 + V22 +|−⟩ = |2⟩ +|V12 |2,ε2 − ε1V21|2⟩.ε2 − ε1▽ Рассмотрим, как меняются положения получившихся уровней с изменениемвозмущения.
Будем описывать это изменение параметром ξ. Пусть при некоторомξ = ξ0 оказывается V11 = V22 . Тогда – на первый взгляд – при переходе от ξ > ξ0к ξ < ξ0 уровни E+ и E− поменяются местами: тот из них, который был выше,станет ниже, и наоборот – произойдет пересечение уровней. На самом деле, этоне так. Для действительного пересечения уровней, когда они в точности совпали бы, требуется, чтобы в (5.16) было ∆E = 0.
Для этого недостаточно условияṼ11 (ξ) = Ṽ22 (ξ), необходимо ещё, чтобы было V12 (ξ) = 0. Это – два разных уравнения для одной величины ξ, обычно их одновременное решение отсутствует (еслипри этом не восстанавливается старая симметрия или не появляется новая). Пересечение уровней – очень редкое событие в природе.§ 5.5.«Улучшенная» теория возмущенийКачество приближения теории возмущений для поправок к энергии можно улучшить, если дополнить это приближение вариационным методом.Рассмотрим для примера выражение для энергии основного состояния в первомприближении теории возмущений E0 + V00 и заменим при его вычислении известную волновую функцию основного состояния на некоторую схожую пробную функцию, например ψ0 (r) → ψ0 (Ar).
При этом энергия станет известной функцией от A,E0 + V00 → E0 (A) + V00 (A). Минимизируя получившуюся функцию по A, мы найдемулучшенное значение поправленной энергии основного состояния.5.6. Задачи§ 5.6.93Задачи1. Используя (5.1), показать, что при переходе от потенциала U(x) к потенциалуU(x) + ∆U(x) с ∆U(x) 6 0 энергия основного состояния уменьшается.2. С помощью вариационного метода и используя пробные функции трёх типов22(α) Ce −x /2a ; (β) Ce −|x|/a ; (γ) {1 − |x|/a при |x| < a, 0 при |x| > a} , найти3.4.5.6.7.8.энергию и волновую функцию основного состояния для следующих систем:а) гармонический осциллятор, пробные функции α и β;б) ангармонический осциллятор U = mω 2 x 2 /2 + εx 4 , пробная функция α;в) яма U = −Gδ (x), пробные функции α, β и γ;г) поле U(x) = F |x|, пробная функция β.Получите (5.10).Бесконечный осцилляторный потенциал в природе не реализуется.
В реальностина больших расстояниях рост потенциала «останавливается». Выбрав( в качестве)модели такой остановки замену в потенциале осциллятора x 2 → x 2 / 1 + x 2 /b 2 ,оценить качество приближения эквидистантности уровней осциллятора для разных его уровней с помощью (5.10).Вычислите в первом неисчезающем приближении поправки к уровням под действием возмущения V в следующих полях U:mω 2 (x 2 + y 2)а) U(x, y) =, V = αxy;2{2πx0 при |x| < a,б) U(x) =V = (α) Gδ (x), (β) C cos;∞ при |x| > a,aL̂2∂в) Ĥ0 = z ; (L̂z = −i~ ); V = V0 cos(φ − α) (основное и два первых возбуж2I∂φдённых состояния);г) U(r) = mω 2 r2 /2; V = γx 2 y 2 .д) U(x, y) = mω 2 [(4 + 4ε)x 2 + y 2 ] /2 (ε ≪ 1); V = axy 2 .
Найти поправки к трёмнижним уровням. Особо рассмотреть случай ε = 0 (резонанс Ферми).При G ≫ δG найти уровни энергии частицы в полеV = −(G + δG)δ (x − a) − (G − δG)δ (x + a).Рассмотреть ещё случай 2mGa/~2 ≪ 1.Как меняется среднее значение координаты ⟨x⟩ с ростом энергии уровня для осциллятора Ĥ = p̂ 2 /2m + mω 2 x 2 /2 с возмущением V = A~ω (x/x0) 3 (5.10)? Свяжите ответ с задачей о расширении твёрдого тела.Изобразите качественно типичную зависимость уровней от параметра ξ при переходе через точку V11 = V22 для задачи о «пересечении уровней», обсуждавшейсяв конце § 5.4. Для примера рассмотрите какой-нибудь конкретный пример такойзависимости.Глава 6Квазиклассический случайЕщё один формально последовательный метод приближённого решения квантовомеханических задач работает в случаях, когда потенциал – плавная функциякоординаты так, что почти всюду дебройлевская длина волны λ мала по сравнению с масштабом изменения потенциала d и меняется с координатой медленно(грубо говоря, параметр малости – λ/d).
Это близко к картине приближения лучей в классической оптике, которое, в свою очередь, допускает описание, подобноеклассической механике. В этом подходе сначала строится классическое описание,а затем отыскиваются квантовые поправки. Формально этот – квазиклассический– случай (приближение Венцеля–Крамерса–Бриллюена – ВКБ) реализуется, когдавеличины размерности действия велики по сравнению с постоянной Планка ~. Интерес к этому случаю подкрепляется тем, что в соответствующих задачах хорошеепредставление о результате получается с помощью классической аналогии.Квазиклассическое приближение удобно строить как разложение по степеням~.
Такое разложение по размерному параметру, строго говоря, не имеет смысла. Ксожалению, записать соответствующий безразмерный параметр в простой универсальной форме для общего случая не удаётся. Если для потенциала можно указатьхарактерный масштаб энергии U и характерный масштаб его изменения a, то можно ожидать, что квазиклассическое описание будет справедливо, если характернаявеличина кинетической энергии, связанная с локализацией в области действия потенциала ~2 / (2ma2), мала по сравнению с характерным значением потенциала,ξ2 =~2≪12ma2 U(6.1)(иными словами, если локализация частицы в области действия потенциала мало меняет её классическую энергию).
Это глобальное условие определяет возможностьиспользования квазиклассического подхода, но не гарантирует, что квазиклассическое приближение применимо в любой точке. Локальное условие применимостиквазиклассического приближения обсуждается на стр.
97. В условиях применимостиприближения (6.1) разложение по степеням постоянной Планка можно трактоватькак разложение по степеням ξ. (Для гармонического осциллятора и кулоновской за-6.1. Волновая функция . Условие применимости приближения95дачи указать характерную величину потенциала и радиус его действия невозможно.Поэтому критерий (6.1) для этих полей не работает, и применимость квазиклассического приближения обеспечивается только локальным условием.)Фактически квазиклассический метод применялся для описания распространения гидродинамических и электромагнитных волн в слоистых средах, колебаний мембран, аэродинамики движущегося снаряда и в ряде других задач, зачастую задолго досоздания квантовой механики.
Простой анализ рассматриваемым методом допускаетслучай, когда переменные разделяются так, что интересующее нас движение можнорассматривать как одномерное. Обобщение на трёхмерные задачи в общем случаеневозможно. Мы разбираем ниже только одномерное движение.Терминология. Ниже используется терминологияклассической задачи для потенциала рис. 6.1. Так,область, где полная энергия больше потенциальной,E > U(x), (между точками А и С) – область классического движения.
Область, где полная энергияменьше потенциальной, E < U(x) (левее А и правее С), – классически недостижимая область.Точки (А и С), где E = U(x), – точки поворота(в этих точках классическая частица, двигавшаяся Рис. 6.1. Типичная квазиклассическая ямавнутри ямы, меняет направление своего движения, натолкнувшись на «борт» ямы).Далее вводятся зависящие от координат величины – импульс p(x), волновоечисло k(x) = p(x) /~ и длина волны λ(x), а также длина затухания 1/κ (x):√k(x) =2m(E − U(x))2π,λ(x) =при E > U(x),~√k(x)2m(U(x) − E)при E < U(x) .κ (x) =~(6.2)♢ Простейший объект, поддающийся квазиклассическому описанию и хорошоизвестный читателю, это – прямоугольная потенциальная яма (разд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
