1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 27
Текст из файла (страница 27)
6.4), то в классическоммеханике области с разных сторон барьера не сообщаются друг с другом. В квантовом случае волновая функция, заданная, например, слева от барьера, не исчезает и справа от него, имеет местоподбарьерное прохождение – туннелированиеРис. 6.4. Прохождение через барьер– ср. обсуждение в связи с (2.29), (2.37).В условиях применимости квазиклассического приближения задача о прохождении сквозь потенциальный барьер (о туннелировании) решается по стандартномурецепту с двукратным использованием правил сшивки (6.13). Вероятность туннелирования определяется величиной коэффициента прохождения (туннелирования) 1][ ∫bκ (x)dx (a и b – точки поворота).(6.24)D = exp −2a1 Дляпрямоугольного барьера коэффициент прохождения имеет тот же вид: D ≈ e −2κ (b−a) (2.37).Глава 6.
Квазиклассический случай108При D ≪ 1 направо от барьера уходит волна очень малой амплитуды, и прохождение асимптотически мало∫xC i(ψп = √ e bkk(x)dx+π /4)C=√k()∫x∫xcos( k(x)dx + π /4) + i sin( k(x)dx + π /4) .bbПрямое использование правил сшивки (6.13) даёт под барьером суперпозициюпадающей и растущей экспонент b()∫∫b∫x∫x√κ(x)dx−κ(x)dx− κ (x)dxκ (x)dxiC1C xi= √√ e ae+ e xψII = √+D ea.22κκDДальнейшее использование этих правил даёт слева от барьера2Cψл = √Dk()iDsin α +cos α ,4∫ak(x)dx +α=π.4(6.25)x√Таким образом, амплитуда прошедшей волны в D раз меньше амплитуды падающей волны (коэффициент туннелирования D). В этом приближении в падающейи отраженной волнах потоки вероятности равны друг другу, а в прошедшей– в D раз меньше (коэффициент отражения равен 1, коэффициент прохожденияравен D), закон сохранения вероятности выполняется с точностью до малой величины D.
Чтобы сделать эти выводы явными, обычно нормируютпервое слагаемое√на равный единице поток в падающей волне, выбирая C = D.Поправки порядка D в (6.25) находятся за пределами точности приближения.Они отвечают поправкам на конечную глубину проникновения в электродинамике.Их учёт формально восстанавливает закон сохранения вероятности.Обратите внимание, что сдвиг фаз между отраженной и падающей волнами составляет π – в точности как при отражении от проводника в электродинамике.§ 6.7.Время жизни квазистационарного состоянияРассмотрим частицу в поле рис.
6.5. Если бы потенциал после максимума неубывал с ростом x, частица имела бы вполне определённые стационарные состоянияс энергиями En . В классическом случае со- U(x)стояние с энергией En отвечает незатухающимколебаниям между точками 0 и a. Существование падающей ветви потенциала позволяетIIIIIIчастице проникать сквозь барьер (туннелиро- Eвание) и уходить к x → ∞, состояние становится нестационарным. Квазиклассическийabxподход позволяет описать эту нестационарРис. 6.5.ность при условии, что коэффициент туннелирования достаточно мал. Ниже мы используем определения, введённые в § 2.8.6.7.
Время жизни квазистационарного состояния109Условие невозрастания вероятности со временем в нашей задаче выглядит кактребование, чтобы на больших расстояниях оставалась только уходящая из центраволна (при этом вероятность убывает со временем). Покажем, как из этого условияполучаются комплексные значения энергии квазиуровня.Последовательное применение условий сшивки (6.13) (как при квантовании) даёт∫x∫aс использованием обозначений (6.24) и α = kdx + π /4, β = kdx + π /4,z1 =∫xκdx, z2 =0∫bbκdx(x)∫A√ sinkdx ,(I)k0][cos α −z1A √ sin α · e z1 −·e=2κψ (x) =(II)][Acos α z2 −z2√=sinα·e−De,2κD]cos αA [√· cos β . (III)2 sin α · sin β − D2kDax(6.26)Условие, чтобы в области III была только уходящая волна e iβ , даёт уравнение:2 sin α= i ⇒ tg α = −iD/4.−(D cos α) /2(6.27)Далее мы считаем туннелирование слабым, т.
е. D ≪ 1.При b → ∞ было бы D = 0, и в системе нашлись бы стационарные состоянияс энергиями E = En , которые изучались в § 6.5. При D ̸= 0 движение инфинитно, т. е.локализуемых стационарных состояний нет. Однако физическая ситуация при D ≪ 1не может сильно измениться по сравнению со случаем D = 0, и решения уравнения(6.27) должны лишь ненамного отличаться от решений условий квантования α =π (n + 1) (6.23). Поэтому запишем α = π (n + 1) + δn , где |δn | ≪ 1. Тогда уравнение(6.27) преобразуется к виду−iD/4 = tg δn ≈ δn ⇒ α = π (n + 1) − iD/4.Окончательно, выражая величины α и k (6.5) через комплексную энергию состоянияẼn = En − iΓn /2, получаем∫a √2m(En − iΓn /2 − U(x))dx = π~(n + 3/4) − i~Dn /4.0Вычитая это выражение из (6.23), получим с учётом (6.9) и малости Γn~Dni=4∫a √∫a √Γn1 dαiΓn2m(En −U(x))dx −2m(En −i −U(x))dx = ~iΓn =· Tкл ,24 dE400Глава 6. Квазиклассический случай110т.
е. время жизни τ оказалось равным классическому периоду Tкл , делённому навероятность Dn ухода через барьер при однократном подходе к барьеру (ср. (2.48)):Γn = ~Dn /Tкл ⇒ τ = Tкл /Dn .(6.28)Для атомной или молекулярной системы характерный период Tкл определяется отношением атомного размера & 10−8 см к атомной скорости электрона . αc ∼ 108 см/с,т. е. Tкл & 10−16 c. Учёт коэффициента туннелирования обычно значительно увеличивает это время. Из этой численной оценки видно, что квазиклассический подходне работает для атомных или твердотельных систем при изучении воздействия наних сигналов с частотой выше 1015 Гц.♢ Формула (6.28) даёт ставшее ныне классическим решение задачи об α-распадеатомного ядра с первоначальным зарядом Ze (теория Мандельштама–Гамова).В этой теории предполагается, что в ядре можно выделить α-частицу (ядро атома гелия 2 He4), которая движется в поле, создаваемом остальными нуклонами (нейтронами и протонами) ядра, сначала внутри ядра – потенциальной ямы радиуса a ∼ 1 фм,а затем вне его.
В отсутствие туннелирования энергия α-частицы в яме составилабы E > 0. Вне ядра α-частица движется в кулоновском поле ядерного остатка, это2взаимодействие описывается потенциалом U(r) = β /r, где β = 2(Z −√2)e .Коэффициент туннелирования при E ≪ β /a это D = exp(−π 2mβ 2 / (~2 E) ).Множитель Tкл зависит от энергии значительно слабее, для его грубой оценки можноаппроксимировать поле ядра c массой, равной A массам протона, моделью прямоугольной (радиальной) ямы с радиусом a ∼ 1, 1A1/3 фм и глубиной несколько МэВ.В итоге связь между временем жизни ядра и энергией α-частицы (6.28) записывается в виде закона Гейгера–Нетолла√log10 (τ /1sec) = a + b/ E .(6.29)Для тяжёлых ядер b ≈ 130÷150 МэВ1/2 , a ≈ −50. Это – очень сильная зависимостьот энергии уровня E (хорошо измеряемой величины).
Согласно (6.29), при увеличении E от 4 до 9 МэВ время жизни падает на 20 порядков, с 108 лет до 10−5 c. Такаясильная зависимость подтверждена опытом (для таких различий отклонения дажев десятки раз не очень существенны).§ 6.8.Двойная ямаВажный и поучительный пример доставляет исследование двойной почти симметричной ямы.
Получаемые здесь результаты фактически воспроизводят то, чтополучилось при изучении пары δ-ям в разд. 2.6.3.Пусть поле U(x) представляет собой две очень немного различающиеся потенциальные ямы A и B, разделённые не очень высоким барьером, рис. 6.6. Если бы барьербыл непроницаем (бесконечно высок), то существовали бы состояния ψ0A (x) и ψ0B (x)с энергиями E0A ≈ E0B , отвечающие движению частицы в одной из ям.6.8.
Двойная яма111U(x)IIIIIIa1IVVa2b1b2xEBAРис. 6.6. Двойная ямаДля одинаковых ям A и B было бы E0A = E0B ≡ E0 , ψ0A (x) = ψ0B (−x) и b2 = −a1a2 = −b1 . В таком случае существование переходов через барьер приводит к расщеплению каждого из этих состояний на два (аналог – биения в системе двух связанных одинаковых маятников). В этих состояниях частица живет одинаково долгов каждой из ям. Что же происходит, когда ямы A и B немного различаются?Рассмотрим эту задачу в полной аналогии с предыдущими, используя правиласшивки (6.13). Естественные обозначения: слева от точки поворота a1 расположенаобласть I, между точками поворота a1 и b1 – область II, между точками поворотаb1 и a2 – область III, между точками поворота a2 и b2 – область IV, правее точкиповорота b2 – область V. Помимо этого, обозначим текущие значения показателейквазиклассических экспонент ϕi , ti и величины, удобные для описания изменениянаправления отсчёта в каждой из областей с левого края на правый:ϕ1ℓ =∫xk(x)dx +a1ϕ2ℓ =∫xk(x)dx +a2π,4ϕ1r =tℓ =D = exp −2ϕ2r =∫b2x∫xκ (x)dx ,b1∫a2b1k(x)dx +xπ,4(∫b1κ (x)dxπ,4αA =,k(x)dx +a1π,2∫b2ππ, αB = k(x)dx + ;42a2a2∫tr = κ (x)dx ,k(x)dx +x)∫b1G(x) = exp(∫x)κ (x)dx.b2Построим теперь выражения для волновой функции в каждой из областей, стартуя с области I, где – в силу требования нормируемости – волновая функция исчезает при x → −∞.Глава 6.
Квазиклассический случай112∫a1−A(I) : √ e x2 κψ=κ (x)dx⇒AAA(II) : ⇒ √ sin ϕ1ℓ = √ sin(αA − ϕ1r) = √ (sin αA cos ϕ1r − cos αA sin ϕ1r) ⇒kkk()√()A1A1D−t2t1−t1t2√ sin αA e(III) : ⇒ √sin αA e − cos αA e=√−cos αA e⇒22κκD][√sin αADAcos αA cos ϕ2r =sin ϕ2ℓ −(IV) : ⇒ √ 2 √2kD][√Asin αAD√ 2 √cos αA cos(αB − ϕ2r) =sin(αB − ϕ2r) −2kD[(4 sin αA sin αB −D cos αA cos αB) cos ϕ2 − (4 sin αA cos αB +D cos αA sin αB) sin ϕ2 ]√A⇒2kD[]A4 sin αA cos αB +D cos αA sin αB(4 sin αA sin αB −D cos αA cos αB) G(x) −.(V) : ⇒ √2G(x)κЗначение энергии состояния определяется из требования обращения в нуль коэффициента при растущей вправо экспоненте G(x),4 sin αA sin αB − D cos αA cos αB = 0 .(6.30)Мы ищем значения энергии собственных состояний двойной ямы E, близкие к энергии состояния в уединённой яме E0 .• Рассмотрим сначала случай симметричной ямы E0л = E0п ≡ E0 .
В этом случаеαA = αB = α и E = E0 + ∆, где ∆ – малая добавка. Разлагая подынтегральноевыражение в величине α по малой добавке ∆ с помощью (6.9), имеемα = α0 +T∆.2~Здесь α0 – значение величины α при E = E0 , а T – период колебаний частицыв уединённой яме, например, левой. При этом согласно правилу квантования (6.7)sin α0 = 0, cos α ≈ cos α0 ≈ ±1. Таким образом, мы получаем уравнение(T∆2~)2=√ ~D⇒ ∆ = ±∆s , где ∆s = D .4T(6.31)√Итак, уровень расщепился на два, и расщепление энергий ∆s в D раз меньшерасстояния между уровнями уединённой ямы.• Небольшое отклонение от симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
