1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Длярешетки из N ячеек полная прозрачность достигается при nqa = πk, при больших N в зависимости коэффициента прохождения от энергии появляется многорасположенных рядом областей полной прозрачности. При очень больших N этизначения полной прозрачности сливаются в разрешенную энергетическую зону.В пределах этой зоны для любого из собственных векторов матрицы T̂ вероятностьпребывания в каждой ячейке одинакова.▽ Изложенное описание хорошо иллюстрируется наблюдениями при компьютерном моделировании системы уровней и энергетической зависимости коэффициента прохождения в наборе повторяющихся одинаковых ям с ростом числа этих ямс дальнейшим переходом к периодической структуре (прил. А).7.2.3.
Некоторые свойства движения в зонеЭффективная масса. В разрешённой зоне уравнение на собственные значения(7.13) имеет вид Λ(E) = 2 cos(qa). Решая его, мы находим энергию состояния E призаданном значении квазиимпульса q, т. е. зависимость энергии от квазиимпульса(закон дисперсии). Обычно значение q = 0 соответствует верхнему или нижнемукраю зоны. Поскольку E(q) = E(−q) (7.9), то при qa ≪ 1 можно записатьE(q) = E0 + ~2 q 2 /2m∗ .(7.18)Глава 7.
Периодическое поле122Коэффициент m∗ по естественной аналогии называют эффективной массой. Еслиm∗ < 0, говорят об отрицательных массах – дырках. В разных кристаллах реализуются случаи с эффективной массой, принимающей значения от ±0, 05 me до±100 me , но чаще m∗ не сильно отличается от массы свободного электрона me .В грубых оценках полагают, что закон дисперсии (7.18) справедлив во всей зоне,тогда эффективная масса m∗k и характерное время tk движения между ячейками попорядку величины составляют|m∗k | ∼~2 /a2,∆Ektk ∼~.∆Ek(7.19)Вектор плотности тока вероятности для собственных векторов в разрешённойзоне. Подставляя в (2.5) волновую функцию (7.14), с учётом действительности ϕiнайдем (k = 1, 2 – номер собственного вектора):()[] ~ · Im A (1) A (1)∗∗1k 2ki~dψ dψ−ψ =W.(7.20)jk = −ψ∗2mdxdxmПоскольку вронскиан W не зависит от координат, плотность тока постоянна.
Болееподробные вычисления позволяют увидеть, что знак плотности тока совпадает сознаком величины sin qa.Таким образом, собственные состояния оператора конечного сдвига представляют собой Блоховские волны, распространяющиеся направо (q > 0) или налево(q < 0). Волновое число этих волн задаётся квазиимпульсом q, границы изменения которого конечны – в отличие от обычного импульса.
При переходе к пределуa → 0 мы возвращаемся к системе обычных плоских волн – собственных функцийоператора импульса.7.2.4. Периодическое поле из δ-ям или барьеровПриведённая общая схема доводится до конца при описании движения частицыв поле «забора» из δ-ям:Ĥ =∞∑p2−Gδ (x + na) .2mn=−∞(7.21)(Сингулярность потенциала меняет форму условий сшивки.)Найдем те решения уравнения Шредингера, которые являются и собственнымифункциями оператора конечного сдвига T̂a .
Обозначим√√2mG2m|E|2mEk0 =, g = k0 a/2, κ =при E < 0, k =при E > 0. (7.22)~2~2~2При E < 0 в области 0 < x < a решения – линейные комбинации соответствующих решений для «свободного» движения с отрицательной энергией e κx7.2. Движение в периодическом поле123и e −κx . Вычисления упрощаются при выборе этих комбинаций в виде ϕ1 (x) =sh κ (a − x), ϕ2 (x) = sh κx так, чтоψq (x) = A sh κ (a − x) + B sh κx .(7.23)В соответствии с (7.7) запишем это решение для области a < x < 2a в видеψq (x) = e iqa ψq (x − a) (отсчет от левой ямы). Из непрерывности волновой функциив точке a получается, что B = Ae iqa . Далее, из условия сшивки в форме (2.16),как и в общем случае несингулярных потенциалов (7.13), получается уравнение,определяющее зависимость энергии E = −(~κ) 2 / (2m) от квазиимпульса ~q – случай(a).
(Случай (b) получен повторением рассмотрения случая (a) для E > 0):gпри E < 0, (a) ch X − sh X, X = κaXcos qa =(7.24) cos Y − g sin Y, Y = ka при E > 0. (b)YЭти уравнения имеют действительные решения, только если правая часть по модулюне превосходит 1.• Рассмотрим сначала нижнюю разрешённую зону.При κ = k0 /2, т. е. X = g уравнение (7.24(a)) для определения квазиимпульсапринимает вид cos qa = e −g . Это уравнение всегда имеет решение. Таким образом,нижняя разрешённая зона окружает уровень энергии уединённой «родительской»ямы E g .
Однако эта энергия отвечает q ̸= 0, т. е. не отвечает дну ямы. При большихзначениях параметра g оказывается, что qa ≈ π /2, т. е. энергия «родительской»ямы близка к середине зоны.Для определения нижней границы разрешённой зоны достаточно взять q = 0в уравнении (7.24(a)). При этом оно превращаетсяв√уравнение th(X/2) = g/X.√При g (≪ 1 отсюдаполучаетсяX=2g⇒κ=k0 /a, а при g ≫ 1 имеемíí)Xí = g 1 + 2e − g ⇒ κí ≈ (k0 /2) (1 + 2e −g).Уравнение для верхней границы разрешённой зоны в области отрицательныхэнергий получается из этого уравнения при qa = π и имеет вид th(X/2) = X/ g.Это уравнение имеет (единственное) решение только при g > 2 (k0 a > 4) (сравнитенаклоны кривой th X( и прямой) X/ g вблизи начала координат).
При g ≫ 1 отсюдаполучается Xâ = g 1 − 2e −g ⇒ κâ ≈ (k0 /2) (1 − 2e − g). При g ≪ 1 разрешённаязона заходит в область положительных энергий, и её граница определяется из уравнения (7.24(b)) при qa = π, это ka = π. Таким образом, в области отрицательныхэнергий имеется только одна разрешённая зона, может быть, выходящая в областьположительных энергий (это – частное свойство нашей модели).С ростом величины k0 a ширина нижней разрешённой зоны уменьшается.
Прибольших значениях k0 a разрешённая зона сосредоточится вокруг значения энергии,отвечающего уединённой яме κ = k0 /2 – (2.26), а ширина этой зоны оказываетсяпорядка этой энергии, умноженной на коэффициент туннелирования D ∼ e −g .Рассмотрим теперьмалые) отклонения энергии от значения (2.26), E = E g + ε.(ε≡ g + δ. Подставим это разложение в правую частьПри этом X = g 1 +2E gГлава 7. Периодическое поле124(7.24(a)). Удерживая только члены первого порядка малости по δ, найдемcos qa = e − g + δ (e − g + sh g/ g).При малых значениях q из этого уравнения легко получается значение эффективноймассы электрона при любом значении g. При g ≫ 1, когда зона очень узкая, этоуравнение упрощается.
В скобках можно отбросить e − g по сравнению с (sh g) / gи записать sh g ≈ e g /2. В итоге получается закон дисперсии (зависимость энергииот квазиимпульса) в нижней разрешённой зоне при g ≫ 1, а из него и эффективнаямасса электрона в этой зоне:()ε = 4E g e −g cos qa − e −g ⇒ m∗ =~2egge=2m.4E g a2g2(7.25)Полученное простое выражение для закона дисперсии работает только для узкойразрешённой зоны.
Можно надеяться, что этот вывод сработает для нижней узкойразрешённой зоны и для потенциала, не имеющего δ-видную форму. Для других зондаже в нашем случае закон дисперсии оказывается более сложным.• Обсудим теперь, что происходит в области положительных энергий, когда нашеосновное уравнение (7.24(b)) принимает видcos qa = cos Y − (g/Y) sin Y,g = k0 a/2,Y = ka .(7.26)♢ Границы зон. Границам зон отвечают значения cos qa = ±1. Для cos qa =1 и −1 без труда получаются решения Yn = πn и, кроме того, наше уравнениепреобразуется к паре уравненийg=0Ynd1d2Ytg(Ynd2 /2) − n = 0gtg(Ynd1 /2) +(cos qa = 1) ,(7.27)(cos qa = −1) .В величинах Ynd1 и Ynd2 верхний индекс нумерует тип решения, а нижний – его номер в порядке возрастания, начиная с наименьшего значения n = 1. Отметим, чтона решениях Ynd1 и Yn c чётным n мы имеем qa = 0, а на решениях Ynd2 и Ync нечётным n мы имеем qa = ±π.Графическое решение этих уравнений показывает, что последовательность решений, а стало быть разрешённых√(Р) и запрещённых (З) зон при возрастании энергииот нуля (напомним, что Y = a 2mE/~2) выглядит следующим образом:Y = Yí ↔ Y1d1Ç1↔πÐ2↔ Y1d2Ç2↔ 2πÐ3↔ Y2d1Ç3↔ 3πÐ4↔ Y2d2Ç4......(7.28а)(Значок снизу указывает номер запрещённой или разрешённой зоны, первая разрешённая зона расположена при E < 0, для k0 a < 4 нижняя граница первой запрещённой зоны Yí расположена при отрицательных энергиях, а при k0 a > 4 определяется наименьшей величиной Y d2).
Иными словами, при положительных энергияхразрешённые зоны располагаются в следующих границах по величине Y = ka:Ð2 : ( Y1d1 , π), Ð3 : (Y1d2 ,2π ),Ð4 : ( Y2d1 , 3π), Ð5 : (Y1d2 ,4π ), ...(7.28б)7.2. Движение в периодическом поле125В рамку заключены те значения Y , для которых q = 0.Таким образом, зоны, для которых квазиимпульс обращается в нуль на дне зоны(эффективная масса положительна) чередуются с зонами, для которых квазиимпульсобращается в нуль на «потолке» зоны (эффективная масса отрицательна).Решение уравнений (7.27) при больших энергиях (при больших n) даёт по аналогии с записью (7.28б) следующие приближённые выражения для границ запрещённых зон:()(g )gÇ2k+1 = 2πk, 2πk+ 2πk , Ç2k+2 = π (2k + 1) − π (2k + 1) , π (2k + 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
