1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Рассмотрим теперь случай небольшого отклонения от симметрии, когда уединённые ямы близки по форме друг к другу,но их энергии отличаются друг от друга меньше, чем расстояние между уровнями6.8. Двойная яма113внутри каждой из ям ~/T . (Мы пренебрегаем различием периодов классическогодвижения в каждой из ям TA и TB , полагая TA ≈ TB = T .)E0A = E0 − δ ,E0B = E0 + δ ,δ ≪ ~/T .(6.32)Обозначая через ∆ отклонение истинной энергии от усреднённой энергии уединённых ям E0 и через ∆S величину расщепления для симметричной ямы (6.31), найдемиз (6.30) точно так же, как и выше√(∆ − δ)T (∆ + δ)TD·=⇒ ∆ = ± δ 2 + ∆2S .(6.33)2~2~4Итак, расщепление термов близко к тому, что было в симметричном случае, если расщепление исходных термов δ меньше того, которое даётся туннелированием,δ < ∆S .
Наоборот, если ∆S < δ, туннелирование почти не меняет уровней.Сравним вероятности пребывания частицы в ямах A и B для полученных состояний. В рамках нашего приближения значения sin αA и sin αB могут быть оченьразными (хотя и малыми), а вот cos αA ≈ cos αB ≈ 1. Идея вычисления та же, чтои при получении нормировки для квазиклассической волновой функции (6.8).Использование для волновой функции в области II первого из выписанных выше(6.30) выражений даёт вероятность пребывание в яме A, равную wA = A2 TA (~/4m).Вероятность пребывание в яме B вычисляется из первого выражения для областиIV , что даёт wB = A2 TB (~/4m) [(4/D) sin2 αA + (D/4) cos2 αA ] .
Используя (6.30) иотбрасывая второе слагаемое в квадратных скобках в силу условия D ≪ 1, найдёмwB /wA = (TB /TA) (sin αA / sin αB) ≈ sin αA / sin αB .(6.34)Из (6.33) легко получается, чтоПри ∆ > 0sin αA∆−δ=,sin αB∆+δпри ∆ < 0sin αA|∆| + δ=.sin αB|∆| − δ(6.35)Теперь можно дать описание общей картины.▽ При δ ≪ ∆S расщепление исходных термов δ несущественно по сравнениюс эффектом туннелирования, смешивающего состояния.
В этом случае на каждомиз состояний sin αA ≈ sin αB , т. е. вероятности пребывания в ямах A и B одинаковы,как и в случае симметричной ямы. Сравнение второй формы волновой функции в области II и её первой формы в области IV показывает, что для энергии E = E0 − ∆Sволновая функция в яме B такова же, как и в яме A, ψ0B (x) = ψ0A (−x) (в целомсимметричная функция), а для другого значения энергии E = E0 + ∆S волноваяфункция в яме B имеет противоположный знак, ψ0B (x) = −ψ0A (−x) (в целом антисимметричная функция). Нетрудно увидеть теперь, что если частица в начальныймомент находится в правой яме (ψ (x, t = 0) = ψ0п (x)), то через время πτ /2 она окажется в левой яме, т. е. волновая функция осциллирует,ψ (x, t) = e−iE0 t/~ [ψ0ï (x) cos(t/τ) +iψ0ï (−x) sin(t/τ)] ,√где частота биений τ = 2~/∆s = 2T/ D.Глава 6.
Квазиклассический случай114▽ При δ ≫ ∆S состояния с высокой точностью остаются локализованнымисправа или слева, туннелирование почти не меняет состояний, биений не возникает.Действительно, рассмотрим отношение вероятностей wB /wA для решения с ∆ > 0.Подстановка в (6.34) соотношений (6.35) и (6.33) даёт wB /wA ≈ (∆s /2δ) 2 ≪ 1,т. е.
система локализуется в яме B, вероятность найти её в яме A очень мала. Точно так же для состояния с ∆ < 0 легко получается wB /wA ≈ (2δ /∆s) 2 ≫ 1, т. е.система локализуется в яме A, вероятность найти её в яме B очень мала.Иными словами, если исходные ямы немного различались, то при большом расстоянии между ними – когда коэффициент туннелирования очень мал – возможные состояния локализованы в этих ямах.
По мере сближения ям – при увеличении коэффициента туннелирования – происходит обобществление состояний, и приD > (T δ /~) 2 мы приходим к симметричным или антисимметричным состояниям, илик биениям между двумя ямами.§ 6.9.Надбарьерное отражениеЕсли волна с большой энергией (большим волновым числом) проходит над небольшой по величине неоднородностью потенциала, она продолжает двигаться впередпочти без искажений, но возникает и отражённая волна небольшой амплитуды.Это явление называют надбарьерным отражением. Это явление имеет место дляволн любой природы, но мы ограничимся изучением квантовой задачи.Заранее ясно, что коэффициент надбарьерного отражения – малая величина.Итак, рассмотрим задачу о распространении волны в случае, когда E > U(x) привсех x. Для её решения полезно перейти в плоскость комплексной переменной x.Если потенциал U(x) – аналитическая функция x, отличная от константы, то в силудействительности U(x) при действительных x уравнение E = U(x), не имея решенийна действительной оси, имеет только пары комплексно сопряжённых решений, отEвечающих комплексным точкам поворота xi±= αi ± iβi .
Если энергия E оченьвелика, то уравнение для точки поворота имеет решения только вблизи особенностейVпотенциала (решений уравнения V(x) = ∞) с координатами xi±= ai ±ibi . При оченьVEбольших энергиях положения особенностей xi± и xi± очень близки друг к другу.Мы разберем здесь лишь случай умеренно больших энергий, когда расстояниеVEмежду точками xi±и xi±не очень мало.Рассмотрим для начала случай, когда в верхней полуплоскости есть лишь одEна комплексная точка поворота x0+= α0 + iβ0 (и одна в нижней полуплоскостиEx0− = α0 − iβ0). В этом случае разрез в комплексной плоскости удобно направитьот одной комплексной точки поворота к другой (по вертикали вниз). Структура линий Стокса вблизи каждой из точек поворота сходна с той, что обсуждалась выше,но на больших расстояниях от этих точек эта структура усложняется из-за наличияVособенностей xi±. Помимо этого, линии Стокса искривляются так, что линии 0Аи 3C асимптотически приближаются к действительной оси (сверху для точки повоEрота x0 и снизу для точки поворота x0−).()∫x1Запишем прошедшую волну ψпр = √ exp i k(x)dx .
Здесь x1 – некотоkx16.10. Задачи115рая точка на действительной оси. Проследим, как меняется это решение при обходе против часовой стрелки в верхней полуплоскости по контуру Ñ, огибающемуEVсверху точку x0+и проходящему ниже точки xi±так, что на этом контуре погрешEность квазиклассического приближения достаточно мала.
Обход точки x0+приводитiπк изменению знака показателя экспоненты (k → ke ), т. е. даёт отражённую волну∫xψотр∫1 −i k(x)dx+i C= √ e x1kk(x)dx, что отвечает коэффициенту отражения∫−2Im kdx2CR = ψотр /ψпр = e.Чтобы вычислить контурный интеграл в показателе, продолжим контур по действительной оси до точки xℓ = α − ε, затем направим его вверх, обогнем сверху точку ветвления x0 = α0 + iβ0 по окружности малого радиуса ε, спустимся надействительную ось в точке xr = α + ε и продолжим по действительной оси доначала нашей дуги. Получившийся контур не содержит внутри себя особых точек.
Поэтому интеграл по всему контуру равен нулю. Далее, на действительнойоси k(x) действительна. Поэтому её вклад в искомую мнимую часть обращаетсяв ноль. В итоге при ε → 0 наш интеграл обращается в удвоенный интеграл по путиот x1 = α0 до x0 = α0 + iβ0 ,R=e−4σ,∫x0σ = Im k(x)dx .(6.36)x1VE♢ Случай большой энергии, когда xi±и xi±очень близки друг к другу, требует отдельного рассмотрения. Мне не известно, проводилось ли такое рассмотрениев достаточно общем виде.§ 6.10.Задачи1.
Найти квазиклассические уровни энергии и волновые функции:а) для осциллятора; б) для атома водорода;в) для частицы в поле тяжести над непроницаемой плитой.2. Вычислить коэффициенты A и B в законе Гейгера–Нетолла (6.29) для 238 Uс радиусом ядра ∼ 7 fm, E ≈ 2 МэВ, Umax − E ≈ 12 МэВ, расстояние междуточками поворота b − a ≈ 3 · 10−12 см. Сравнить с известным периодом полураспада урана 4,5 млрд лет.3.
Найти коэффициент прохождения в поле U(x) = −mω 2 x 2 /2.116Глава 6. Квазиклассический случай4. Оценить число уровней в яме с потенциалом U(x), имеющим вид(a) − g 2 e −x/a θ (x),(b) f · (|x| − a)θ (a − |x|),()k(x 2 − a2)ββθ (a − |x|),(d)−θ (a − x)θ (x).(c)2ax5. Найдитеположение и ширину квазистационарных уровней в полях{|x| < a, −V1 приa|x|при |x| < ℓ,v2при a < |x| < a + b, (b) V =(a) V =aℓ + b(ℓ2 − x 2) при |x| > ℓ;0при|x| > a + b;2(c) V = a|x| − bx , (d) V = {∞ при x < 0 , Gδ (x − a) при x > 0},mω 2 x 2+ Ax 3 ,(e) V =2(f) V = {∞ при x < 0 , 0 при 0 < x < a, x > a + b , V при a < x < a + b},(g) V = {∞ при x < 0 , 0 при x < a, x > b , U0 (1 − x/b) при a < x < b}.Для потенциала (a) вычислить также коэффициент прохождения, считая, что приb → 0 появляется виртуальный уровень при небольшой энергии (§ 2.8).
Приконечном b рассмотреть поведение коэффициента прохождения для небольших|E − En |. Показать, что этот коэффициент обращается в бесконечность приE = En −iΓn /2. Найти Γn и сравнить с выражением (6.28). Для потенциала (f) считать V ≫ ~2 / (2ma2), так что уровни можно оценивать как в очень глубокой яме.Для потенциала (g) считать b/a большим. Для потенциала (d) обсудить случаймалопроницаемого барьера G ≫ ~2 /ma.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
