1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поэтому интеграл равен периоду классического движения частицы (от 0 до a и от a до 0) Tкл , делённому на m. В итоге√√()4m2mωкл2πA=≡ωкл =.(6.8)~Tклπ~Tкл• Производная по энергии. В дальнейшем мы неоднократно будем использовать выражение для малого изменения величины α (6.7) при небольшом изменениивходящей в это выражение энергии E. Для этого мы вычислим производнуюIIdα11Tкл∂pm=dx =dx =.(6.9)dE~∂E~p~Глава 6. Квазиклассический случай100Отсюда, в частности, получается, что разность энергий соседних уровней ∆En , которая согласно (6.7) отвечает приращению величины α на 2π, получается из уравнения2π = (dα/dE)∆En . Мы получаем в итоге простое соотношением (которое лежало воснове ранней – непоследовательной – версии квантовой механики):2π~= ~ωкл .∆En ≡ En+1 − En =Tкл• Точные значения энергии уровней можно записать в виде разложения по паqcраметру квазиклассичности ξ (6.1), начиная с квазиклассического значения En :En = Enqc + ξ 2 µn + o(ξ 2) ,(6.10а)причём, как показал В.П.
Маслов, для малых n в случае, когда вблизи минимумапотенциал является гладкой функцией координаты (см. [2])Enqc = O(ξ),µn = O(1) .(6.10б)Это означает, что при малых значениях параметра квазиклассичности ξ квазикласqcсическое выражение En представляет собой хорошее приближение и для состоянийс небольшими n, в том числе даже для основного состояния.Обычно квазиклассическое условие (6.7) даёт хорошее приближение для уровней с большими n даже при не очень малых значениях параметра квазиклассичностиξ.
Это подтверждается прямым вычислением в тех задачах, когда энергии уровнейудаётся вычислить и точно. При этом оказывается, что относительное отклонениеквазиклассических значений энергии от точных – порядка O (1/n).• При обсуждении многих задач классической физики используют понятие фазового пространства – пространства, координатами которого являются компонентывсех координат и всех импульсов частиц системы. В частности, для системы из Nчастиц в трёхмерном пространстве фазовое пространство 6N -мерно, для одной частицы на прямой – двумерно.
Классическое движение частицы описывается кривойв фазовом пространстве. Квазиклассическое состояние можно описывать некоторымраспределением плотности в фазовом пространстве.HДля полученных решений фазовая площадь pdx растет линейно с ростом номера состояния n, так что в фазовом пространстве на каждое состояние приходитсяплощадь 2π~, а число возможных состояний в ячейке ∆x∆ p есть∆n = ∆x∆ p/ (2π~).(6.11)(Разумеется, это верно только для достаточно больших n.)§ 6.3.Условия сшивкиНеравенство (6.6б) носит локальный характер, оно может выполняться не привсех x, и положение области его применимости меняется с изменением энергии.
Посоглашению, квазиклассическим называют такой случай, когда на большей частипрямой x квазиклассическое приближение применимо, а для описания остающихся6.3. Условия сшивки101небольших областей используются другие методы. В частности, квазиклассическоеприближение неприменимо вблизи точек поворота (при U(x) ≈ E), где dλ/dx → ∞.Напомним, что волновая функция аналитична во всей комплексной x-плоскости,за исключением, может быть, точек особенности потенциала и бесконечности.
Квазиклассические решения уравнения Шредингера представляют∫собой асимптотикиистинной волновой функции при большом значении величины | k(x)dx|.Особенности типа точки ветвления в точке поворота, которые имеют приближённое уравнение (6.3в) и получающиеся асимптотические решения, отвечают несуществу исходного уравнения Шредингера, а используемому приближению. Поэтому единая асимптотика истинного решения может по-разному выглядеть в разныхобластях в окрестности точки поворота.
Правила сшивки и устанавливают соотношение между формами единой асимптотики с разных сторон от этой точки. Чтобы получить эти правила, решения (6.5) достаточно дополнить решением уравненияШредингера в окрестности точки поворота x = a, полученным вне рамок квазиклассического приближения.
Здесь можно записать разложениеU(x) = E + F · (x − a) ,(6.12)где F – некоторый коэффициент (сила). Гладкость потенциала обычно обеспечиваетсправедливость этого приближения и на краю квазиклассической области так, чтоточное решение уравнения с потенциалом (6.12) при асимптотически больших отклонениях от точки поворота описывается ещё и квазиклассическим приближением.Естественный способ анализа состоит в изучении изменения асимптотики волновой функции при переходе из одной квазиклассической области в другую придвижении точки x в комплексной плоскости этой переменной в обход точки поворота на таком расстоянии, что условие применимости квазиклассического приближения выполняется на всем этом пути (метод комплексной плоскости, § 6.4).С другой стороны, уравнение Шредингера для потенциала (6.12) сводится к уравнению Эйри, чьи решения – функции Эйри – выражаются через функции Бесселя порядка 1/3.
Эти функции хорошо исследованы, результаты этого исследованияи дают правила сшивки (получаемые обычно с помощью только что упомянутогометода комплексной плоскости). Наконец, можно строить решение и в импульсном представлении, где уравнение Шредингера с потенциалом (6.12)( принимает) видp 2 ψ (p) /2m + iF ~dψ (p) /d p = 0, его решение есть ψ (p) = A · exp ip 3 /6~Fm . Переход к координатному представлению опять сводится к методу комплексной плоскости. Здесь мы приведем только результат.
Введём обозначения∫∫t(x) = κ (x ′)dx ′ ,α(x) = k(x ′)dx ′ + π /4 ,в интегралах пределы – точка поворота и точка x – расставленытак, что функции t(x) и α(x) растут при удалении от точки поворота.(6.13а)Тогда правила сшивки для перехода из классически недостижимой области вобласть классического движения имеют видAA√ e −t(x) ↔ √ sin α(x),2 κkBB√ e t(x) ← √ cos α(x).κk(6.13б)Глава 6. Квазиклассический случай102Нетрудно проверить, что Вронскианы выписанного решения с обеих сторон от точкиповорота совпадают.Если по каким-то причинам волновая функция убывает при x → ∞ (например,этого требует граничное условие (2.18) – условие нормируемости волновой функции), то растущей экспоненты нет, и реализуется именно первое правило (6.13).Если же такого условия строгого убывания нет, растущая асимптотика доминирует,а в её «тени» может «спрятаться» падающая асимптотика с любым коэффициентом,и второе правило не даёт определённого предсказания.Действительная ситуация более благоприятна.
На одной из асимптотик, например, x → −∞ асимптотика волновой функции точно известна, она или убывает(2.18), или обращается в уходящую или приходящую плоскую волну (2.33). Будем говорить для определённости о первом случае. При увеличении x мы приходим к первой точке поворота. Здесь первое правило (6.13) даёт волновую функциюв классически достижимой области.
При подходе ко второй точке поворота эта функция приобретает вид суперпозиции решений вида sin α и ортогонального ему cos α∫b(где α = k(x)dx + π /4). Вклад, пропорциональный sin α, продолжается за точкуxповорота в падающее с ростом x решение по первому правилу (6.13). Вклад, пропорциональный cos α, продолжается за точку поворота в растущее с ростом x решениепо второму правилу (6.13). На первый взгляд, коэффициент при растущей экспоненте получен правильно, но вот за коэффициент при падающей экспоненте ручатьсянельзя. В действительности, коль скоро мы правильно нашли коэффициент при растущей экспоненте, коэффициент при падающей экспоненте жестко фиксируется требованием сохранения Вронскиана для пары независимых ортогональных друг другурешений линейного дифференциального уравнения второго порядка. Поэтому теперьоба вклада можно довести до следующей точки поворота и т.
д. до выхода в областьx → −∞, где решение фиксируется с помощью одного из граничных условий (2.18)или (2.33).Если в небольшой окрестности точки поворота, потенциал меняется оченьбыстро, а вне этой окрестности потенциал – достаточно гладкая функция, то физическую реальность лучше описывает приближение скачкообразно меняющегосяпотенциала, для которого условия сшивки имеют вид (2.15), стр.
43.Если классически достижимая область ограничена бесконечновысокой стенкой при x = a (это имеет место при описании радиального движения в трёхмерном случае, когда a = 0), то при ψ (x = a) = 0, а квазиклассическоеприближение справедливо вплоть до стенки, т. е. ψ (x < a) = 0, и x∫Cψ (x > a) = √ sin pdx .(6.14)ka6.4. Метод комплексной плоскости для получения правил сшивки103§ 6.4. Метод комплексной плоскости для получения правилсшивкиРассмотрим волновые функции в плоскости комплексной переменной x.♢ Игрушечный пример. Рассмотрим уравнение w(x) ′′ − g 2 w(x) = 0 при g > 0и его решение w = a e gx + b e − gx . В правой полуплоскости при Re(x) ≫ 1 асимптотика этого решения имеет вид w ≈ a e gx , в левой полуплоскости при −Re(x) ≫ 1асимптотика этого решения имеет совершенно другой вид w ≈ b e − gx .
Находясьв правой полуплоскости, нельзя угадать, как выглядит решение в левой полуплоскости, и наоборот. Только на линии Стокса Re x = 0 растущая и падающая экспонентысравниваются друг с другом. Именно здесь работают оба асимптотических слагаемых, а при переходе через эти линии (за пределами узких секторов) вид асимптотикименяется скачком, хотя на самом деле мы имеем дело с единой функцией, котораяпросто по-разному выглядит в разных областях.• Ниже мы будем различать решения уравнения Шредингера – аналитическиефункции координаты в рассматриваемой области и их квазиклассические асимптотики (6.5), для которых точки поворота – точки ветвления (A. Zwaan, 1929).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
