1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Определить вероятности того, что при измерении энергии будут найдены значения ~ω /2 и 3~ω /2.8. Докажите, что [â, f(â+)] = df(â+) /d â+ и в частности [â, (â+) n ] = n(â+) n−1 .Вычислите [â2 , (â+) n ].9. Найти перестановочные соотношения для операторовÂ1 = (â+ â+ + ââ) /4, Â2 = (â+ â + ââ+) /4, Â3 = i(â+ â+ − ââ) /4.10. Найти собственные значения оператора â+ â + λâ+ + λ∗ â.+11. Покажите, что оператор e 2iπâ â эквивалентен единичному.12. Начальное состояние частицы,√помещённой в √поле U = mω 2 x 2 /2, описываетсяволновой функцией ψ (x, 0) = 2a3 / [(x 2 + a2) π], причём a2 ≪ ~/ (mω).
Найтивероятность того, что её энергия равна ~ω /2, 3~ω /2.13. Начальное состояние частицы, помещённой в поле U = mω 2 x 2 /2, описываетсяволновой функцией ψ (x, 0) = Nx(1−x/x0). Найти среднее значение её координаты⟨x(t)⟩ в зависимости от времени.4.5. Задачи8314. Частица находится в основном состоянии в поле{mω 2 x 2 /2 при x > 0,U(x) =∞при x < 0.В момент времени t = 0 поле принимает форму симметричного осциллятораU(x) = mω 2 x 2 /2 («перегородка взрывается»). Каковы вероятности того, что частица окажется в состояниях с n = 0, 1 или 2? Описать зависимость волновойфункции от времени после «взрыва», ограничившись учётом только перечисленных состояний.15.
Постройте волновую функцию когерентного состояния |β⟩ в импульсном представлении.16. Докажите (4.48).Глава 5Вариационный метод. ТеориявозмущенийВ этой и следующей главах мы опишем обычно используемые общие методыприближённого решения задач квантовой механики, которые работают при решениисамых разных физических проблем. Мы обсудим здесь только задачи, в которыхгамильтониан не зависит от времени явно. При этом проблема состоит в том, чтобынайти приближённые значения уровней энергии и волновые функции.Идея всех приближённых методов состоит в использовании того факта, что «рядом» с нашей задачей есть точно решаемая задача, и следует искать поправкик решениям этой точно решаемой задачи.
Методы различаются идеей выбора этой«соседней» задачи.Помимо того, рассматриваемые методы различаются по «степени регулярности».В некоторых из них построение последующих приближений – задача той же принципиальной сложности, что и для первого приближения. Отличие состоит лишьв степени громоздкости результатов. В других случаях следующие приближения посуществу сложнее первых, иногда регулярный метод для построения последующихприближений даже трудно предложить.§ 5.1.Вариационный методСобственные функции гамильтониана Ĥ образуют полную систему ψn (x) (с собственными∫ функции∑ значениями∑ En).
Это значит, что для любой нормированнойψ (x) = an ψn (x) и |an |2 = 1. Образуем теперь величину ⟨ψ|Ĥ |ψ⟩ ≡ ψ ∗ Ĥ ψdx.В∑силу уравнения Шредингера, ⟨ψ|Ĥ |ψ⟩ =|an |2 En > E0 . Поэтому имеет место вариационный принцип:{∫E0 = minψ ∗ Ĥ ψdx}∫при условииψ ∗ ψdx = 1.(5.1)5.1. Вариационный метод85Вариационный метод состоит в использовании условия (5.1) для приближённого вычисления волновых функций и энергий различных систем. Вообщеволновая функция основного состояния ψ0 получается из условия минимума (5.1)в пространстве всех гладких функций. Волновая функция ψ1 первого возбуждённогосостояния получается из того же условия в пространстве гладких функций, ортогональных к ψ0 .
Следующие волновые функции находятся подобным же образом.Для приближённого вычисления сначала угадывают более или менее правдоподобную форму волновой функции в зависимости от каких-нибудь параметров β –пробную функцию и вычисляет среднее значение энергии с этой волновой функцией E(β). Тогда (5.1) становится простой задачей на нахождение минимума E(β).Найденное таким способом значение энергии основного состояния E0 лежит, конечно, не ниже истинного.♢ Чтобы найти первое возбуждённое состояние, угадывают волновую функцию,ортогональную к найденной функции основного состояния и зависящую от другогопараметра β1 . Затем повторяется описанная выше процедура.
Разумеется, качествоописания для возбуждённого состояния хуже, чем для основного, поскольку в основележит найденное неточное описание основного состояния. Таким образом, вариационный метод позволяет надежно определить лишь несколько первых уровней.Если система обладает какой-нибудь симметрией, то её состояния можно дополнительно классифицировать по собственным значениям соответствующих сохраняющихся величин.
Волновые функции, отвечающие таким различным собственнымзначениям, автоматически ортогональны. Так, в случае сферической симметрии сохраняется квадрат полного момента импульса, принимающий значения ~2 ℓ(ℓ+1), гдеℓ – целое число (гл. 8). Вариационный метод позволяет искать наинизшие уровниэнергии при каждом частном значении ℓ.▽ Оценки энергии основного состояния в простых потенциалах на основе соотношения неопределённостей § 1.8 были упрощённой версией вариационного метода.♢ Удобный технический приём.
При вычислении среднего значения кинетической энергии можно обойтись без громоздкого вычислениявторой производной∫от волновой функции, сводя вычисление среднего ψ ∗ (x) p̂ 2 ψ (x)dx к вычислениюсреднего значения квадрата вспомогательной функции ϕ(x) = p̂ψ (x). Действительно, эрмитовостьp̂ позволяетзаписать∫ ∗оператора∫∫ψ (x) p̂ 2 ψ (x)dx = (ψ ∗ (x) p̂) (p̂ψ (x)) dx ≡ ϕ∗ (x)ϕ(x)dx.Простейший пример: рассмотрим поле U = −Gδ (x) и воспользуемся (нормированной) пробной функцией вида ψb = π −1/4 b −1/2 exp(−x 2 /2b 2) со свободнымпараметром b, который надлежит найти с помощью вариационного метода.Вычислим среднее значение энергии с этой функцией:[()]∫~2 d 2~2G∗E(b) = dxψb−−Gδ(x)ψ=− √ .b2m dx 24mb 2b π√~2 πmG 2Далее найдем минимум этого выражения по b: bmin =, откуда Emin = −.2mGπ~2Сравните эти выражения с точным решением (задача 2.10).• На практике вариационный метод используют, например, при описании сложных многоэлектронных систем.
В качестве исходной волновой функции берут долж-Глава 5. Вариационный метод . Теория возмущений86ным образом симметризованную суперпозицию произведений волновых функций отдельных электронов в усреднённом поле остальных электронов и ядер. Параметрыэтого (самосогласованного) поля и подлежат определению.§ 5.2.Теория возмущений. Общее рассмотрениеПусть гамильтониан Ĥ изучаемой физической задачи мало отличается от га(0)мильтониана Ĥ0 , чьи собственные состояния |n⟩0 и энергии En известны, т. е.Ĥ0 |n⟩0 = En(0) .Ĥ = Ĥ0 + V̂ ,(5.2)Без потери общности можно считать набор собственных векторов |n⟩0 ортонормированным, 0 ⟨m|n⟩0 = δmn .
Гамильтониан Ĥ0 называют невозмущённым, а V̂ –возмущением. Что такое мало, выяснится немного позднее.Решение уравнения Шредингера в виде ряда по возмущению V составляет содержание теории возмущений.Итак, мы ищем решение уравнения ШредингераĤ |n⟩ = En |n⟩ :Ĥ = Ĥ0 + V̂ ,(0)Ĥ0 |n⟩0 = En |n⟩0 .(5.3)При этом полезно записывать оператор возмущения V̂ в представлении собственныхвекторов невозмущённого гамильтониана, т. е. в виде матрицы∗Vmn =0 ⟨m|V̂ |n⟩0 ≡ Vnm.(5.4)Для удобства и чтобы подчеркнуть малость возмущения V̂ , мы будем писатьниже εV̂ вместо V̂ и вести расчёт так, будто бы ε → 0.
На самом деле в конце мыположим ε = 1, сохраняя требование малости за самим возмущением V̂ .Разложим решения уравнения (5.3) |n⟩ по собственным функциям |m⟩0 невозмущённого гамильтониана Ĥ0 , а затем разложим в ряд по ε энергии En и коэффициентыразложения |n⟩ по |m⟩0 :∑012|n⟩ = cnm |m⟩0 , cnm = cnm+ εcnm+ ε2 cnm+ ...,m(0)(1)(2)En = En + εEn + ε2 En + . . . .(5.5)Тогда уравнение (5.3) примет вид∑012(Ĥ0 + εV̂) (cnm+ εcnm+ ε2 cnm+ . . .)|m⟩0 =m∑ (0)(1)(2)012+ εcnm+ ε2 cnm+ .
. .)|m⟩0 .= (En + εEn + ε2 En + . . .) × (cnmmУмножим это уравнение скалярно слева на 0 ⟨k|. С учётом ортонормированностибазиса |n⟩0 , т. e. 0 ⟨k|m⟩0 = δkm , и определения (5.4) мы получим:∑ (0)012(Ek δkm + εVkm) (cnm+ εcnm+ ε2 cnm+ . . .) =m(5.6)(2)(1)(0)012+ εcnk+ ε2 cnk+ . . .).= (En + εEn + ε2 En + . . .) · (cnk5.3. Теория возмущений . Невырожденный случай87Далее приравниваются выражения при одной степени ε. Детали решения различныв зависимости от того, является ли исходная невозмущённая система состояний |n⟩0вырожденной (т.
е. энергии некоторых состояний совпадают) или невырожденной.§ 5.3.Теория возмущений. Невырожденный случай(0)(0)Мы начнём с технически простейшего случая, когда вырождения нет, En ̸= Em .H Нулевое приближение получается из (5.6) при ε → 0. При этом уравнение (5.6)(0)(0)00принимает вид (En − Ek )cnk= 0. Его решение есть cnk= δnk .H Первое приближение получается, если приравнять выражения при первой сте(1)пени ε в (5.6).
При k = n остаются два слагаемых и получается En = Vnn . Приk ̸= n получается уравнениеVkn(0) 1(1)(0)1= (0)= 0 ⇒ cnk, En = Vnn .Vkn + (Ek − En )cnk(5.7)(0)En − Ek1При этом коэффициент cnnне определяется. Обычно его фиксируют условием со1хранения нормы возмущённого вектора состояния, cnn= 0.H Второе приближение получается, если приравнять выражения при второй степени ε в (5.6). При k = n оно даётEn(2) =∑ Vmn Vnm(0)m̸=n(0)En − Em≡∑|Vnm |2m̸=nEn − Em(0)(0).(5.8)В частности, поправка второго порядка к энергии основного состояния всегдаотрицательна.Запишем теперь найденные решения, положив в них ε = 1:cnm = δnm +Vmn(0)En−(0)Em+ ...;(0)En = En + Vnn +∑|Vnm |2(0)m̸=n En(0)− Em+ ...(5.9)В большинстве практически интересных задач этого достаточно.Примеры. Вычислите в первом неисчезающем приближении поправки к энергии√гармонического осциллятора в полях (x0 = ~/mω):( )2( )3( )4xxxx(а) V = a ; (б) V = b; (в) V = A~ω; (г) V = B~ω.x0x0x0x0Случаи (а) и (б) сравните с точными решениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
