1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В итоге( )~ ∑~ ∑du(12)P=f(s) ≡f(s),2πℓc 2 s2π 2 c 3 sds(4.39а)∫∞cπsf(s) = u2 R(ω)dω , u =.ℓuЧтобы найти полученную сумму, удобно использовать формулу Эйлера–Маклорена (Б.14), применяемую при численном вычислении интегралов:∫∞∞∑111 (3)f(x)dx = f(0) +f(s) + f ′ (0) −f (0) +...2127200s=1Выразим отсюда сумму ряда через интеграл и производные f(s) в нуле. Учитывая,что f(0) = 0, f ′ (0) = 0, f (3) (0) = −6(cπ /ℓ) 3 R(0) ≡ −6(cπ /ℓ) 3 , а все последующиепроизводные пропорциональны дополнительным степеням β, найдем~ ∫∞π 2 ~cπ 2 ~c~ ∫∞2(23)P (12) =f(ω)dω−f(ω)dω−+O(β),P=+ O (β 2).2π 2 c 3 0240ℓ42π 2 c 3 0240L4В этих выражениях от бесконечной энергии нулевых колебаний неограниченного∫∞пространства остался лишь конечный вклад f(ω)dω (конечность – «приз» за ре0гуляризацию).
Этот вклад одинаков с обеих сторон пластины. Поэтому в давлениивакуума на вторую пластину ∆P = P (23) − P (12) эти «бывшие бесконечности» сокращаются, и в пределе β → 0 при L ≫ ℓ мы получаем∆P =π 2 ~c.240ℓ4(4.39б)Эту величину измеряли при такой температуре T ≪ ~c/ℓ, что вертикальные колебания поля между пластинами 1 и 2 не возбуждаются. При ℓ ∼ 1 мкм была достигнутаточность около 5%.4.4. Когерентные состояния§ 4.4.79Когерентные состоянияПредварительные соображения.
Чтобы понять, зачем изучаются когерентныесостояния, рассмотрим сначала область фокусирования пучка (света, электронов,нейтронов). Пусть пучок круглого сечения, движущийся вдоль оси z, фокусируетсяна плоском экране в пятно с радиусом a, т. е. ∆x = ∆y = a. Угловой разброс пучка характеризуется отношением ∆θ = ∆ px / pz = ∆ py / pz . В фокальной плоскостиугловой разброс не зависит от пространственного разброса и от азимутального угла(т. е. фазовый объём пучка есть ∆x∆y∆ px ∆ py). Соответственно, квадрат радиусапучка на расстоянии z от фокальной плоскости равен сумме квадратов дисперсийдвух независимых величин – фокального разброса собственно координаты и радиального разброса, вызванного угловым разбросом вылета частиц из фокальнойплоскости:()(∆px) 2 2(∆x(z)) 2 = (∆x) 2 +z ≡ (∆x) 2 1 + z 2 /β 2 .2pzЗдесь β = pz ∆x/∆px – расстояние от фокальной плоскости, на котором площадьфокального пятна увеличивается вдвое.
В таких разных технических задачах, какпрожигание отверстий лазерным лучом и создание фотонного коллайдера, желательно иметь как можно бо́льшие значения этого расстояния.Пусть произведение дисперсий координаты и импульса есть ∆x∆p = A~/2, т. е.соотношение неопределённостей выполняется «с запасом» A, причём A > 1. Тогдаβ = 2(∆x) 2 pz / (~A) ≡ 4π (∆x) 2 / (Aλ)(λ = 2π~/ pz) .Итак, область фокусирования имеет наибольшую протяженность, если достигается низший предел в соотношении неопределённостей A = 1 (для света – дифракционный предел), в частности если мы имеем дело с основным состоянием осциллятораэлектромагнитного поля (с наименьшей энергией ~ω /2).
Так, для длины волны 1 мкм(ближний инфракрасный свет, неодимовый лазер) и при a = 0, 3 мкм в дифракционном пределе величина β ≈ 1 мм. Если же мы имеем дело с n-м возбуждённымсостоянием осциллятора электромагнитного поля, то в силу (4.16) A = 2n + 1, длина области фокусирования β уменьшается в (2n + 1) раз, и при больших энергияхвспышки эта длина становится исчезающе малой.Когерентные состояния. К счастью, лазерные вспышки большой энергииобычно составляют когерентную суперпозицию осцилляторов с различнымиn с согласованными амплитудами и фазами так, что в этой вспышке произведение неопределённостей ∆x ∆p близко к минимуму ~/2, обеспечивая оптимальноефокусирование.
Это свойство лазерных вспышек обнаружил в 1963 г. Р. Глаубер(Нобелевская премия по физике, 2005 г.). Ясно, что такое удачное соотношениеамплитуд и фаз разных возбуждений может реализоваться только, если фотоны испускаются источником света когерентно, и не может реализоваться для обычныхтепловых источников света.Такие когерентные состояния были рассмотрены Э. Шредингером в 1926 г.Это – собственные состояния оператора уничтожения â, определяемые уравнениемβâ|β⟩ = √ |β⟩,2β=QP+i.x0p0(4.40)Глава 4.
Гармонический осциллятор80Здесь β – некоторое комплексное число, а Q и P пропорциональны его действительной и мнимой частям1 .Решение уравнения (4.40) в координатном представлении получается из решения (4.25) для основного состояния простым сдвигом ξ → ξ − β (с изменениемнормировки из-за комплексности β), т. е. ψ (ξ) = π −1/4 exp{−[(ξ − β) 2 + (Im β) 2 ] /2}.В переменных x эта волновая функция имеет вид][1(x −Q −iP/mω) 2P2−≡ψβ (x) = √exp−√4π x02x022 p02(4.41)−1/4 −1/2 −(x−Q) 2 /2x02 −iP(x−Q) /~.≡πx0 eВ импульсном представлении волновая функция этого состояния имеет схожий вид.Первая форма этой волновой функции показывает, что значения дисперсий ∆xи ∆ p точно те же, что и для основного состояния и их произведение минимально,как и для основного состояния:x0p0∆x = √ , ∆ p = √ ⇒ ∆x∆ p = ~/2.(4.42а)22Итак, когерентное состояние обеспечивает оптимальное фокусирование.Вторая форма волновой функции (4.41) показывает, что когерентное состояниеволновойпакет с центром в точке Q и суммарным импульсом P.
При этом–⟨x 2 ⟩ = ⟨x⟩2 + ∆x 2 ≡ Q 2 + ∆x 2 ,⟨p 2 ⟩ = ⟨p⟩2 + ∆x 2 ≡ P 2 + ∆ p 2 .(4.42б)В частности, именно так описывается состояние иона в кристаллической решётке после мгновенного (с точки зрения атомных явлений) испускания ядром фотонаумеренно большой энергии Eγ . В этом случае Q = 0 (атом не успел сдвинуться),а P = Eγ /c (см. подробнее в § 7.7).В когерентном состоянии средние значения координаты и импульса не могутоставаться постоянными, поскольку входящие в их определения стационарные состояния по-разному меняются со временем. Описание этой эволюции получаетсяс помощью гайзенберговского уравнения движения для оператора рождения â(t),разд.
4.1.2. В соответствии с теоремой Эренфеста, стр. 63, центр тяжести нашеговолнового пакета движется в точности так же, как классическая частица (4.23):Q(t) = Q cos ωt +Psin ωt,mωP(t) = P cos ωt − mωQ sin ωt .Соотношения (4.42) позволяют легко вычислить энергию соответствующего состоянияE = ⟨Ĥ ⟩ =⟨p 2 ⟩ mω 2 ⟨x 2 ⟩P2 + ∆ p2mω 2 (Q 2 + ∆x 2)⟩+=+=2m22m2P2mω 2 Q 2~ω|β|2 + 1=++≡ ~ω.2m222(4.43)1 Собственное значение β может быть произвольным комплексным числом. В этой задаче нет дополнительных условий, которые вели бы к запрету некоторых значений β – «квантованию» β.4.4.
Когерентные состояния81Таким образом, энергия когерентного состояния может быть сколь угодно большойпри том, что разбросы значений координаты и импульса остаются предельно малыми.• Это оказалось возможным потому, что в когерентном состоянии |β⟩ стационарные состояния |n⟩ (4.11) складываются с совершенно определёнными амплитудамии фазами, обеспечивающими компенсацию разбросов координат и импульсов возбуждённых состояний. Чтобы найти эти амплитуды и фазы, разложим когерентноесостояние по стационарным состояниям |k⟩:∑|β⟩ = dk |k⟩.k√Умножим равенство (4.40) слева на ⟨n|. Поскольку ⟨n|â = n+1 ⟨n + 1| (4.11),то с учётомс разными n получается рекуррентное соот√√ ортогональности состоянийношение n + 1 dn+1 = βdn / 2.
Итерируя (т. е. повторяя) это соотношение n раз,начиная с n = 0, найдемdn ≡ ⟨n|β⟩ = √βn2n n!d0 ⇒ |β⟩ = e −|β|2/4∞∑n=0√βn2n n!|n⟩.(4.44)(Величина d0 = e −|β| /4 получается из условия нормировки.) Выражая |n⟩ через(â+) n |0⟩ (4.11), находим2|β⟩ = e −|β|2/4∞√∑(β â+) n−|β|2 /4 (β â+ / 2)|0⟩≡ee|0⟩.n22 / n!(4.45)n=0Таким образом, вероятность найти состояние |n⟩ в данном когерентном состоянии|β⟩ описывается распределениемwn =|β|2n −|β|2 /2e.2n n!(4.46)Среднее значение числа «вибронов» в этом состоянии есть |β|2 /2, а средняя энергияосциллятора естественно совпадает с (4.43):()(∑)11|β|2 + 1E = ⟨β|~ω â+ â +nwn +|β⟩ = ~ω= ~ω.222♢ Поучительно рассмотреть и другой вывод уравнений для эволюции среднихзначений координаты и времени (4.23), основанный на законе эволюции состояния|n⟩, который имеет вид |n⟩e −iEt/~ ≡ |n⟩e −itωn−itω/2 .
В итоге()n∑ βn∑ βe −iωt|β|2 /2−iωnt−iωt2−iωt2//(4.47)√√e|β (t)⟩ =e|n⟩ ≡ e|n⟩ .2n n!2n n!nnИтак, эволюция состояния со временем описывается заменой β → β (t) = βe −iωt– в точном соотношении с уравнением для гайзенберговского оператора â(t) (4.22).Вспоминая теперь связь β (t) с координатой центра тяжести и импульсом пакета(4.40), вновь убедимся в справедливости (4.23).Глава 4. Гармонический осциллятор82♢ Нетрудно убедиться, что для когерентных состояний имеет место соотношение∫1d(Re β)d(Im β)|β⟩⟨β| = 1̂.(4.48)πЭто означает, что единичный оператор строится из комбинации проекторов на когерентные состояния, т. е. набор векторов когерентных состояний является полным(даже избыточным)§ 4.5.Задачи1. Найти волновые функции осциллятора в импульсном представлении.2.
Сравнить классическую dw/dx и квантовую |ψn (x)|2 плотности вероятности дляосциллятора при n = 0 и n ≫ 1. Найти вероятность того, что в основном состоянии состояние осциллятора сосредоточено в ограниченной области изменениякоординат и импульса имеет |x| ≪ ℓ, | p| ≪ k.3. Построить матрицы операторов x̂ 2 и p̂ 2 в энергетическом представлении.4. Найти средние значения ⟨n|x̂ p̂|n⟩.Построить матрицу ⟨m|x̂ p̂|n⟩.5. Найти перестановочные соотношения операторов кинетической энергии гармонического осциллятора, взятых в разные моменты времени.
Записать соответствующее соотношение неопределённостей. Разобрать случаи собственных состоянийосциллятора и их суперпозиции.6. Найти уровни энергии и волновыедля частицы в поле{ функцииmω 2 x 2 /2 при x > 0,U(x) =∞при x < 0.2 27. Частица находится в поле U = mω x /2 в состоянии, описываемом волновой22функцией ψ (x) = π −1/4 b −1/2 e −x / (2b ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
