1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 17
Текст из файла (страница 17)
На первый взгляд, выделенная роль времени в определении (3.12) не позволяет перейти к релятивистски инвариантному описанию. Довольно простые процедуры позволяют устранить эту трудность.3.5. Некоторые правила сумм§ 3.5.65Некоторые правила суммБольшинство практических задач квантовой механики не решается точно. Нередко приходится использовать приближения, в которых волновая функция просто придумывается, а её параметры уточняются каким-то приближённым методом, например, вариационным (§ 5.1).
С помощью правил сумм некоторые негодные вариантыотсекаются сразу же. Более тонкая проверка основана на том, что обычно правиласумм «насыщаются» несколькими ∑первыми слагаемыми с точностью 80-90 %.Рассмотрим величину R = 2m (Ek − En)|⟨k|x|n⟩|2 , где En и Ek – энергии соnстояний |n⟩ и |k⟩ гамильтониана Ĥ соответственно, а m – масса частицы, суммараспространяется по всем собственным состояниям. Оказывается, что эта величинаодинакова для всех квантовомеханических систем.
Действительно, запишем()∑∑R=m⟨k|(Ek − En)x|n⟩⟨n|x|k⟩ − ⟨k|x|n⟩⟨n|(En − Ek)x|k⟩ ≡n(n)∑∑≡m⟨k| [Ĥ , x]|n⟩⟨n|x|k⟩ − ⟨k|x|n⟩⟨n|[Ĥ , x] |k⟩ =nn )(∑⟨k| p̂|n⟩⟨n|x|k⟩ − ⟨k|x|n⟩⟨n| p̂|k⟩ = −i~⟨k|[ p̂, x̂]|k⟩/2 = ~2 /2.= −i~nПоясним последовательность равенств. Вначале мы просто вносим множительEk − En под знак матричного элемента, отдельно первого и второго (во втором случае мы дважды меняем знак).
Затем мы замечаем, что действие оператора Ĥ налеводаёт Ek , а направо En , и в итоге ⟨k| [Ĥ, x]|n⟩ ≡ ⟨k|Ĥx − x Ĥ |n⟩ ≡ ⟨k|(Ek − En)x|n⟩. Тоже относится и ко второму слагаемому.∑ В силу (3.6а), мы имеем [Ĥ , x] = −i~ p̂ /m.Затем c помощью условия полноты n |n⟩⟨n| = 1̂ (1.16) выполняется суммирование по состояниям |n⟩. Получившиеся в результате этого суммирования операторысобираются в коммутатор [ p̂, x̂] = −i~. Его среднее значение по состоянию |k⟩c учётом условия нормировки ⟨k|k⟩ = 1 даёт выписанный ответ∑~2(Ek − En)|⟨k|x|n⟩|2 =.(3.13)2mnВ варианте, когда под знаком суммы стоит матричный элемент (трёхмерного) дипольного момента er, правая часть умножается на 3e 2 .
В таком виде это соотношениеносит название дипольного правила сумм Томаса–Райхе–Куна.Построим ещё сходные правила сумм для кулоновской задачи (атом водорода)и для гармонического осциллятора. Мы рассмотримв обоих случаях одну и ту же∑сумму по всем состояниям системы Q =(Ek − En) 2 |⟨k|x|n⟩|2 . Здесь последоваnтельность преобразований подобна предыдущей:∑∑Q = ⟨k|(Ek − En)x|n⟩⟨n|(Ek − En)x|k⟩ ≡ ⟨k|[Ĥ , x] |n⟩⟨n| [x, Ĥ] |k⟩ =n∑∑ n= −(i~/m) 2 ⟨k| p̂|n⟩⟨n| p̂|k⟩ ≡ (~/m) 2 ⟨k| p̂ p̂|k⟩ = (2~2 /m)⟨k|T̂kin |k⟩.nnВ этой цепочке преобразований надо помнить, что второй коммутатор в первойстрочке имеет знак, противоположный первому.
Результатом является среднее значение кинетической энергии, которую мы вычисляем по теореме о вириале (разд. 2.1.3).Глава 3. Зависимость операторов от времени66Согласно этой теореме, средние значения кинетической энергии осциллятора и куêóëîñö|k⟩ = Ek /2, ⟨k|T̂kin|k⟩ = −Ek . Итак,лоновской задачи равны соответственно ⟨k|T̂kin{∑−2~2 Ek /m êóëîí,(Ek − En) 2 |⟨k|x|n⟩|2 =(3.14)~ 2 Ek / mîñöèëëÿòîð.nЗначения энергий Ek для этих систем найдены в последующих главах 4 и 9.Следует заметить, что в суммы (3.13), (3.14) входят ВСЕ стационарные состояния гамильтониана, вклад непрерывного спектра записывается в виде интеграла поэнергиям.
Если не учитывать вклад непрерывного спектра, эти правила сумм превращаются в неравенства.§ 3.6.Задачи1. Найти операторы координаты и импульса в зависимости от времениа) для свободной частицы,б) для частицы в однородном поле U(x) = −Fx.в) Покажите, что для гармонического осциллятора (U(x) = mω 2 x 2 /2) получаетсярешение (4.23).2. Вычислив оператор скорости частицы как [r̂, Ĥ ] /i~, покажите, что его среднеезначение при финитном движении равно нулю.3.
Найти средние ⟨x(t)⟩, ⟨p(t)⟩, ⟨∆x 2 (t)⟩, ⟨∆ p 2 (t)⟩ в перечисленных выше случаях.4. Найти средние ⟨x(t)⟩, ⟨p(t)⟩, ⟨∆x 2 (t)⟩, ⟨∆ p 2 (t)⟩ для свободной частицы в состоянии, описываемом волновой функцией ψ (x, 0) = A exp[i p0 x/~ − (x − x0) 2 /4a2 ].5. Для электрона в атоме водорода найти d r̂/dt и d 2 r̂/dt 2 .6. Найти перестановочные соотношения [x̂ (t), p̂ (t ′)] , [x̂ (t), x̂ (t ′)] для операторов координат и импульса в разные моменты времени и соответствующие соотношениянеопределённости в случаях: свободного движения, однородного поля и гармонического осциллятора.То же для произвольного поля U(x) при малых |t ′ − t|.7.
Найти перестановочное соотношение для операторов кинетической энергии осциллятора, взятых в разные моменты времени. Записать соответствующее соотношение неопределённостей.Глава 4Гармонический осцилляторГармонический осциллятор – система с гамильтонианомp̂ 2mω 2 x 2+(4.1)2m2– важнейший объект в квантовой механике и во многих её приложениях. Многиесвойства сложных систем можно понять, используя развитые в этой задаче методы.Введём естественные в задаче единицы длины x0 , импульса p0 и энергии ~ω:√√(4.2а)p0 = m~ω, x0 = ~/ (mω); ξ = x/x0 ;[( )( )2 ]21p̂x̂Ĥ = ~ω ε̂, ε̂ =+, E = ~ωε.(4.2б)2p0x0Ĥ =§ 4.1.Одномерный осциллятор. Операторный методИспользуемый ниже метод решения очень полезен для разнообразных приложений и обобщений.
В его основе – определение новых неэрмитовых операторов â иâ+ , которые не описывают какие-либо измеримые физические величины()()x0x̂p̂1d â = √1x̂ = √ (â + â+) ; √+i≡ξ+;p0 )22 (x02 ( dξ )(4.3)⇒ip0 +x̂p̂1d â = √1p̂ = √ (â+ − â) ; √−i≡ξ−.2p0dξ2 x02Нетрудно убедиться, что имеет место соотношение[â, â+ ] = 1.(4.4)1С его учётом гамильтониан (4.2б) принимает видĤ = ~ω ε̂ ,ε̂ = â+ â + 1/2.(4.5)1 В задаче об осцилляторе в классической механике соотношения вида (4.3) определяют классические обобщённые координаты a и a∗ , которые можно считать канонически сопряжёнными, ~ – просторазмерная величина, обозначаемая так же, как и квант действия.Глава 4. Гармонический осциллятор68Проверьте, что[â+ â, â] = −â ⇒ [ε̂, â] = −â;[â+ â, â+ ] = â+ ⇒ [ε̂, â+ ] = â+ .(4.6)Пусть |n⟩ – собственный вектор Ĥ с энергией En = ~ωεn , Ĥ |n⟩ = En |n⟩.
Рассмотрим действие гамильтониана на состояние â|n⟩. Используя соотношения (4.6), получаем цепочку равенств ε̂(â|n⟩) ≡ (ε̂â)|n⟩ = (âε̂ − â)|n⟩ = âεn |n⟩ − â|n⟩ ≡ (εn − 1) â|n⟩.Отсюда следует{ε̂â|n⟩ = (εn − 1) â|n⟩;ε̂|n⟩ = εn |n⟩ ⇒т. е.(4.7)ε̂â+ |n⟩ = (εn + 1) â+ |n⟩,если |n⟩ – собственный вектор гамильтониана с энергией En , то â|n⟩ и â+ |n⟩ – тоже его собственные векторы с энергиями En − ~ω и En + ~ω соответственно.Гамильтониан осциллятора представляет собой сумму квадратов двух эритовыхоператоров. Поэтому возможные значения его энергии ограничены снизу. Обозначим наименьшее значение энергии осциллятора через E0 и соответствующий вектор состояния через |0⟩, т.
е. Ĥ |0⟩ = E0 |0⟩. Но тогда в силу (4.7) должно бытьĤ â|0⟩ = (E0 − ~ω) â|0⟩. Таким образом, вектор состояния â|0⟩ должен соответствовать состоянию с энергией меньшей, чем E0 . Но такого состояния не существует.Поэтому должно бытьâ|0⟩ = 0.(4.8)Подстановка этого соотношения в (4.5) даёт ε0 = 1/2.В силу (4.7) действие оператора â+ на состояние |0⟩ даёт состояние с болеевысокой энергией |1⟩, действие этого оператора на состояние |1⟩ даёт состояниес ещё более высокой энергией |2⟩, и т.
д. Таким способом получается весь наборуровней осциллятора:εn = (n + 1/2),En = ~ω (n + 1/2);â |n⟩ = dn+1 |n + 1⟩+(n = 0, 1, 2 . . .).(4.9)Итак, оператор â понижает энергию состояния на ~ω, а оператор â+ – повышает,и оператор â+ â имеет собственными значениями целые числа,â+ â|n⟩ = n|n⟩(n = 0, 1, 2 . . .).(4.10)Это служит основой широко используемой интерпретации:• n-е состояние осциллятора содержит n тождественных частиц – «вибронов»с энергией E = ~ω.
Оператор â+ – оператор рождения виброна, операторâ – оператор уничтожения виброна, оператор n̂ = â+ â есть оператор числавибронов1 .1 Виброны– «домашнее» название в этой главе. В реальных задачах это кванты звуковых колебаний(фононы), электромагнитных колебаний (фотоны) и т. п.4.1. Одномерный осциллятор .
Операторный метод69Определим теперь числа dn в соотношении между волновыми векторами (4.9),считая эти векторы нормированными (⟨n|n⟩ = 1) и действительными. Прежде всего, вектор, сопряжённый вектору â|n⟩, есть ⟨n|â+ = dn ⟨n − 1|. Таким√образом,⟨n|â+ â|n⟩ = n⟨n|n⟩ = dn2 ⟨n − 1|n − 1⟩. Отсюда следует dn2 = n, т. е. â|n⟩ = n|n − 1⟩.Подобным образом получается и сопряжённое соотношение}√â|n⟩ = n|n−1⟩,1 ( + )n⇒ |n⟩ = √â|0⟩.(4.11)√n!â+ |n⟩ = n+1|n+1⟩• Чётность состояний осциллятора.
Заметим, что гамильтониан осцилляторакоммутирует с оператором отражения. Поэтому собственные состояния осциллятораобладают определённой чётностью. Основное состояние |0⟩ чётно, а операторы √â иâ+ меняют знак при отражении, т. е. нечётны. Поэтому состояние |n⟩ = (â+) n |0⟩/ n!имеет чётность (−1) n ,P̂|n⟩ = (−1) n |n⟩.(4.12)• Энергетическое представление. Найденные состояния |n⟩ образуют базисэнергетического представления для осциллятора (представления чисел заполнения «вибронов»). Запишем теперь некоторые операторы в этом представлении, т.
е.в виде матриц, строки и столбцы которых – номера состояний n (ср. (1.19)). Длягамильтониана и операторов â, â+ ответы выписаны в соотношениях (4.9), (4.11),которые принимают вид:1 0 0 0 ··· 0 3 0 0 ··· ~ω 0 0 5 0 ··· Ĥ =,2 0 0 0 7 ··· .. .. .. .. . ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
